Një kon është një nga figurat hapësinore të rrotullimit, karakteristikat dhe vetitë e të cilit studiohen nga stereometria. Në këtë artikull, ne do të përcaktojmë këtë figurë dhe do të shqyrtojmë formulat bazë që lidhin parametrat linearë të një koni me sipërfaqen dhe vëllimin e tij.
Çfarë është një kon?
Nga pikëpamja e gjeometrisë, ne po flasim për një figurë hapësinore, e cila formohet nga një grup segmentesh të drejta që lidhin një pikë të caktuar në hapësirë me të gjitha pikat e një lakore të sheshtë të lëmuar. Kjo kurbë mund të jetë një rreth ose një elips. Figura më poshtë tregon një kon.
Figura e paraqitur nuk ka vëllim, pasi muret e sipërfaqes së saj kanë një trashësi infinite të vogël. Megjithatë, nëse ai është i mbushur me një substancë dhe kufizohet nga lart jo nga një kurbë, por nga një figurë e sheshtë, për shembull, një rreth, atëherë do të marrim një trup vëllimor të ngurtë, i cili zakonisht quhet edhe kon.
Forma e një koni mund të gjendet shpesh në jetë. Pra, ajo ka një kon akullore ose kone trafiku me vija të zeza dhe portokalli që vendosen në rrugë për të tërhequr vëmendjen e pjesëmarrësve në trafik.
Elementet e një koni dhe llojet e tij
Meqenëse koni nuk është shumëfaqësh, numri i elementeve që e formojnë atë nuk është aq i madh sa për poliedrat. Në gjeometri, një kon i përgjithshëm përbëhet nga elementët e mëposhtëm:
- bazë, kurba kufizuese e së cilës quhet direktrix, ose gjenerata;
- e siperfaqes anesore, qe eshte grumbullimi i te gjitha pikave te segmenteve te drejte (gjeneratave) qe lidhin kulmin dhe pikat e kurbes udhezuese;
- kulmi, që është pika e kryqëzimit të gjeneratave.
Vini re se kulmi nuk duhet të shtrihet në rrafshin e bazës, pasi në këtë rast koni degjeneron në një figurë të sheshtë.
Nëse vizatojmë një segment pingul nga lart në bazë, do të marrim lartësinë e figurës. Nëse baza e fundit kryqëzohet në qendrën gjeometrike, atëherë është një kon i drejtë. Nëse pingulja nuk përkon me qendrën gjeometrike të bazës, atëherë figura do të jetë e prirur.
Konët e drejtë dhe të zhdrejtë janë paraqitur në figurë. Këtu, lartësia dhe rrezja e bazës së konit shënohen përkatësisht me h dhe r. Vija që lidh majën e figurës dhe qendrën gjeometrike të bazës është boshti i konit. Nga figura mund të shihet se për një figurë të drejtë, lartësia qëndron në këtë bosht, dhe për një figurë të pjerrët, lartësia formon një kënd me boshtin. Boshti i konit tregohet me shkronjën a.
Koni i drejtë me bazë të rrumbullakët
Ndoshta, ky kon është më i zakonshmi nga klasa e konsideruar e figurave. Ai përbëhet nga një rreth dhe një anësipërfaqeve. Nuk është e vështirë për ta marrë atë me metoda gjeometrike. Për ta bërë këtë, merrni një trekëndësh kënddrejtë dhe rrotullojeni rreth një boshti që përkon me njërën nga këmbët. Natyrisht, kjo këmbë do të bëhet lartësia e figurës, dhe gjatësia e këmbës së dytë të trekëndëshit formon rrezen e bazës së konit. Diagrami më poshtë tregon skemën e përshkruar për marrjen e figurës së rrotullimit në fjalë.
Trekëndëshi i paraqitur mund të rrotullohet rreth një këmbë tjetër, gjë që do të rezultojë në një kon me një rreze bazë më të madhe dhe një lartësi më të ulët se e para.
Për të përcaktuar në mënyrë të qartë të gjithë parametrat e një koni të drejtë të rrumbullakët, duhet të dihen dy nga karakteristikat e tij lineare. Midis tyre dallohen rrezja r, lartësia h ose gjatësia e gjeneratorit g. Të gjitha këto sasi janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë të konsideruar, prandaj, teorema e Pitagorës është e vlefshme për lidhjen e tyre:
g2=r2+ h2.
Sipërfaqja
Kur studioni sipërfaqen e çdo figure tredimensionale, është e përshtatshme të përdorni zhvillimin e saj në një aeroplan. Koni nuk bën përjashtim. Për një kon të rrumbullakët, zhvillimi tregohet më poshtë.
Shikojmë se shpalosja e figurës përbëhet nga dy pjesë:
- Rrethi që formon bazën e konit.
- Sektori i rrethit, i cili është sipërfaqja konike e figurës.
Sipërfaqja e një rrethi është e lehtë për t'u gjetur, dhe formula përkatëse është e njohur për çdo student. Duke folur për sektorin rrethor, vërejmë se aiështë pjesë e një rrethi me rreze g (gjatësia e gjeneratorit të konit). Gjatësia e harkut të këtij sektori është e barabartë me perimetrin e bazës. Këta parametra bëjnë të mundur përcaktimin e paqartë të zonës së saj. Formula përkatëse është:
S=pir2+ pirg.
Termat e parë dhe të dytë në shprehje janë përkatësisht koni i bazës dhe sipërfaqja anësore e zonës.
Nëse gjatësia e gjeneratorit g është e panjohur, por është dhënë lartësia h e figurës, atëherë formula mund të rishkruhet si:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Vëllimi i figurës
Nëse marrim një piramidë të drejtë dhe rrisim numrin e anëve të bazës së saj në pafundësi, atëherë forma e bazës do të priret në një rreth dhe sipërfaqja anësore e piramidës do t'i afrohet sipërfaqes konike. Këto konsiderata na lejojnë të përdorim formulën për vëllimin e një piramide kur llogaritim një vlerë të ngjashme për një kon. Vëllimi i një koni mund të gjendet duke përdorur formulën:
V=1/3hSo.
Kjo formulë është gjithmonë e vërtetë, pavarësisht se cila është baza e konit, duke pasur sipërfaqen So. Për më tepër, formula vlen edhe për konin e zhdrejtë.
Meqenëse po studiojmë vetitë e një figure të drejtë me bazë të rrumbullakët, mund të përdorim shprehjen e mëposhtme për të përcaktuar vëllimin e saj:
V=1/3hpir2.
Formula është e qartë.
Problemi i gjetjes së sipërfaqes dhe vëllimit
Le të jepet një kon, rrezja e të cilit është 10 cm dhe gjatësia e gjeneratorit është 20shih Nevoja për të përcaktuar vëllimin dhe sipërfaqen për këtë formë.
Për të llogaritur zonën S, mund të përdorni menjëherë formulën e shkruar më sipër. Ne kemi:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Për të përcaktuar volumin, duhet të dini lartësinë h të figurës. Ne e llogarisim atë duke përdorur marrëdhënien midis parametrave linearë të konit. Ne marrim:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Tani mund të përdorni formulën për V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Vini re se vëllimi i një koni të rrumbullakët është një e treta e cilindrit në të cilin është gdhendur.
