Çdo student ka dëgjuar për një kon të rrumbullakët dhe imagjinon se si duket kjo figurë tredimensionale. Ky artikull përcakton zhvillimin e një koni, ofron formula që përshkruajnë karakteristikat e tij dhe përshkruan se si të ndërtohet duke përdorur një busull, raportor dhe një kënd.
Koni rrethor në gjeometri
Le të japim një përkufizim gjeometrik të kësaj figure. Një kon i rrumbullakët është një sipërfaqe që formohet nga segmente të vijës së drejtë që lidh të gjitha pikat e një rrethi të caktuar me një pikë të vetme në hapësirë. Kjo pikë e vetme nuk duhet t'i përkasë rrafshit në të cilin shtrihet rrethi. Nëse marrim një rreth në vend të një rrethi, atëherë kjo metodë çon gjithashtu në një kon.
Rrethi quhet baza e figurës, perimetri i tij është drejtimi. Segmentet që lidhin pikën me direktriksin quhen gjeneratorë ose gjeneratorë dhe pika ku ato kryqëzohen është kulmi i konit.
Koni i rrumbullakët mund të jetë i drejtë dhe i zhdrejtë. Të dyja figurat janë paraqitur në figurën më poshtë.
Dallimi midis tyre është ky: nëse pingulja nga maja e konit bie saktësisht në qendër të rrethit, atëherë koni do të jetë i drejtë. Për të, pingulja, e cila quhet lartësia e figurës, është pjesë e boshtit të tij. Në rastin e një koni të zhdrejtë, lartësia dhe boshti formojnë një kënd të mprehtë.
Për shkak të thjeshtësisë dhe simetrisë së figurës, ne do të shqyrtojmë më tej vetitë e vetëm një koni të djathtë me një bazë të rrumbullakët.
Marrja e një forme duke përdorur rrotullimin
Para se të vazhdoni të shqyrtoni zhvillimin e sipërfaqes së një koni, është e dobishme të dini se si mund të merret kjo figurë hapësinore duke përdorur rrotullimin.
Supozojmë se kemi një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b, c. Dy të parat prej tyre janë këmbët, c është hipotenuza. Le të vendosim një trekëndësh në këmbën a dhe të fillojmë ta rrotullojmë rreth këmbës b. Hipotenuza c më pas do të përshkruajë një sipërfaqe konike. Kjo teknikë e thjeshtë e konit është paraqitur në diagramin më poshtë.
Natyrisht, këmba a do të jetë rrezja e bazës së figurës, këmba b do të jetë lartësia e saj dhe hipotenuza c korrespondon me gjeneratën e një koni të djathtë të rrumbullakët.
Pamje e zhvillimit të konit
Siç mund ta merrni me mend, koni formohet nga dy lloje sipërfaqesh. Njëri prej tyre është një rreth me bazë të sheshtë. Supozoni se ka rreze r. Sipërfaqja e dytë është anësore dhe quhet konike. Le të jetë gjeneratori i tij i barabartë me g.
Nëse kemi një kon letre, atëherë mund të marrim gërshërë dhe të presim bazën prej saj. Pastaj, sipërfaqja konike duhet të pritetpërgjatë çdo gjenerate dhe vendoseni atë në aeroplan. Në këtë mënyrë, ne përftuam një zhvillim të sipërfaqes anësore të konit. Dy sipërfaqet, së bashku me konin origjinal, janë paraqitur në diagramin më poshtë.
Rrethi bazë përshkruhet në fund djathtas. Sipërfaqja konike e shpalosur është paraqitur në qendër. Rezulton se korrespondon me një sektor rrethor të rrethit, rrezja e të cilit është e barabartë me gjatësinë e gjeneratorit g.
Këndi dhe fshirja e zonës
Tani marrim formula që, duke përdorur parametrat e njohur g dhe r, na lejojnë të llogarisim sipërfaqen dhe këndin e konit.
Natyrisht, harku i sektorit rrethor i paraqitur më sipër në figurë ka një gjatësi të barabartë me perimetrin e bazës, që është:
l=2pir.
Nëse i gjithë rrethi me rreze g do të ndërtohej, atëherë gjatësia e tij do të ishte:
L=2pig.
Meqenëse gjatësia L korrespondon me 2pi radian, atëherë këndi në të cilin qëndron harku l mund të përcaktohet nga proporcioni përkatës:
L==>2pi;
l==> φ.
Atëherë këndi i panjohur φ do të jetë i barabartë me:
φ=2pil/L.
Duke zëvendësuar shprehjet për gjatësitë l dhe L, arrijmë në formulën e këndit të zhvillimit të sipërfaqes anësore të konit:
φ=2pir/g.
Këndi φ këtu shprehet në radiane.
Për të përcaktuar zonën Sb të një sektori rrethor, do të përdorim vlerën e gjetur të φ. Bëjmë edhe një proporcion, vetëm për zonat. Ne kemi:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Nga ku të shprehni Sb, dhe më pas të zëvendësoni vlerën e këndit φ. Ne marrim:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Për sipërfaqen e një sipërfaqe konike, kemi marrë një formulë mjaft kompakte. Vlera e Sb është e barabartë me prodhimin e tre faktorëve: pi, rrezja e figurës dhe gjenerata e saj.
Atëherë sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes së figurës do të jetë e barabartë me shumën e Sb dhe So (rrethore zona e bazës). Marrim formulën:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Ndërtimi i një spastrimi të një koni në letër
Për të përfunduar këtë detyrë do t'ju duhet një copë letër, një laps, një raportues, një vizore dhe një busull.
Së pari, le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë me brinjë 3 cm, 4 cm dhe 5 cm. Rrotullimi i tij rreth këmbës prej 3 cm do të japë konin e dëshiruar. Shifra ka r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Ndërtimi i një spastrimi do të fillojë duke vizatuar një rreth me rreze r me një busull. Gjatësia e tij do të jetë e barabartë me 6pi cm Tani pranë tij do të vizatojmë një rreth tjetër, por me një rreze g. Gjatësia e saj do të korrespondojë me 10pi cm Tani duhet të presim një sektor rrethor nga një rreth i madh. Këndi i tij φ është:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Tani e lëmë mënjanë këtë kënd me një raportor në një rreth me rreze g dhe vizatojmë dy rreze që do të kufizojnë sektorin rrethor.
PraKështu, ne kemi ndërtuar një zhvillim të konit me parametrat e specifikuar të rrezes, lartësisë dhe gjeneratorit.
Një shembull i zgjidhjes së një problemi gjeometrik
Duhet një kon i rrumbullakët i drejtë. Dihet se këndi i fshirjes anësore të tij është 120o. Është e nevojshme të gjendet rrezja dhe gjenerata e kësaj figure, nëse dihet se lartësia h e konit është 10 cm.
Detyra nuk është e vështirë nëse kujtojmë se një kon i rrumbullakët është një figurë e rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë. Nga ky trekëndësh rrjedh një marrëdhënie e paqartë midis lartësisë, rrezes dhe gjeneratorit. Le të shkruajmë formulën përkatëse:
g2=h2+ r2.
Shprehja e dytë që duhet përdorur gjatë zgjidhjes është formula për këndin φ:
φ=2pir/g.
Kështu, ne kemi dy ekuacione që lidhin dy sasi të panjohura (r dhe g).
Shpreh g nga formula e dytë dhe zëvendëso rezultatin në të parën, marrim:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Këndi φ=120o në radiane është 2pi/3. Ne e zëvendësojmë këtë vlerë, marrim formulat përfundimtare për r dhe g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Mbetet të zëvendësojmë vlerën e lartësisë dhe të marrim përgjigjen e pyetjes problemore: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
