Sipërfaqja anësore e një koni të rregullt dhe të cunguar. Formulat dhe një shembull i zgjidhjes së problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Kur merren parasysh figurat në hapësirë, shpesh lindin probleme në përcaktimin e sipërfaqes së tyre. Një figurë e tillë është koni. Konsideroni në artikull se cila është sipërfaqja anësore e një koni me një bazë të rrumbullakët, si dhe një kon të cunguar.

Koni me bazë të rrumbullakët

Para se të shqyrtojmë sipërfaqen anësore të konit, le të tregojmë se çfarë lloj figure është dhe si ta marrim atë duke përdorur metoda gjeometrike.

Merrni një trekëndësh kënddrejtë ABC, ku AB dhe AC janë këmbë. Le ta vendosim këtë trekëndësh në këmbën AC dhe ta rrotullojmë rreth këmbës AB. Si rezultat, anët AC dhe BC përshkruajnë dy sipërfaqe të figurës së paraqitur më poshtë.

Figura e përftuar me rrotullim quhet kon i drejtë i rrumbullakët. Ai është i rrumbullakët sepse baza e tij është një rreth dhe është i drejtë sepse pingulja e tërhequr nga maja e figurës (pika B) e pret rrethin në qendër të saj. Gjatësia e kësaj pingule quhet lartësi. Natyrisht, është e barabartë me këmbën AB. Lartësia zakonisht shënohet me shkronjën h.

Përveç lartësisë, koni i konsideruar përshkruhet nga dy karakteristika të tjera lineare:

• gjenerues, ose gjenerues (hipotenuzë BC);
• rrezja e bazës (këmba AC).

Rrezja do të shënohet me shkronjën r dhe atriksi i gjeneratorit me g. Pastaj, duke marrë parasysh teoremën e Pitagorës, mund të shkruajmë një barazi të rëndësishme për figurën në shqyrtim:

g²=h²+ r²

Sipërfaqja konike

Tërësia e të gjitha gjeneratorëve formon një sipërfaqe konike ose anësore të një koni. Në pamje, është e vështirë të thuhet se cilës figurë të sheshtë i korrespondon. Kjo e fundit është e rëndësishme të dihet kur përcaktohet zona e një sipërfaqe konike. Për të zgjidhur këtë problem, përdoret metoda e fshirjes. Ai konsiston në sa vijon: një sipërfaqe pritet mendërisht përgjatë një gjeneratori arbitrar, dhe më pas shpaloset në një aeroplan. Me këtë metodë të marrjes së një spastrimi, formohet figura e sheshtë e mëposhtme.

Siç mund ta merrni me mend, rrethi korrespondon me bazën, por sektori rrethor është një sipërfaqe konike, zona për të cilën ne jemi të interesuar. Sektori kufizohet nga dy gjeneratorë dhe një hark. Gjatësia e kësaj të fundit është saktësisht e barabartë me perimetrin (gjatësinë) e perimetrit të bazës. Këto karakteristika përcaktojnë në mënyrë unike të gjitha vetitë e sektorit rrethor. Ne nuk do të japim llogaritjet e ndërmjetme matematikore, por menjëherë shkruajmë formulën përfundimtare, duke përdorur të cilën mund të llogarisni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të konit. Formula është:

S_b=pigr

Sipërfaqja e një sipërfaqeje konike S_b është e barabartë me prodhimin e dy parametrave dhe Pi.

Koni i cunguar dhe sipërfaqja e tij

Nëse marrim një kon të zakonshëm dhe presim majën e tij me një plan paralel, figura e mbetur do të jetë një kon i cunguar. Sipërfaqja e saj anësore është e kufizuar nga dy baza të rrumbullakëta. Le t'i shënojmë rrezet e tyre si R dhe r. Lartësinë e figurës e shënojmë me h dhe gjeneratorin me g. Më poshtë është një prerje letre për këtë figurë.

Shihet se sipërfaqja anësore nuk është më një sektor rrethor, është më i vogël në sipërfaqe, pasi pjesa qendrore ishte shkëputur prej saj. Zhvillimi kufizohet në katër vija, dy prej tyre janë segmente-gjeneratorë të drejtë, dy të tjerët janë harqe me gjatësitë e rrathëve përkatës të bazave të konit të cunguar.

Sipërfaqja anësore S_bllogaritet si më poshtë:

S_b=pig(r + R)

Gjeneratriksi, rrezet dhe lartësia lidhen me barazinë e mëposhtme:

g²=h²+ (R - r)²

Problemi me barazinë e sipërfaqeve të figurave

Jepet një kon me lartësi 20 cm dhe rreze bazë 8 cm. Është e nevojshme të gjendet lartësia e një koni të cunguar sipërfaqja anësore e të cilit do të ketë të njëjtën sipërfaqe si ky kon. Figura e cunguar është ndërtuar mbi të njëjtën bazë dhe rrezja e bazës së sipërme është 3 cm.

Së pari, le të shkruajmë kushtin e barazisë së sipërfaqeve të konit dhe figurës së cunguar. Ne kemi:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Tani le të shkruajmë shprehjet për gjeneratat e secilës figurë:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Zëvendësojmë g₁ dhe g₂ në formulën për sipërfaqe të barabarta dhe katrore anën e majtë dhe të djathtë, marrim:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Ku marrim shprehjen për h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Ne nuk do ta thjeshtojmë këtë barazi, por thjesht do të zëvendësojmë të dhënat e njohura nga kushti:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Kështu, për të barazuar sipërfaqet e sipërfaqeve anësore të figurave, koni i cunguar duhet të ketë parametrat: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.