Metodat për vendosjen e ekuacioneve të drejtëzave në plan dhe në hapësirën tredimensionale

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Vija e drejtë është objekti kryesor gjeometrik në rrafsh dhe në hapësirën tredimensionale. Është nga vijat e drejta që ndërtohen shumë figura, për shembull: një paralelogram, një trekëndësh, një prizëm, një piramidë etj. Konsideroni në artikull mënyra të ndryshme për vendosjen e ekuacioneve të drejtëzave.

Përkufizimi i një drejtëze dhe llojet e ekuacioneve për ta përshkruar atë

Çdo student ka një ide të mirë se për çfarë objekti gjeometrik po flet. Një vijë e drejtë mund të përfaqësohet si një koleksion pikash, dhe nëse e lidhim secilën prej tyre me radhë me të gjitha të tjerat, atëherë marrim një grup vektorësh paralelë. Me fjalë të tjera, është e mundur të arrijmë në secilën pikë të drejtëzës nga një nga pikat e saj fikse, duke e transferuar atë në një vektor njësi të shumëzuar me një numër real. Ky përkufizim i një vije të drejtë përdoret për të përcaktuar një barazi vektoriale për përshkrimin e saj matematikor si në plan ashtu edhe në hapësirën tredimensionale.

Një drejtëz mund të përfaqësohet matematikisht nga llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

e përgjithshme;
vektor;
parametrik;
në segmente;
simetrike (kanonike).

Më pas, do të shqyrtojmë të gjitha llojet e përmendura dhe do të tregojmë se si të punojmë me ta duke përdorur shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Përshkrimi vektorial dhe parametrik i një vije të drejtë

Le të fillojmë duke përcaktuar një vijë të drejtë përmes një vektori të njohur. Supozoni se ka një pikë fikse në hapësirën M(x₀; y₀; z_{0). Dihet se vija e drejtë kalon nëpër të dhe drejtohet përgjatë segmentit vektorial v¯(a; b; c). Si të gjeni një pikë arbitrare të vijës nga këto të dhëna? Përgjigja për këtë pyetje do të japë barazinë e mëposhtme:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Ku λ është një numër arbitrar.

Një shprehje e ngjashme mund të shkruhet për rastin dydimensional, ku koordinatat e vektorëve dhe pikave përfaqësohen nga një grup prej dy numrash:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Ekuacionet e shkruara quhen ekuacione vektoriale dhe segmenti i drejtuar v¯ në vetvete është vektori i drejtimit për vijën e drejtë.

Nga shprehjet e shkruara fitohen thjesht ekuacionet parametrike përkatëse, mjafton t'i rishkruajmë në mënyrë eksplicite. Për shembull, për rastin në hapësirë, marrim ekuacionin e mëposhtëm:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Është e përshtatshme të punosh me ekuacione parametrike nëse duhet të analizosh sjelljençdo koordinatë. Vini re se megjithëse parametri λ mund të marrë vlera arbitrare, ai duhet të jetë i njëjtë në të tre barazitë.

Ekuacioni i përgjithshëm

Një mënyrë tjetër për të përcaktuar një vijë të drejtë, e cila përdoret shpesh për të punuar me objektin gjeometrik të konsideruar, është përdorimi i një ekuacioni të përgjithshëm. Për rastin dydimensional, duket si:

Ax + By + C=0

Këtu shkronjat e mëdha latine përfaqësojnë vlera numerike specifike. Komoditeti i kësaj barazie në zgjidhjen e problemeve qëndron në faktin se ai përmban në mënyrë eksplicite një vektor që është pingul me një vijë të drejtë. Nëse e shënojmë me n¯, atëherë mund të shkruajmë:

n¯=[A; B]

Përveç kësaj, shprehja është e përshtatshme për t'u përdorur për të përcaktuar distancën nga një vijë e drejtë deri në një pikë P(x₁; y_{1). Formula për distancën d është:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Është e lehtë të tregohet se nëse shprehim në mënyrë eksplicite ndryshoren y nga ekuacioni i përgjithshëm, marrim formën e mëposhtme të njohur të shkrimit të një vije të drejtë:

y=kx + b

Ku k dhe b përcaktohen në mënyrë unike nga numrat A, B, C.

Ekuacioni në segmente dhe kanonik

Prerja e boshteve koordinative të një vije të drejtë

Ekuacioni në segmente është më i lehtë për t'u marrë nga pamja e përgjithshme. Ne do t'ju tregojmë se si ta bëni atë.

Supozoni se kemi rreshtin e mëposhtëm:

Ax + By + C=0

Lëvizni termin e lirë në anën e djathtë të barazisë, pastaj pjesëtoni të gjithë ekuacionin me të, marrim:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, ku q=-C / A, p=-C / B

Kemi marrë të ashtuquajturin ekuacion në segmente. Emrin e ka marrë për faktin se emëruesi me të cilin ndahet secila variabël tregon vlerën e koordinatës së kryqëzimit të drejtëzës me boshtin përkatës. Është i përshtatshëm për të përdorur këtë fakt për të përshkruar një vijë të drejtë në një sistem koordinativ, si dhe për të analizuar pozicionin e saj relativ në lidhje me objektet e tjera gjeometrike (vijat e drejta, pikat).

Tani le të kalojmë në marrjen e ekuacionit kanonik. Kjo është më e lehtë për t'u bërë nëse marrim parasysh opsionin parametrik. Për rastin në aeroplan kemi:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Ne shprehim parametrin λ në çdo barazi, pastaj i barazojmë, marrim:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Ky është ekuacioni i dëshiruar i shkruar në formë simetrike. Ashtu si një shprehje vektoriale, ajo përmban në mënyrë eksplicite koordinatat e vektorit të drejtimit dhe koordinatat e njërës prej pikave që i përket vijës.

Mund të shihet se në këtë paragraf kemi dhënë ekuacione për rastin dydimensional. Në mënyrë të ngjashme, mund të shkruani ekuacionin e një vije të drejtë në hapësirë. Këtu duhet theksuar se nëse forma kanonikeregjistrimet dhe shprehja në segmente do të kenë të njëjtën formë, atëherë ekuacioni i përgjithshëm në hapësirë për një vijë të drejtë përfaqësohet nga një sistem prej dy ekuacionesh për rrafshet që kryqëzohen.

Problemi i ndërtimit të ekuacionit të një drejtëze

Nga gjeometria, çdo student e di se përmes dy pikave mund të vizatoni një vijë të vetme. Supozojmë se pikat e mëposhtme janë dhënë në planin koordinativ:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Është e nevojshme të gjendet ekuacioni i drejtëzës së cilës i përkasin të dyja pikat, në segmente, në formë vektoriale, kanonike dhe të përgjithshme.

Le të marrim fillimisht ekuacionin e vektorit. Për ta bërë këtë, përcaktoni për vektorin e drejtimit të drejtpërdrejtë M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Tani mund të krijoni një ekuacion vektorial duke marrë një nga dy pikat e specifikuara në deklaratën e problemit, për shembull, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Për të marrë ekuacionin kanonik, mjafton që barazia e gjetur të shndërrohet në formë parametrike dhe të përjashtohet parametri λ. Ne kemi:

x=-1 - 2λ, prandaj λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, atëherë marrim λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Dy ekuacionet e mbetura (të përgjithshme dhe në segmente) mund të gjenden nga ai kanonik duke e transformuar atë si më poshtë:

x + 1=-2y + 6;

ekuacioni i përgjithshëm: x + 2y - 5=0;

në ekuacion segmentesh: x / 5 + y / 2, 5=1

Ekuacionet që rezultojnë tregojnë se vektori (1; 2) duhet të jetë pingul me drejtëzën. Në të vërtetë, nëse e gjeni produktin e tij skalar me vektorin e drejtimit, atëherë ai do të jetë i barabartë me zero. Ekuacioni i segmentit të linjës thotë se drejtëza kryqëzon boshtin x në (5; 0) dhe boshtin y në (2, 5; 0).

Problemi i përcaktimit të pikës së kryqëzimit të drejtëzave

Dy drejtëza jepen në aeroplan nga ekuacionet e mëposhtme:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e pikës ku kryqëzohen këto drejtëza.

Ka dy mënyra për të zgjidhur problemin:

Transformoni ekuacionin e vektorit në një formë të përgjithshme, pastaj zgjidhni sistemin e dy ekuacioneve lineare.
Mos kryeni asnjë transformim, por thjesht zëvendësoni koordinatat e pikës së kryqëzimit, të shprehura përmes parametrit λ, në ekuacionin e parë. Më pas gjeni vlerën e parametrit.

Le të bëjmë mënyrën e dytë. Ne kemi: