Ekuacionet kuadrike shfaqen shpesh në një numër problemesh në matematikë dhe fizikë, kështu që çdo student duhet të jetë në gjendje t'i zgjidhë ato. Ky artikull detajon metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, si dhe jep shembuj të përdorimit të tyre.
Cili ekuacion quhet kuadratik
Së pari, ne do t'i përgjigjemi pyetjes së këtij paragrafi për të kuptuar më mirë se për çfarë do të bëhet fjalë artikulli. Pra, ekuacioni kuadratik ka këtë formë të përgjithshme: c + bx+ax2=0, ku a, b, c janë disa numra, të cilët quhen koeficientë. Këtu a≠0 është një kusht i detyrueshëm, përndryshe ekuacioni i treguar degjeneron në një linear. Koeficientët e mbetur (b, c) mund të marrin absolutisht çdo vlerë, duke përfshirë zero. Kështu, shprehje si ax2=0, ku b=0 dhe c=0, ose c+ax2=0, ku b=0, ose bx+ax2=0, ku c=0 janë gjithashtu ekuacione kuadratike, të cilat quhen jo të plota, pasi koeficienti linear b në to është zero ose zero.është një term i lirë c, ose të dyja zhduken.
Një ekuacion në të cilin a=1 quhet i reduktuar, domethënë ka formën: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik është të gjesh vlera të tilla x që plotësojnë barazinë e tij. Këto vlera quhen rrënjë. Meqenëse ekuacioni në shqyrtim është një shprehje e shkallës së dytë, kjo do të thotë se numri maksimal i rrënjëve të tij nuk mund të kalojë dy.
Çfarë metodash ekzistojnë për zgjidhjen e ekuacioneve katrore
Në përgjithësi, ekzistojnë 4 metoda zgjidhjeje. Emrat e tyre janë renditur më poshtë:
- Faktoring.
- Shtesë në katror.
- Përdorimi i një formule të njohur (nëpërmjet diskriminuesit).
- Metoda e zgjidhjes është gjeometrike.
Siç mund ta shihni nga lista e mësipërme, tre metodat e para janë algjebrike, kështu që ato përdoren më shpesh se e fundit, e cila përfshin vizatimin e një funksioni.
Ka një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet katrore duke përdorur teoremën Vieta. Mund të përfshihet në vendin e 5-të në listën e mësipërme, megjithatë, kjo nuk është bërë, pasi teorema e Vietës është një pasojë e thjeshtë e metodës së tretë.
Më vonë në artikull do të shqyrtojmë më në detaje metodat e emërtuara të zgjidhjes, si dhe do të japim shembuj të përdorimit të tyre për të gjetur rrënjët e ekuacioneve specifike.
Metoda 1. Faktoring
Për këtë metodë në matematikën e ekuacioneve kuadratike, ekziston njëemri: faktorizimi. Thelbi i kësaj metode është si vijon: është e nevojshme të paraqitet ekuacioni kuadratik si produkt i dy termave (shprehjeve), të cilat duhet të jenë të barabarta me zero. Pas një paraqitjeje të tillë, mund të përdorni veçorinë e produktit, e cila do të jetë e barabartë me zero vetëm kur një ose më shumë (të gjithë) anëtarët e tij janë zero.
Tani merrni parasysh sekuencën e veprimeve specifike që duhen kryer për të gjetur rrënjët e ekuacionit:
- Lëvizni të gjithë anëtarët në një pjesë të shprehjes (për shembull, në të majtë) në mënyrë që vetëm 0 të mbetet në pjesën tjetër të saj (djathtas).
- Përfaqësoni shumën e termave në një pjesë të ekuacionit si produkt i dy ekuacioneve lineare.
- Vendosni secilën prej shprehjeve lineare në zero dhe zgjidhni ato.
Siç e shihni, algoritmi i faktorizimit është mjaft i thjeshtë, megjithatë shumica e nxënësve kanë vështirësi gjatë zbatimit të pikës së 2-të, ndaj do ta shpjegojmë më në detaje.
Për të gjetur se cilat 2 shprehje lineare, kur shumëzohen me njëra-tjetrën, do të japin ekuacionin e dëshiruar kuadratik, duhet të mbani mend dy rregulla të thjeshta:
- Koeficientët linearë të dy shprehjeve lineare, kur shumëzohen me njëra-tjetrën, duhet të japin koeficientin e parë të ekuacionit kuadratik, domethënë numrin a.
- Temat e lira të shprehjeve lineare, kur shumëzohen, duhet të japin numrin c të ekuacionit të dëshiruar.
Pasi të zgjidhen të gjithë numrat e faktorëve, ata duhet të shumëzohen dhe nëse japin ekuacionin e dëshiruar, atëherë shkoni në hapin 3 nëalgoritmin e mësipërm, përndryshe ju duhet të ndryshoni shumëzuesit, por duhet ta bëni këtë në mënyrë që rregullat e mësipërme të ndiqen gjithmonë.
Shembull i zgjidhjes sipas metodës së faktorizimit
Le të tregojmë qartë se si është algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik për të kompozuar dhe gjetur rrënjë të panjohura. Le të jepet një shprehje arbitrare, për shembull, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Le të kalojmë në zgjidhjen e tij, duke respektuar sekuencën e pikave nga 1 në 3, të cilat janë përcaktuar në paragrafin e mëparshëm të artikullit.
Artikulli 1. Zhvendoseni të gjithë termat në anën e majtë dhe renditini ato në sekuencën klasike për një ekuacion kuadratik. Kemi barazinë e mëposhtme: 2x+(-8)+x2=0.
Artikulli 2. E ndajmë në një prodhim të ekuacioneve lineare. Meqenëse a=1, dhe c=-8, atëherë do të zgjedhim, për shembull, një produkt të tillë (x-2)(x+4). Ai plotëson rregullat për gjetjen e faktorëve të pritshëm të përcaktuara në paragrafin e mësipërm. Nëse hapim kllapat, marrim: -8+2x+x2, domethënë, marrim saktësisht të njëjtën shprehje si në anën e majtë të ekuacionit. Kjo do të thotë se ne i kemi hamendësuar saktë shumëzuesit dhe mund të vazhdojmë në hapin e tretë të algoritmit.
Artikulli 3. Barazoni çdo faktor me zero, marrim: x=-4 dhe x=2.
Nëse ka ndonjë dyshim për rezultatin, rekomandohet të kontrolloni duke zëvendësuar rrënjët e gjetura në ekuacionin origjinal. Në këtë rast, kemi: 22+22-8=0 dhe 2(-4)+(-4)2 -8=0. Rrënjët u gjetën saktë.
Kështu, duke përdorur metodën e faktorizimit, zbuluam se ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë të ndryshmeka: 2 dhe -4.
Metoda 2. Plotësoni katrorin e plotë
Në algjebrën e ekuacioneve katrore, metoda e shumëzuesit nuk mund të përdoret gjithmonë, pasi në rastin e vlerave thyesore të koeficientëve të ekuacionit kuadratik, lindin vështirësi në zbatimin e paragrafit 2 të algoritmit.
Metoda e katrorit të plotë, nga ana tjetër, është universale dhe mund të zbatohet për ekuacionet kuadratike të çdo lloji. Thelbi i tij është të kryejë operacionet e mëposhtme:
- Termat e ekuacionit që përmbajnë koeficientët a dhe b duhet të transferohen në njërën pjesë të ekuacionit dhe termi i lirë c në tjetrin.
- Më pas, pjesët e barazisë (djathtas dhe majtas) duhet të ndahen me koeficientin a, domethënë të paraqitet ekuacioni në formën e reduktuar (a=1).
- Mblidhni termat me koeficientët a dhe b për të paraqitur si katror të një ekuacioni linear. Meqenëse një \u003d 1, atëherë koeficienti linear do të jetë i barabartë me 1, si për termin e lirë të ekuacionit linear, atëherë ai duhet të jetë i barabartë me gjysmën e koeficientit linear të ekuacionit kuadratik të reduktuar. Pasi të jetë hartuar katrori i shprehjes lineare, është e nevojshme të shtohet numri përkatës në anën e djathtë të barazisë, ku ndodhet termi i lirë, i cili fitohet duke zgjeruar katrorin.
- Merrni rrënjën katrore me shenjat "+" dhe "-" dhe zgjidhni ekuacionin linear të marrë tashmë.
Algoritmi i përshkruar në shikim të parë mund të perceptohet si mjaft i ndërlikuar, megjithatë, në praktikë është më e lehtë për t'u zbatuar sesa metoda e faktorizimit.
Një shembull i një zgjidhjeje duke përdorur plotësimin katror të plotë
Le të japim një shembull të një ekuacioni kuadratik për trajnimin e zgjidhjes së tij me metodën e përshkruar në paragrafin e mëparshëm. Le të jepet ekuacioni kuadratik -10 - 6x+5x2=0. Fillojmë ta zgjidhim atë duke ndjekur algoritmin e përshkruar më sipër.
Artikulli 1. Ne përdorim metodën e transferimit kur zgjidhim ekuacione katrore, marrim: - 6x+5x2=10.
Pika 2. Forma e reduktuar e këtij ekuacioni fitohet duke pjesëtuar me numrin 5 të secilit prej anëtarëve të tij (nëse të dyja pjesët pjesëtohen ose shumëzohen me të njëjtin numër, atëherë barazia do të ruhet). Si rezultat i transformimeve, marrim: x2 - 6/5x=2.
Artikulli 3. Gjysma e koeficientit - 6/5 është -6/10=-3/5, përdorni këtë numër për të plotësuar katrorin, marrim: (-3/5+x) 2 . Ne e zgjerojmë atë dhe termi i lirë që rezulton duhet të zbritet nga ana e majtë e barazisë në mënyrë që të plotësohet forma origjinale e ekuacionit kuadratik, e cila është e barabartë me shtimin e tij në anën e djathtë. Si rezultat, marrim: (-3/5+x)2=59/25.
Pika 4. Njehsoni rrënjën katrore me shenja pozitive dhe negative dhe gjeni rrënjët: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dy rrënjët e gjetura kanë vlerat e mëposhtme: x1=(√59+3)/5 dhe x1=(3-√59)/5.
Meqenëse llogaritjet e kryera lidhen me rrënjët, ekziston një probabilitet i lartë për të bërë një gabim. Prandaj, rekomandohet të kontrolloni saktësinë e rrënjëve x2 dhe x1. Ne marrim për x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Zëvendëso tanix2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Kështu, ne kemi treguar se rrënjët e gjetura të ekuacionit janë të vërteta.
Metoda 3. Zbatimi i formulës së njohur
Kjo metodë e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike është ndoshta më e thjeshta, pasi konsiston në zëvendësimin e koeficientëve në një formulë të njohur. Për ta përdorur atë, nuk keni nevojë të mendoni për përpilimin e algoritmeve të zgjidhjes, mjafton të mbani mend vetëm një formulë. Është treguar në foton e mësipërme.
Në këtë formulë, shprehja radikale (b2-4ac) quhet diskriminues (D). Nga vlera e saj varet se cilat rrënjë janë marrë. Ka 3 raste:
- D>0, atëherë ekuacioni i rrënjës dy ka ato reale dhe të ndryshme.
- D=0, pastaj merr rrënjën, e cila mund të llogaritet nga shprehja x=-b/(a2).
- D<0, atëherë ju merrni dy rrënjë të ndryshme imagjinare, të cilat përfaqësohen si numra kompleks. Për shembull, numri 3-5i është kompleks, ndërsa njësia imagjinare i plotëson vetinë: i2=-1.
Një shembull i një zgjidhjeje duke llogaritur diskriminuesin
Le të japim një shembull të një ekuacioni kuadratik për t'u praktikuar duke përdorur formulën e mësipërme. Gjeni rrënjët për -3x2-6+3x+4x=0. Së pari, llogaritni vlerën e diskriminuesit, marrim: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Meqenëse është marrë D<0, do të thotë se rrënjët e ekuacionit të konsideruar janë numra kompleks. Le t'i gjejmë ato duke zëvendësuar vlerën e gjetur D në formulën e dhënë në paragrafin e mëparshëm (është treguar edhe në foton e mësipërme). Ne marrim: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Përdorimi i grafikut të funksionit
Quhet edhe metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve katrore. Duhet thënë se, si rregull, përdoret jo për analizë sasiore, por cilësore të ekuacionit në shqyrtim.
Thelbi i metodës është të vizatojë një funksion kuadratik y=f(x), i cili është një parabolë. Pastaj, është e nevojshme të përcaktohet se në cilat pika parabola e pret boshtin x (X), ato do të jenë rrënjët e ekuacionit përkatës.
Për të treguar nëse një parabolë do të presë boshtin X, mjafton të dimë pozicionin e minimumit (maksimumit) dhe drejtimin e degëve të saj (ato mund të rriten ose të zvogëlohen). Ka dy veti të kësaj kurbe për t'u mbajtur mend:
- Nëse a>0 - parabolat e degës janë të drejtuara lart, përkundrazi, nëse a<0, atëherë ato zbresin.
- Koordinata minimale (maksimale) e një parabole është gjithmonë x=-b/(2a).
Për shembull, ju duhet të përcaktoni nëse ekuacioni -4x+5x2+10=0. Parabola përkatëse do të drejtohet lart, pasi një=5>0. Ekstremi i tij ka koordinata: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. minimumi i kurbës qëndron mbi boshtin x (y=9, 2), atëherë ai nuk e pret këtë të fundit për asnjëvlerat x. Kjo do të thotë, ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë reale.
teorema e Vietës
Siç u përmend më lart, kjo teoremë është pasojë e metodës nr. 3, e cila bazohet në zbatimin e një formule me një diskriminues. Thelbi i teoremës Vieta është se ju lejon të lidhni koeficientët e ekuacionit dhe rrënjët e tij në barazi. Le të marrim barazitë përkatëse.
Le të përdorim formulën për llogaritjen e rrënjëve përmes diskriminuesit. Shtoni dy rrënjë, marrim: x1+x2=-b/a. Tani le t'i shumëzojmë rrënjët me njëra-tjetrën: x1x2, pas një serie thjeshtësimesh marrim numrin c/a.
Kështu, për të zgjidhur ekuacionet kuadratike me teoremën Vieta, mund të përdorni dy barazitë e fituara. Nëse të tre koeficientët e një ekuacioni janë të njohur, atëherë rrënjët mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e duhur të këtyre dy ekuacioneve.
Një shembull i përdorimit të teoremës së Vieta
Duhet të shkruani një ekuacion kuadratik nëse e dini se ai ka formën x2+c=-bx dhe rrënjët e tij janë 3 dhe -4.
Meqenëse a=1 në ekuacionin në shqyrtim, formulat Vieta do të duken si: x2+x1=-b dhe x2x1=f. Duke zëvendësuar vlerat e njohura të rrënjëve, marrim: b=1 dhe c=-12. Si rezultat, ekuacioni i reduktuar kuadratik i rivendosur do të duket si: x2-12=-1x. Ju mund të zëvendësoni vlerën e rrënjëve në të dhe të siguroheni që barazia të jetë e qëndrueshme.
Zbatim i kundërt i teoremës Vieta, pra, llogaritja e rrënjëve meforma e njohur e ekuacionit, lejon që numrat e plotë a, b dhe c të gjejnë shpejt (intuitivisht) zgjidhjet.
