Aftësia për të përcaktuar vëllimin e figurave hapësinore është e rëndësishme për zgjidhjen e problemeve gjeometrike dhe praktike. Një nga këto figura është një prizëm. Ne do të shqyrtojmë në artikull se çfarë është dhe do të tregojmë se si të llogarisim vëllimin e një prizmi të prirur.
Çfarë nënkuptohet me një prizëm në gjeometri?
Ky është një shumëfaqësh i rregullt (polyedron), i cili formohet nga dy baza identike të vendosura në plane paralele dhe disa paralelograme që lidhin bazat e shënuara.
Bazat e prizmit mund të jenë shumëkëndësha arbitrare, si trekëndëshi, katërkëndëshi, shtatëkëndëshi, etj. Për më tepër, numri i qosheve (anëve) të poligonit përcakton emrin e figurës.
Çdo prizëm me bazë n-gon (n është numri i anëve) përbëhet nga n+2 faqe, 2 × n kulme dhe 3 × n skaje. Nga numrat e dhënë shihet se numri i elementeve të prizmit korrespondon me teoremën e Euler-it:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Figura më poshtë tregon se si duken prizmat trekëndëshe dhe katërkëndëshe të bëra nga qelqi.
Llojet e figurave. Prizma e anuar
Tashmë është thënë më lart se emri i një prizmi përcaktohet nga numri i anëve të shumëkëndëshit në bazë. Megjithatë, ka veçori të tjera në strukturën e saj që përcaktojnë vetitë e figurës. Pra, nëse të gjithë paralelogramët që formojnë sipërfaqen anësore të prizmit përfaqësohen me drejtkëndësha ose katrorë, atëherë një figurë e tillë quhet drejtëz. Për një prizëm të drejtë, distanca ndërmjet bazave është e barabartë me gjatësinë e skajit anësor të çdo drejtkëndëshi.
Nëse disa ose të gjitha brinjët janë paralelograme, atëherë po flasim për një prizëm të prirur. Lartësia e saj tashmë do të jetë më e vogël se gjatësia e brinjës anësore.
Një tjetër kriter me të cilin klasifikohen figurat në shqyrtim janë gjatësitë e brinjëve dhe këndet e shumëkëndëshit në bazë. Nëse janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë shumëkëndëshi do të jetë i saktë. Një figurë e drejtë me një shumëkëndësh të rregullt në bazat quhet e rregullt. Është i përshtatshëm për të punuar me të kur përcaktoni sipërfaqen dhe vëllimin. Një prizëm i prirur në këtë drejtim paraqet disa vështirësi.
Figura më poshtë tregon dy prizma me bazë katrore. Këndi 90° tregon ndryshimin themelor midis një prizmi të drejtë dhe të zhdrejtë.
Formula për përcaktimin e vëllimit të një figure
Një pjesë e hapësirës e kufizuar nga faqet e një prizmi quhet vëllimi i saj. Për shifrat e konsideruara të çdo lloji, kjo vlerë mund të përcaktohet me formulën e mëposhtme:
V=h × So
Këtu, simboli h tregon lartësinë e prizmit,që është një masë e distancës ndërmjet dy bazave. Simboli So - një katror bazë.
Zona bazë është e lehtë për t'u gjetur. Duke pasur parasysh faktin nëse shumëkëndëshi është i rregullt apo jo, dhe duke ditur numrin e brinjëve të tij, duhet të aplikoni formulën e duhur dhe të merrni So. Për shembull, për një kënd të rregullt n me gjatësi anësore a, zona do të jetë:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Tani le të kalojmë në lartësinë h. Për një prizëm të drejtë, përcaktimi i lartësisë nuk është i vështirë, por për një prizëm të zhdrejtë, kjo nuk është një detyrë e lehtë. Mund të zgjidhet me metoda të ndryshme gjeometrike, duke u nisur nga kushte specifike fillestare. Sidoqoftë, ekziston një mënyrë universale për të përcaktuar lartësinë e një figure. Le ta përshkruajmë shkurtimisht.
Ideja është të gjesh distancën nga një pikë në hapësirë në një aeroplan. Supozojmë se rrafshi është dhënë nga ekuacioni:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Atëherë avioni do të jetë në një distancë:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Nëse boshtet e koordinatave janë rregulluar në mënyrë që pika (0; 0; 0) të shtrihet në rrafshin e bazës së poshtme të prizmit, atëherë ekuacioni për planin bazë mund të shkruhet si më poshtë:
z=0
Kjo do të thotë se formula për lartësinë do të shkruhetkështu:
h=z1
Mjafton të gjesh koordinatën z të çdo pike të bazës së sipërme për të përcaktuar lartësinë e figurës.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Figura më poshtë tregon një prizëm katërkëndor. Baza e një prizmi të pjerrët është një katror me një anë 10 cm. Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i tij nëse dihet se gjatësia e skajit anësor është 15 cm, dhe këndi akut i paralelogramit ballor është 70 °.
Meqenëse lartësia h e figurës është edhe lartësia e paralelogramit, ne përdorim formula për të përcaktuar sipërfaqen e saj për të gjetur h. Le t'i shënojmë brinjët e paralelogramit si më poshtë:
a=10cm;
b=15cm
Pastaj mund të shkruani formulat e mëposhtme për të për të përcaktuar zonën Sp:
Sp=a × b × mëkat (α);
Sp=a × h
Nga marrim:
h=b × sin (α)
Këtu α është një kënd i mprehtë i paralelogramit. Meqenëse baza është një katror, formula për vëllimin e një prizmi të pjerrët do të marrë formën:
V=a2 × b × mëkat (α)
Zëvendësojmë të dhënat nga kushti në formulë dhe marrim përgjigjen: V ≈ 1410 cm3.
