Edhe në shkollë, secili prej nesh studionte ekuacionet dhe, me siguri, sistemet e ekuacioneve. Por jo shumë njerëz e dinë se ka disa mënyra për t'i zgjidhur ato. Sot do të analizojmë në detaje të gjitha metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare, të cilat përbëhen nga më shumë se dy barazime.
Histori
Sot dihet se arti i zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të tyre e ka origjinën në Babiloninë e lashtë dhe Egjiptin. Sidoqoftë, barazitë në formën e tyre të zakonshme u shfaqën pas shfaqjes së shenjës së barabartë "=", e cila u prezantua në 1556 nga matematikani anglez Record. Nga rruga, kjo shenjë u zgjodh për një arsye: do të thotë dy segmente të barabarta paralele. Në të vërtetë, nuk ka shembull më të mirë të barazisë.
Themeluesi i emërtimeve moderne të shkronjave të të panjohurave dhe shenjave të gradave është matematikani francez Francois Viet. Megjithatë, emërtimet e tij ndryshonin ndjeshëm nga ato të sotmet. Për shembull, ai shënoi katrorin e një numri të panjohur me shkronjën Q (lat. "quadratus"), dhe kubin me shkronjën C (lat. "cubus"). Këto emërtime tani duken të papërshtatshme, por atëherëishte mënyra më e kuptueshme për të shkruar sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare.
Megjithatë, disavantazhi i metodave të atëhershme të zgjidhjes ishte se matematikanët konsideronin vetëm rrënjë pozitive. Ndoshta kjo për faktin se vlerat negative nuk kishin përdorim praktik. Në një mënyrë apo tjetër, ishin matematikanët italianë Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dhe Rafael Bombelli të cilët ishin të parët që morën parasysh rrënjët negative në shekullin e 16-të. Dhe pamja moderne, metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike (përmes diskriminuesit) u krijua vetëm në shekullin e 17-të falë punës së Dekartit dhe Njutonit.
Në mesin e shekullit të 18-të, matematikani zviceran Gabriel Cramer gjeti një mënyrë të re për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo metodë u emërua më pas pas tij dhe sot e kësaj dite ne e përdorim atë. Por për metodën Cramer do të flasim pak më vonë, por tani për tani do të diskutojmë ekuacionet lineare dhe metodat për zgjidhjen e tyre veçmas nga sistemi.
Ekuacione lineare
Ekuacionet lineare janë barazitë më të thjeshta me ndryshore. Ato klasifikohen si algjebrike. Ekuacionet lineare shkruhen në formën e përgjithshme si më poshtë: 2+…a x =b. Ne do të na duhet përfaqësimi i tyre në këtë formë kur përpilojmë sisteme dhe matrica më tej.
Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare
Përkufizimi i këtij termi është ky: është një grup ekuacionesh që kanë të panjohura të përbashkëta dhe një zgjidhje të përbashkët. Si rregull, në shkollë gjithçka vendosej nga sistemetme dy apo edhe tre ekuacione. Por ka sisteme me katër ose më shumë komponentë. Le të kuptojmë fillimisht se si t'i shkruajmë ato në mënyrë që të jetë e përshtatshme për t'i zgjidhur ato më vonë. Së pari, sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare do të duken më mirë nëse të gjitha variablat shkruhen si x me indeksin e duhur: 1, 2, 3, e kështu me radhë. Së dyti, të gjitha ekuacionet duhet të reduktohen në formën kanonike: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Pas gjithë këtyre hapave, mund të fillojmë të flasim se si të gjejmë një zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare. Matricat do të jenë shumë të dobishme për këtë.
Matricat
Një matricë është një tabelë që përbëhet nga rreshta dhe kolona, dhe elementët e saj ndodhen në kryqëzimin e tyre. Këto mund të jenë ose vlera specifike ose variabla. Më shpesh, për të përcaktuar elementët, nënshkrimet vendosen nën to (për shembull, a11 ose a23). Indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit dhe i dyti numrin e kolonës. Në matricat, si dhe në çdo element tjetër matematikor, mund të kryeni operacione të ndryshme. Kështu që ju mund të:
1) Zbrisni dhe shtoni tabela me të njëjtën madhësi.
2) Shumëzoni një matricë me një numër ose vektor.
3) Transpozoni: Kthejini rreshtat e matricës në kolona dhe kolonat në rreshta.
4) Shumëzoni matricat nëse numri i rreshtave të njërës prej tyre është i barabartë me numrin e kolonave të tjetrës.
Ne do t'i diskutojmë të gjitha këto teknika më në detaje, pasi ato do të jenë të dobishme për ne në të ardhmen. Zbritja dhe shtimi i matricave është shumë i lehtë. Kështu qëndërsa marrim matrica me të njëjtën madhësi, atëherë çdo element i një tabele korrespondon me secilin element të një tjetri. Kështu, ne i shtojmë (zbresim) këta dy elementë (është e rëndësishme që ato të jenë në të njëjtat vende në matricat e tyre). Kur shumëzoni një matricë me një numër ose vektor, thjesht duhet të shumëzoni çdo element të matricës me atë numër (ose vektor). Transpozimi është një proces shumë interesant. Është shumë interesante ndonjëherë ta shohësh atë në jetën reale, për shembull, kur ndryshoni orientimin e një tableti ose telefoni. Ikonat në desktop janë një matricë dhe kur ndryshoni pozicionin, ajo transpozohet dhe bëhet më e gjerë, por zvogëlohet në lartësi.
Le t'i hedhim një vështrim tjetër një procesi të tillë si shumëzimi i matricës. Edhe pse nuk do të jetë e dobishme për ne, do të jetë e dobishme ta njohim atë. Ju mund të shumëzoni dy matrica vetëm nëse numri i kolonave në një tabelë është i barabartë me numrin e rreshtave në tjetrën. Tani le të marrim elementet e një rreshti të një matrice dhe elementet e kolonës përkatëse të një tjetre. I shumëzojmë me njëra-tjetrën dhe më pas i mbledhim (d.m.th., prodhimi i elementeve a11 dhe a12 me b 12dhe b22 do të jetë e barabartë me: a11b12 + a 12 b22). Kështu, fitohet një element i tabelës dhe plotësohet më tej me një metodë të ngjashme.
Tani mund të fillojmë të shikojmë se si zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare.
Metoda e Gauss
Kjo temë fillon të kalojë edhe në shkollë. Ne e njohim mirë konceptin "sistemi i dy ekuacioneve lineare" dhe dimë t'i zgjidhim ato. Por çka nëse numri i ekuacioneve është më shumë se dy? Metoda e Gausit do të na ndihmojë me këtë.
Sigurisht, kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur nëse bëni një matricë jashtë sistemit. Por nuk mund ta transformosh dhe ta zgjidhësh në formën e tij më të pastër.
Pra, si e zgjidh kjo metodë sistemin e ekuacioneve lineare të Gausit? Nga rruga, megjithëse kjo metodë është emëruar pas tij, ajo u zbulua në kohët e lashta. Gauss propozon si më poshtë: të kryhen operacione me ekuacione në mënyrë që përfundimisht të reduktohet i gjithë grupi në një formë të shkallëzuar. Kjo do të thotë, është e nevojshme që nga lart poshtë (nëse vendoset saktë) nga ekuacioni i parë në të fundit, një e panjohur të zvogëlohet. Me fjalë të tjera, duhet të sigurohemi që të marrim, të themi, tre ekuacione: në të parën - tre të panjohura, në të dytën - dy, në të tretën - një. Pastaj nga ekuacioni i fundit gjejmë të panjohurën e parë, e zëvendësojmë vlerën e saj në ekuacionin e dytë ose të parë dhe më pas gjejmë dy variablat e mbetur.
Metoda Cramer
Për të zotëruar këtë metodë, është jetike të zotëroni aftësitë e mbledhjes, zbritjes së matricave, dhe gjithashtu duhet të jeni në gjendje të gjeni përcaktorë. Prandaj, nëse i bëni të gjitha këto keq ose nuk dini fare, do t'ju duhet të mësoni dhe praktikoni.
Cili është thelbi i kësaj metode dhe si ta bëjmë atë në mënyrë që të merret një sistem ekuacionesh lineare Cramer? Gjithçka është shumë e thjeshtë. Duhet të ndërtojmë një matricë nga koeficientët numerikë (pothuajse gjithmonë) të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Për ta bërë këtë, thjesht merrni numrat përpara të panjohurave dhe renditini atotabelë sipas radhës në të cilën janë regjistruar në sistem. Nëse numri paraprihet nga një shenjë "-", atëherë shkruajmë një koeficient negativ. Pra, ne kemi përpiluar matricën e parë nga koeficientët e të panjohurave, duke mos përfshirë numrat pas shenjave të barabarta (natyrisht, ekuacioni duhet të reduktohet në formën kanonike, kur vetëm numri është në të djathtë dhe të gjitha të panjohurat me koeficientët në të majtë). Pastaj ju duhet të krijoni disa matrica të tjera - një për secilën variabël. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë me radhë secilën kolonë me koeficientët në matricën e parë me një kolonë numrash pas shenjës së barabartë. Kështu, marrim disa matrica dhe më pas gjejmë përcaktuesit e tyre.
Pasi kemi gjetur përcaktorët, çështja është e vogël. Ne kemi një matricë fillestare, dhe ka disa matrica rezultuese që korrespondojnë me variabla të ndryshëm. Për të marrë zgjidhjet e sistemit, ne ndajmë përcaktorin e tabelës që rezulton me përcaktorin e tabelës fillestare. Numri që rezulton është vlera e njërës prej variablave. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjitha të panjohurat.
Metoda të tjera
Ka disa metoda të tjera për të marrë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Për shembull, e ashtuquajtura metodë Gauss-Jordan, e cila përdoret për të gjetur zgjidhje për një sistem ekuacionesh kuadratike dhe gjithashtu shoqërohet me përdorimin e matricave. Ekziston edhe një metodë Jacobi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Është më e lehtë për t'u përshtatur me një kompjuter dhe përdoret në kompjuter.
Raste të vështira
Kompleksiteti zakonisht ndodh kur numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i variablave. Atëherë mund të themi me siguri se ose sistemi është i paqëndrueshëm (d.m.th., ai nuk ka rrënjë), ose numri i zgjidhjeve të tij priret në pafundësi. Nëse kemi rastin e dytë, atëherë duhet të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Ai do të përmbajë të paktën një ndryshore.
Përfundim
Këtu kemi ardhur në fund. Për ta përmbledhur: ne kemi analizuar se çfarë është një sistem dhe një matricë, kemi mësuar se si të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh lineare. Përveç kësaj, u morën parasysh opsione të tjera. Zbuluam se si zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare: metoda e Gausit dhe metoda Cramer. Ne folëm për raste të vështira dhe mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje.
Në fakt, kjo temë është shumë më e gjerë dhe nëse doni ta kuptoni më mirë, ju këshillojmë të lexoni literaturë më të specializuar.
