Një nga temat më të vështira dhe më të pakuptueshme të matematikës universitare është integrimi dhe llogaritja diferenciale. Ju duhet t'i njihni dhe kuptoni këto koncepte, si dhe të jeni në gjendje t'i zbatoni ato. Shumë disiplina teknike universitare janë të lidhura me diferenciale dhe integrale.
Informacion i shkurtër rreth ekuacioneve
Këto ekuacione janë një nga konceptet më të rëndësishme matematikore në sistemin arsimor. Një ekuacion diferencial është një ekuacion që lidh variablat e pavarur, funksionin që duhet gjetur dhe derivatet e atij funksioni me variablat që supozohen të jenë të pavarur. Llogaritja diferenciale për gjetjen e një funksioni të një ndryshoreje quhet e zakonshme. Nëse funksioni i dëshiruar varet nga disa ndryshore, atëherë flitet për një ekuacion diferencial të pjesshëm.
Në fakt, gjetja e një përgjigjeje të caktuar për ekuacionin zbret në integrim dhe metoda e zgjidhjes përcaktohet nga lloji i ekuacionit.
ekuacionet e rendit të parë
Një ekuacion diferencial i rendit të parë është një ekuacion që mund të përshkruajë një ndryshore, një funksion të dëshiruar dhe derivatin e tij të parë. Ekuacione të tilla mund të jepen në tre forma: eksplicite, implicite, diferenciale.
Koncepte të nevojshme për të zgjidhur
Kushti fillestar - vendosja e vlerës së funksionit të dëshiruar për një vlerë të caktuar të një ndryshoreje që është e pavarur.
Zgjidhja e një ekuacioni diferencial - çdo funksion i diferencueshëm, i zëvendësuar saktësisht në ekuacionin origjinal, e kthen atë në identikisht të barabartë. Zgjidhja e marrë, e cila nuk është eksplicite, është integrali i ekuacionit.
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacioneve diferenciale është një funksion y=y(x;C), i cili mund të plotësojë gjykimet e mëposhtme:
- Një funksion mund të ketë vetëm një konstante arbitrare С.
- Funksioni që rezulton duhet të jetë një zgjidhje e ekuacionit për çdo vlerë arbitrare të një konstante arbitrare.
- Me një kusht fillestar të caktuar, një konstante arbitrare mund të përcaktohet në një mënyrë unike në mënyrë që zgjidhja e veçantë që rezulton të jetë në përputhje me kushtin fillestar të dhënë.
Në praktikë, problemi Cauchy përdoret shpesh - gjetja e një zgjidhjeje që është e veçantë dhe që mund të krahasohet me kushtin e vendosur në fillim.
Teorema e Cauchy-së është një teoremë që thekson ekzistencën dhe veçantinë e një zgjidhjeje të veçantë në llogaritjen diferenciale.
Ndjenjë gjeometrike:
- Zgjidhje e përgjithshme y=y(x;C)ekuacioni është numri i përgjithshëm i kurbave integrale.
- Llogaritja diferenciale ju lejon të lidhni koordinatat e një pike në planin XOY dhe tangjenten e tërhequr në kurbë integrale.
- Vendosja e kushtit fillestar nënkupton vendosjen e një pike në aeroplan.
- Për të zgjidhur problemin Cauchy do të thotë se nga i gjithë grupi i kurbave integrale që përfaqësojnë të njëjtën zgjidhje të ekuacionit, është e nevojshme të zgjidhet e vetmja që kalon nëpër të vetmen pikë të mundshme.
- Përmbushja e kushteve të teoremës së Cauchy në një pikë do të thotë që një kurbë integrale (për më tepër, vetëm një) kalon domosdoshmërisht përmes pikës së zgjedhur në rrafsh.
Ekuacion i ndryshueshëm i ndashëm
Sipas përkufizimit, një ekuacion diferencial është një ekuacion ku ana e tij e djathtë përshkruan ose pasqyrohet si një produkt (nganjëherë një raport) i dy funksioneve, njëri varet vetëm nga "x" dhe tjetri - vetëm në "y ". Një shembull i qartë për këtë lloj: y'=f1(x)f2(y).
Për të zgjidhur ekuacionet e një forme të caktuar, fillimisht duhet të transformoni derivatin y'=dy/dx. Pastaj, duke manipuluar ekuacionin, duhet ta sillni atë në një formë ku mund të integroni dy pjesët e ekuacionit. Pas transformimeve të nevojshme, ne integrojmë të dyja pjesët dhe thjeshtojmë rezultatin.
Ekuacione homogjene
Sipas përkufizimit, një ekuacion diferencial mund të quhet homogjen nëse ka formën e mëposhtme: y'=g(y/x).
Në këtë rast, zëvendësimi y/x=përdoret më shpesht(x).
Për të zgjidhur ekuacione të tilla, është e nevojshme të reduktohet një ekuacion homogjen në një formë me ndryshore të ndashme. Për ta bërë këtë, duhet të kryeni veprimet e mëposhtme:
- Shfaq, duke shprehur derivatin e funksionit origjinal, nga çdo funksion origjinal si një ekuacion i ri.
- Hapi tjetër është transformimi i funksionit që rezulton në formën f(x;y)=g(y/x). Me fjalë më të thjeshta, bëni që ekuacioni të përmbajë vetëm raportin y/x dhe konstantet.
- Bëni zëvendësimin e mëposhtëm: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Zëvendësimi i bërë do të ndihmojë në ndarjen e variablave në ekuacion, duke e sjellë gradualisht atë në një formë më të thjeshtë.
Ekuacione lineare
Përkufizimi i ekuacioneve të tilla është si vijon: një ekuacion diferencial linear është një ekuacion ku ana e djathtë e tij shprehet si një shprehje lineare në lidhje me funksionin origjinal. Funksioni i dëshiruar në këtë rast: y'=a(x)y + b(x).
Le ta riformulojmë përkufizimin si më poshtë: çdo ekuacion i rendit të parë do të bëhet linear në formën e tij nëse funksioni origjinal dhe derivati i tij përfshihen në ekuacionin e shkallës së parë dhe nuk shumëzohen me njëri-tjetrin. "Forma klasike" e një ekuacioni diferencial linear ka strukturën e mëposhtme: y' + P(x)y=Q(x).
Para se të zgjidhet një ekuacion i tillë, ai duhet të shndërrohet në "formën klasike". Hapi tjetër do të jetë zgjedhja e metodës së zgjidhjes: metoda e Bernulit ose metoda e Lagranzhit.
Zgjidhja e ekuacionit meduke përdorur metodën e prezantuar nga Bernoulli, nënkupton zëvendësimin dhe reduktimin e një ekuacioni diferencial linear në dy ekuacione me ndryshore të veçanta në lidhje me funksionet U(x) dhe V(x), të cilat janë dhënë në formën e tyre origjinale.
Metoda e Lagranzhit është gjetja e një zgjidhjeje të përgjithshme për ekuacionin origjinal.
- Është e nevojshme të gjendet e njëjta zgjidhje e ekuacionit homogjen. Pas kërkimit, kemi funksionin y=y(x, C), ku C është një konstante arbitrare.
- Ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal në të njëjtën formë, por marrim parasysh C=C(x). Ne e zëvendësojmë funksionin y=y(x, C(x)) në ekuacionin origjinal, gjejmë funksionin C(x) dhe shkruajmë zgjidhjen e ekuacionit të përgjithshëm origjinal.
ekuacioni i Bernoulli
Ekuacioni i Bernoulli - nëse ana e djathtë e llogaritjes merr formën f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, ku k është çdo vlerë e mundshme racionale numerike, duke mos marrë si një shembuj të rasteve kur k=0 dhe k=1.
Nëse k=1, atëherë llogaritja bëhet e ndashme dhe kur k=0, ekuacioni mbetet linear.
Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm të zgjidhjes së këtij lloj ekuacioni. Kemi ekuacionin standard të Bernulit. Duhet të reduktohet në një linear, për këtë ju duhet të ndani ekuacionin me yk. Pas këtij veprimi, zëvendësoni z(x)=y1-k. Pas një serie transformimesh, ekuacioni do të reduktohet në një linear, më së shpeshti me metodën e zëvendësimit z=UV.
Ekuacione në diferencialet totale
Përkufizim. Një ekuacion me strukturë P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 quhet ekuacion i plotë.diferenciale, nëse plotësohet kushti i mëposhtëm (në këtë kusht, "d" është një diferencial i pjesshëm): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Të gjitha ekuacionet diferenciale të rendit të parë të konsideruara më herët mund të shfaqen si diferenciale.
Llogaritjet e tilla zgjidhen në disa mënyra. Por, megjithatë, të gjithë fillojnë me një kontroll të gjendjes. Nëse kushti është i plotësuar, atëherë rajoni më i majtë i ekuacionit është diferenciali total i funksionit ende të panjohur U(x;y). Pastaj, në përputhje me ekuacionin, dU (x; y) do të jetë e barabartë me zero, dhe për këtë arsye i njëjti integral i ekuacionit në diferencat totale do të shfaqet në formën U (x; y) u003d C. Prandaj, zgjidhja e ekuacionit reduktohet në gjetjen e funksionit U (x; y).
Faktori integrues
Nëse kushti dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nuk plotësohet në ekuacion, atëherë ekuacioni nuk ka formën që kemi shqyrtuar më sipër. Por ndonjëherë është e mundur të zgjidhet një funksion M(x;y), kur shumëzohet me të cilin ekuacioni merr formën e një ekuacioni në "diffurs" të plota. Funksioni M (x;y) referohet si faktor integrues.
Një integrues mund të gjendet vetëm kur bëhet funksion i vetëm një ndryshoreje.
