Mendoj se duhet të fillojmë me historinë e një mjeti matematikor kaq të lavdishëm si ekuacionet diferenciale. Ashtu si të gjitha llogaritjet diferenciale dhe integrale, këto ekuacione u shpikën nga Njutoni në fund të shekullit të 17-të. Ai e konsideroi këtë zbulim të tij aq të rëndësishëm, saqë ai madje e kodoi mesazhin, i cili sot mund të përkthehet kështu: "Të gjitha ligjet e natyrës përshkruhen me ekuacione diferenciale". Kjo mund të duket si një ekzagjerim, por është e vërtetë. Çdo ligj i fizikës, kimisë, biologjisë mund të përshkruhet me këto ekuacione.
Matematikanët Euler dhe Lagrange dhanë një kontribut të madh në zhvillimin dhe krijimin e teorisë së ekuacioneve diferenciale. Tashmë në shekullin e 18-të, ata zbuluan dhe zhvilluan atë që po studiojnë tani në kurset e larta të universiteteve.
Një moment historik i ri në studimin e ekuacioneve diferenciale filloi falë Henri Poincare. Ai krijoi një "teori cilësore të ekuacioneve diferenciale", e cila, në kombinim me teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse, dha një kontribut të rëndësishëm në themelimin e topologjisë - shkencës së hapësirës dhe saj.pronat.
Cilat janë ekuacionet diferenciale?
Shumë njerëz kanë frikë nga një frazë "ekuacion diferencial". Sidoqoftë, në këtë artikull do të detajojmë të gjithë thelbin e këtij aparati matematikor shumë të dobishëm, i cili në fakt nuk është aq i ndërlikuar sa duket nga emri. Në mënyrë që të filloni të flisni për ekuacionet diferenciale të rendit të parë, së pari duhet të njiheni me konceptet bazë që lidhen në thelb me këtë përkufizim. Dhe ne do të fillojmë me diferencialin.
Diferencial
Shumë e dinë këtë koncept nga shkolla. Megjithatë, le t'i hedhim një vështrim më të afërt. Imagjinoni një grafik të një funksioni. Ne mund ta rrisim atë në një masë të tillë që çdo segment i tij të marrë formën e një vije të drejtë. Mbi të marrim dy pika që janë pafundësisht afër njëra-tjetrës. Dallimi midis koordinatave të tyre (x ose y) do të jetë një vlerë infiniteminale. Quhet diferencial dhe shënohet me shenjat dy (diferencial nga y) dhe dx (diferencial nga x). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se diferenciali nuk është një vlerë e fundme, dhe ky është kuptimi dhe funksioni i tij kryesor.
Dhe tani duhet të marrim parasysh elementin tjetër, i cili do të jetë i dobishëm për ne në shpjegimin e konceptit të një ekuacioni diferencial. Ky është derivati.
Derivativ
Të gjithë ndoshta e kemi dëgjuar në shkollë dhe këtë koncept. Derivati thuhet se është shkalla e rritjes ose uljes së një funksioni. Megjithatë, nga ky përkufizimshumë bëhet e paqartë. Le të përpiqemi të shpjegojmë derivatin në terma të diferencialeve. Le të kthehemi te një segment infinit i vogël i një funksioni me dy pika që janë në një distancë minimale nga njëra-tjetra. Por edhe për këtë distancë, funksioni arrin të ndryshojë me një farë mase. Dhe për të përshkruar këtë ndryshim, ata dolën me një derivat, i cili përndryshe mund të shkruhet si një raport i diferencialeve: f(x)'=df/dx.
Tani ia vlen të merren parasysh vetitë themelore të derivatit. Janë vetëm tre prej tyre:
- Derivati i shumës ose diferencës mund të përfaqësohet si shuma ose diferenca e derivateve: (a+b)'=a'+b' dhe (a-b)'=a'-b'.
- Vetësia e dytë lidhet me shumëzimin. Derivati i një produkti është shuma e produkteve të një funksioni dhe derivati i një funksioni tjetër: (ab)'=a'b+ab'.
- Derivati i diferencës mund të shkruhet si barazia e mëposhtme: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Të gjitha këto veti do të jenë të dobishme për gjetjen e zgjidhjeve për ekuacionet diferenciale të rendit të parë.
Ka edhe derivate të pjesshme. Le të themi se kemi një funksion z që varet nga ndryshoret x dhe y. Për të llogaritur derivatin e pjesshëm të këtij funksioni, le të themi, në lidhje me x, duhet të marrim variablin y si konstante dhe thjesht të diferencojmë.
Integral
Një koncept tjetër i rëndësishëm është integrali. Në fakt, kjo është e kundërta e drejtpërdrejtë e derivatit. Ka disa lloje integralesh, por për të zgjidhur ekuacionet më të thjeshta diferenciale, na duhen integralet më të parëndësishme të pacaktuara.
Pra, çfarë është një integral? Le të themi se kemi disa varësi fnga x. Ne marrim integralin prej tij dhe marrim funksionin F (x) (shpesh i quajtur antiderivativ), derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal. Kështu F(x)'=f(x). Nga kjo rrjedh gjithashtu se integrali i derivatit është i barabartë me funksionin origjinal.
Kur zgjidhni ekuacione diferenciale, është shumë e rëndësishme të kuptoni kuptimin dhe funksionin e integralit, pasi do t'ju duhet t'i merrni ato shumë shpesh për të gjetur zgjidhjen.
Ekuacionet janë të ndryshme në varësi të natyrës së tyre. Në pjesën tjetër, ne do të shqyrtojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë dhe më pas do të mësojmë se si t'i zgjidhim ato.
Klasat e ekuacioneve diferenciale
"Diffury" ndahen sipas renditjes së derivateve të përfshira në to. Kështu, ekziston rendi i parë, i dytë, i tretë dhe më shumë. Ato gjithashtu mund të ndahen në disa klasa: derivate të zakonshme dhe të pjesshme.
Në këtë artikull do të shqyrtojmë ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të parë. Ne do të diskutojmë gjithashtu shembuj dhe mënyra për t'i zgjidhur ato në pjesët vijuese. Ne do të shqyrtojmë vetëm ODE, sepse këto janë llojet më të zakonshme të ekuacioneve. Të zakonshmet ndahen në nëngrupe: me variabla të ndashëm, homogjenë dhe heterogjenë. Më pas, do të mësoni se si ndryshojnë nga njëri-tjetri dhe do të mësoni se si t'i zgjidhni ato.
Përveç kësaj, këto ekuacione mund të kombinohen, kështu që pasi të kemi një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë sisteme të tilla dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim ato.
Pse po marrim parasysh vetëm porosinë e parë? Sepse ju duhet të filloni me një të thjeshtë dhe të përshkruani gjithçka që lidhet me diferencialinekuacionet, në një artikull është thjesht e pamundur.
Ekuacione variabile të ndashme
Këto janë ndoshta ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë. Këtu përfshihen shembuj që mund të shkruhen si ky: y'=f(x)f(y). Për të zgjidhur këtë ekuacion, na duhet një formulë për paraqitjen e derivatit si raport i diferencialeve: y'=dy/dx. Duke e përdorur atë, marrim ekuacionin e mëposhtëm: dy/dx=f(x)f(y). Tani mund t'i drejtohemi metodës së zgjidhjes së shembujve standardë: variablat do t'i ndajmë në pjesë, d.m.th. do të transferojmë gjithçka me variablin y në pjesën ku ndodhet dy, dhe të njëjtën gjë do ta bëjmë me ndryshoren x. Marrim një ekuacion të formës: dy/f(y)=f(x)dx, i cili zgjidhet duke marrë integralet e të dyja pjesëve. Mos harroni për konstantën që duhet vendosur pas marrjes së integralit.
Zgjidhja për çdo "difurancë" është një funksion i varësisë së x nga y (në rastin tonë) ose, nëse ka një kusht numerik, atëherë përgjigja është në formën e një numri. Le të analizojmë të gjithë rrjedhën e zgjidhjes duke përdorur një shembull specifik:
y'=2ysin(x)
Lëvizni variablat në drejtime të ndryshme:
dy/y=2sin(x)dx
Tani marrim integrale. Të gjithë ata mund të gjenden në një tabelë të veçantë të integraleve. Dhe ne marrim:
ln(y)=-2cos(x) + C
Nëse kërkohet, mund të shprehim "y" si funksion të "x". Tani mund të themi se ekuacioni ynë diferencial zgjidhet nëse nuk jepet kusht. Mund të jepet një kusht, për shembull, y(n/2)=e. Pastaj ne thjesht zëvendësojmë vlerën e këtyre variablave në zgjidhjen dhegjeni vlerën e konstantës. Në shembullin tonë, është e barabartë me 1.
Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë
Tani kalojmë në pjesën më të vështirë. Ekuacionet diferenciale homogjene të rendit të parë mund të shkruhen në formë të përgjithshme si më poshtë: y'=z(x, y). Duhet të theksohet se funksioni i duhur i dy ndryshoreve është homogjen dhe nuk mund të ndahet në dy varësi: z në x dhe z në y. Kontrollimi nëse ekuacioni është homogjen apo jo është mjaft i thjeshtë: bëjmë zëvendësimin x=kx dhe y=ky. Tani anulojmë të gjitha k. Nëse të gjitha këto shkronja zvogëlohen, atëherë ekuacioni është homogjen dhe mund të vazhdoni me siguri ta zgjidhni atë. Duke parë përpara, le të themi: parimi i zgjidhjes së këtyre shembujve është gjithashtu shumë i thjeshtë.
Duhet të bëjmë një zëvendësim: y=t(x)x, ku t është një funksion që varet gjithashtu nga x. Atëherë mund të shprehim derivatin: y'=t'(x)x+t. Duke e zëvendësuar të gjithë këtë në ekuacionin tonë origjinal dhe duke e thjeshtuar atë, marrim një shembull me variablat e ndashëm t dhe x. E zgjidhim dhe marrim varësinë t(x). Kur e kemi marrë atë, ne thjesht zëvendësojmë y=t(x)x në zëvendësimin tonë të mëparshëm. Atëherë marrim varësinë e y nga x.
Për ta bërë më të qartë, le të shohim një shembull: xy'=y-xey/x.
Kur kontrolloni me zëvendësim, gjithçka reduktohet. Pra, ekuacioni është vërtet homogjen. Tani bëjmë një zëvendësim tjetër për të cilin folëm: y=t(x)x dhe y'=t'(x)x+t(x). Pas thjeshtimit, marrim ekuacionin e mëposhtëm: t'(x)x=-et. Ne e zgjidhim shembullin që rezulton me ndryshore të ndara dhe marrim: e-t=ln(Cx). Ne vetëm duhet të zëvendësojmë t me y/x (në fund të fundit, nëse y=tx, atëherë t=y/x), dhe marrimpërgjigje: e-y/x=ln(xC).
Ekuacione diferenciale lineare të rendit të parë
Është koha për një tjetër temë të madhe. Do të analizojmë ekuacione diferenciale johomogjene të rendit të parë. Si ndryshojnë nga dy të mëparshmet? Le ta kuptojmë. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë në formë të përgjithshme mund të shkruhen si më poshtë: y' + g(x)y=z(x). Vlen të sqarohet se z(x) dhe g(x) mund të jenë konstante.
Dhe tani një shembull: y' - yx=x2.
Ka dy mënyra për ta zgjidhur atë dhe ne do t'i trajtojmë të dyja sipas radhës. E para është metoda e ndryshimit të konstanteve arbitrare.
Për të zgjidhur ekuacionin në këtë mënyrë, fillimisht duhet të barazoni anën e djathtë me zero dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton, i cili pas lëvizjes së pjesëve do të marrë formën:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Tani duhet të zëvendësojmë konstanten C1 me funksionin v(x) që duhet të gjejmë.
y=vex2/2.
Le të ndryshojmë derivatin:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Dhe zëvendësoni këto shprehje në ekuacionin origjinal:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Mund të shihni se dy terma anulohen në anën e majtë. Nëse në ndonjë shembull kjo nuk ndodhi, atëherë keni bërë diçka të gabuar. Vazhdo:
v'ex2/2 =x2.
Tani zgjidhim ekuacionin e zakonshëm në të cilin duhet të ndajmë variablat:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Për të nxjerrë integralin, duhet të aplikojmë integrimin sipas pjesëve këtu. Sidoqoftë, kjo nuk është tema e artikullit tonë. Nëse jeni të interesuar, mund të mësoni se si t'i kryeni vetë veprime të tilla. Nuk është e vështirë, dhe me aftësi dhe vëmendje të mjaftueshme nuk kërkon shumë kohë.
Le t'i drejtohemi metodës së dytë të zgjidhjes së ekuacioneve johomogjene: metoda e Bernulit. Cila qasje është më e shpejtë dhe më e lehtë varet nga ju.
Pra, kur zgjidhim ekuacionin me këtë metodë, duhet të bëjmë një zëvendësim: y=kn. Këtu k dhe n janë disa funksione të varura nga x. Atëherë derivati do të duket kështu: y'=k'n+kn'. Zëvendësoni të dy zëvendësimet në ekuacionin:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Tani duhet të barazojmë me zero atë që është në kllapa. Tani, nëse kombinoni dy ekuacionet që rezultojnë, merrni një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë që duhet të zgjidhni:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Barazia e parë zgjidhet si një ekuacion normal. Për ta bërë këtë, ju duhet të ndani variablat:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Merrni integralin dhe merrni: ln(n)=x2/2. Atëherë, nëse shprehim n:
n=ex2/2.
Tani e zëvendësojmë barazinë që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit:
k'ex2/2=x2.
Dhe duke transformuar, marrim të njëjtin barazi si në metodën e parë:
dk=x2/ex2/2.
Nuk do të shkojmë as në hapa të mëtejshëm. Vlen të thuhet se në fillim zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë shkakton vështirësi të konsiderueshme. Megjithatë, ndërsa zhyteni më thellë në temë, ajo fillon të bëhet më mirë e më mirë.
Ku përdoren ekuacionet diferenciale?
Ekuacionet diferenciale përdoren në mënyrë shumë aktive në fizikë, pasi pothuajse të gjitha ligjet bazë janë shkruar në formë diferenciale, dhe formulat që shohim janë zgjidhja e këtyre ekuacioneve. Në kimi, ato përdoren për të njëjtën arsye: ligjet themelore rrjedhin prej tyre. Në biologji, ekuacionet diferenciale përdoren për të modeluar sjelljen e sistemeve, të tilla si grabitqari-pre. Ato mund të përdoren gjithashtu për të krijuar modele riprodhimi të, të themi, një koloni mikroorganizmash.
Si do të ndihmojnë ekuacionet diferenciale në jetë?
Përgjigja për këtë pyetje është e thjeshtë: në asnjë mënyrë. Nëse nuk jeni shkencëtar ose inxhinier, atëherë ata nuk kanë gjasa të jenë të dobishme për ju. Sidoqoftë, për zhvillimin e përgjithshëm, nuk është e dëmshme të dihet se çfarë është një ekuacion diferencial dhe si zgjidhet. Dhe pastaj pyetja e një djali apo vajze "çfarë është një ekuacion diferencial?" nuk do t'ju ngatërrojë. Epo, nëse jeni shkencëtar ose inxhinier, atëherë ju vetë e kuptoni rëndësinë e kësaj teme në çdo shkencë. Por gjëja më e rëndësishme është se tani pyetja "si të zgjidhet një ekuacion diferencial i rendit të parë?" ju mund të përgjigjeni gjithmonë. Dakord, është gjithmonë mirëkur kupton atë që njerëzit madje kanë frikë të kuptojnë.
Problemet kryesore të të nxënit
Problemi kryesor në të kuptuarit e kësaj teme është aftësia e dobët e integrimit dhe diferencimit të funksioneve. Nëse nuk jeni të mirë në marrjen e derivateve dhe integraleve, atëherë ndoshta duhet të mësoni më shumë, të zotëroni metoda të ndryshme integrimi dhe diferencimi dhe vetëm atëherë të filloni të studioni materialin që u përshkrua në artikull.
Disa njerëz habiten kur zbulojnë se dx mund të bartet, sepse më herët (në shkollë) thuhej se thyesa dy/dx është e pandashme. Këtu ju duhet të lexoni literaturën mbi derivatin dhe të kuptoni se është raporti i sasive infiniteminale që mund të manipulohet gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.
Shumë nuk e kuptojnë menjëherë se zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë është shpesh një funksion ose një integral që nuk mund të merret, dhe ky iluzion u krijon shumë telashe.
Çfarë tjetër mund të studiohet për një kuptim më të mirë?
Është më mirë të filloni zhytjen e mëtejshme në botën e llogaritjes diferenciale me tekste të specializuara, për shembull, në llogaritjet për studentët e specialiteteve jo matematikore. Më pas mund të kaloni në literaturë më të specializuar.
Duhet thënë se, përveç ekuacioneve diferenciale, ka edhe ekuacione integrale, kështu që gjithmonë do të keni për çfarë të përpiqeni dhe diçka për të studiuar.
Përfundim
Shpresojmë që pas leximitKy artikull ju dha një ide se çfarë janë ekuacionet diferenciale dhe si t'i zgjidhni ato në mënyrë korrekte.
Në çdo rast, matematika do të jetë disi e dobishme për ne në jetë. Zhvillon logjikën dhe vëmendjen, pa të cilat çdo person është si pa duar.
