Momenti i rrotullimit dhe momenti i inercisë: formula, një shembull i zgjidhjes së problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Trupat që bëjnë lëvizje rrethore në fizikë zakonisht përshkruhen duke përdorur formula që përfshijnë shpejtësinë këndore dhe nxitimin këndor, si dhe sasi të tilla si momentet e rrotullimit, forcat dhe inercinë. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre koncepteve në artikull.

Momenti i rrotullimit rreth boshtit

Kjo sasi fizike quhet gjithashtu momenti këndor. Fjala "çift rrotullues" do të thotë që pozicioni i boshtit të rrotullimit merret parasysh gjatë përcaktimit të karakteristikës përkatëse. Pra, momenti këndor i një grimce me masë m, e cila rrotullohet me një shpejtësi v rreth boshtit O dhe ndodhet në një distancë r nga ky i fundit, përshkruhet me formulën e mëposhtme:

L¯=r¯mv¯=r¯p¯, ku p¯ është momenti i grimcës.

Shenja "¯" tregon natyrën vektoriale të sasisë përkatëse. Drejtimi i vektorit të momentit këndor L¯ përcaktohet nga rregulli i dorës së djathtë (katër gishta drejtohen nga fundi i vektorit r¯ deri në fund të p¯, dhe gishti i madh i majtë tregon se ku do të drejtohet L¯). Drejtimet e të gjithë vektorëve të emërtuar mund të shihen në foton kryesore të artikullit.

KurKur zgjidhin probleme praktike, ata përdorin formulën për momentin këndor në formën e një skalari. Përveç kësaj, shpejtësia lineare zëvendësohet nga ajo këndore. Në këtë rast, formula për L do të duket kështu:

L=mr²ω, ku ω=vr është shpejtësia këndore.

Vlera mr² shënohet me shkronjën I dhe quhet momenti i inercisë. Karakterizon vetitë inerciale të sistemit të rrotullimit. Në përgjithësi, shprehja për L shkruhet si më poshtë:

L=Iω.

Kjo formulë është e vlefshme jo vetëm për një grimcë rrotulluese me masë m, por edhe për çdo trup me formë arbitrare që bën lëvizje rrethore rreth një boshti.

Momenti i inercisë I

Në rastin e përgjithshëm, vlera që futa në paragrafin e mëparshëm llogaritet me formulën:

I=∑_i(m_ir_i ²).

Këtu i tregon numrin e elementit me masë m_i që ndodhet në një distancë r_i nga boshti i rrotullimit. Kjo shprehje ju lejon të llogaritni për një trup johomogjen me formë arbitrare. Për shumicën e figurave ideale gjeometrike tre-dimensionale, kjo llogaritje është bërë tashmë dhe vlerat e marra të momentit të inercisë futen në tabelën përkatëse. Për shembull, për një disk homogjen që bën lëvizje rrethore rreth një boshti pingul me planin e tij dhe që kalon përmes qendrës së masës, I=mr²/2.

Për të kuptuar kuptimin fizik të momentit të inercisë së rrotullimit I, duhet t'i përgjigjemi pyetjes se në cilin aks është më e lehtë të rrotullohet lecka: ai që shkon përgjatë leckës. Apo një që është pingul me të? Në rastin e dytë, do të duhet të aplikoni më shumë forcë, pasi momenti i inercisë për këtë pozicion të leckës është i madh.

Ligji i ruajtjes së L

Ndryshimi i çift rrotullues me kalimin e kohës përshkruhet nga formula e mëposhtme:

dL/dt=M, ku M=rF.

Këtu M është momenti i forcës së jashtme rezultuese F të aplikuar në shpatullën r rreth boshtit të rrotullimit.

Formula tregon se nëse M=0, atëherë ndryshimi në momentin këndor L nuk do të ndodhë, domethënë ai do të mbetet i pandryshuar për një kohë arbitrare të gjatë, pavarësisht nga ndryshimet e brendshme në sistem. Ky rast shkruhet si shprehje:

I₁ω₁=I₂ω ₂.

Dmth, çdo ndryshim brenda sistemit të momentit I do të çojë në ndryshime në shpejtësinë këndore ω në mënyrë të tillë që produkti i tyre të mbetet konstant.

Një shembull i manifestimit të këtij ligji është një sportist në patinazh artistik, i cili duke i nxjerrë krahët dhe duke i shtypur në trup, ndryshon I-në e tij, gjë që reflektohet në një ndryshim në shpejtësinë e rrotullimit ω.

Problemi i rrotullimit të Tokës rreth Diellit

Le të zgjidhim një problem interesant: duke përdorur formulat e mësipërme, është e nevojshme të llogaritet momenti i rrotullimit të planetit tonë në orbitën e tij.

Meqenëse graviteti i pjesës tjetër të planetëve mund të neglizhohet, dhe gjithashtuduke pasur parasysh se momenti i forcës gravitacionale që vepron nga Dielli në Tokë është i barabartë me zero (shpatull r=0), atëherë L=konst. Për të llogaritur L, ne përdorim shprehjet e mëposhtme:

L=Iω; I=mr²; ω=2pi/T.

Këtu kemi supozuar se Toka mund të konsiderohet një pikë materiale me masë m=5,97210²⁴kg, pasi dimensionet e saj janë shumë më të vogla se distanca me Diellin r=149.6 milion km. T=365, 256 ditë - periudha e revolucionit të planetit rreth yllit të tij (1 vit). Duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në shprehjen e mësipërme, marrim:

L=Iω=5, 97210²⁴(149, 610⁹) ²23, 14/(365, 256243600)=2, 6610⁴⁰kgm² /s.

Vlera e llogaritur e momentit këndor është gjigante, për shkak të masës së madhe të planetit, shpejtësisë së tij të lartë orbitale dhe distancës së madhe astronomike.