Funksionet e llogaritjes diferenciale të një dhe disa ndryshoreve

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Njehsimi është një degë e llogaritjes që studion derivatin, diferencialet dhe përdorimin e tyre në studimin e një funksioni.

Historia e Paraqitjes

Llogaritja diferenciale u shfaq si një disiplinë e pavarur në gjysmën e dytë të shekullit të 17-të, falë punës së Njutonit dhe Leibniz-it, të cilët formuluan dispozitat themelore në llogaritjen e diferencialeve dhe vunë re lidhjen midis integrimit dhe diferencimit. Që nga ai moment, disiplina është zhvilluar së bashku me llogaritjen e integraleve, duke formuar kështu bazën e analizës matematikore. Shfaqja e këtyre llogaritjeve hapi një periudhë të re moderne në botën matematikore dhe shkaktoi shfaqjen e disiplinave të reja në shkencë. Ai gjithashtu zgjeroi mundësinë e aplikimit të shkencës matematikore në shkencën dhe teknologjinë natyrore.

Konceptet themelore

Njehsimi diferencial bazohet në konceptet themelore të matematikës. Ato janë: numri real, vazhdimësia, funksioni dhe kufiri. Me kalimin e kohës, ato morën një pamje moderne, falë llogaritjeve integrale dhe diferenciale.

Procesi i krijimit

Formimi i llogaritjes diferenciale në formën e një metode të aplikuar dhe më pas të një metode shkencore ndodhi përpara shfaqjes së një teorie filozofike, e cila u krijua nga Nikolla e Kuzës. Veprat e tij konsiderohen si një zhvillim evolucionar nga gjykimet e shkencës antike. Përkundër faktit se vetë filozofi nuk ishte matematikan, kontributi i tij në zhvillimin e shkencës matematikore është i pamohueshëm. Kuzansky ishte një nga të parët që u largua nga konsiderimi i aritmetikës si fusha më e saktë e shkencës, duke vënë në dyshim matematikën e asaj kohe.

Matematikanët e lashtë përdorën njësinë si një kriter universal, ndërsa filozofi propozoi pafundësinë si një masë të re në vend të numrit të saktë. Në këtë drejtim, paraqitja e saktësisë në shkencën matematikore është e përmbysur. Njohuritë shkencore, sipas tij, ndahen në racionale dhe intelektuale. E dyta është më e saktë, sipas shkencëtarit, pasi e para jep vetëm një rezultat të përafërt.

Ide

Ideja dhe koncepti kryesor në llogaritjen diferenciale lidhet me një funksion në lagje të vogla të pikave të caktuara. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të krijohet një aparat matematikor për studimin e një funksioni, sjellja e të cilit në një lagje të vogël të pikave të vendosura është afër sjelljes së një polinomi ose një funksioni linear. Kjo bazohet në përkufizimin e një derivati dhe një diferencial.

Shfaqja e konceptit të një derivati u shkaktua nga një numër i madh problemesh nga shkencat natyrore dhe matematika,gjë që çoi në gjetjen e vlerave të kufijve të të njëjtit lloj.

Një nga problemet kryesore që jepet si shembull duke filluar nga shkolla e mesme është përcaktimi i shpejtësisë së një pike që lëviz përgjatë një drejtëze dhe ndërtimi i një drejtëze tangjente me këtë kurbë. Diferenciali lidhet me këtë, pasi është e mundur të përafrohet funksioni në një lagje të vogël të pikës së konsideruar të funksionit linear.

Krahasuar me konceptin e derivatit të një funksioni të një ndryshoreje reale, përkufizimi i diferencialeve thjesht kalon në një funksion të një natyre të përgjithshme, në veçanti, në imazhin e një hapësire Euklidiane në një tjetër.

Derivativ

Lëreni pikën të lëvizë në drejtim të boshtit Oy, për kohën që marrim x, e cila numërohet nga një fillim i caktuar i momentit. Një lëvizje e tillë mund të përshkruhet me funksionin y=f(x), i cili i caktohet çdo momenti kohor x të koordinatës së pikës që lëviz. Në mekanikë, ky funksion quhet ligji i lëvizjes. Karakteristika kryesore e lëvizjes, veçanërisht e pabarabartë, është shpejtësia e menjëhershme. Kur një pikë lëviz përgjatë boshtit Oy sipas ligjit të mekanikës, atëherë në një moment kohor të rastësishëm x, ajo fiton koordinatën f (x). Në momentin kohor x + Δx, ku Δx tregon rritjen e kohës, koordinata e saj do të jetë f(x + Δx). Kështu formohet formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), e cila quhet rritja e funksionit. Ai përfaqëson shtegun e përshkuar nga pika në kohë nga x në x + Δx.

Për shkak të shfaqjes së kësajshpejtësia në kohë, futet derivati. Në një funksion arbitrar, derivati në një pikë fikse quhet limit (duke supozuar se ekziston). Mund të përcaktohet me simbole të caktuara:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Procesi i llogaritjes së derivatit quhet diferencim.

Llogaritja diferenciale e një funksioni të disa ndryshoreve

Kjo metodë llogaritjeje përdoret kur ekzaminohet një funksion me disa ndryshore. Në prani të dy ndryshoreve x dhe y, derivati i pjesshëm në lidhje me x në pikën A quhet derivat i këtij funksioni në lidhje me x me y fiks.

Mund të përfaqësohet nga karakteret e mëposhtme:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x ose ∂f(x, y)'/∂x.

Shkathtësitë e kërkuara

Aftësitë në integrim dhe diferencim kërkohen për të studiuar me sukses dhe për të qenë në gjendje të zgjidhni difuzionet. Për ta bërë më të lehtë kuptimin e ekuacioneve diferenciale, duhet të keni një kuptim të mirë të temës së derivatit dhe integralit të pacaktuar. Gjithashtu nuk dëmton të mësosh se si të gjesh derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite. Kjo për faktin se në procesin e studimit të integraleve dhe diferencimit shpesh duhet të përdoren.

Llojet e ekuacioneve diferenciale

Pothuajse në të gjitha dokumentet e testit që lidhen me ekuacionet diferenciale të rendit të parë, ekzistojnë 3 lloje ekuacionesh: homogjene, me ndryshore të ndashme, johomogjene lineare.

Ka edhe varietete më të rralla ekuacionesh: me diferenciale totale, ekuacionet e Bernulit dhe të tjera.

Bazat e vendimit

Së pari, duhet të mbani mend ekuacionet algjebrike nga kursi i shkollës. Ato përmbajnë variabla dhe numra. Për të zgjidhur një ekuacion të zakonshëm, duhet të gjeni një grup numrash që plotësojnë një kusht të caktuar. Si rregull, ekuacione të tilla kishin një rrënjë dhe për të kontrolluar korrektësinë, duhej vetëm të zëvendësohej kjo vlerë me të panjohurën.

Ekuacioni diferencial është i ngjashëm me këtë. Në përgjithësi, një ekuacion i tillë i rendit të parë përfshin:

• Ndryshore e pavarur.
• Derivati i funksionit të parë.
• Një funksion ose ndryshore e varur.

Në disa raste, një nga të panjohurat, x ose y, mund të mungojë, por kjo nuk është aq e rëndësishme, pasi prania e derivatit të parë, pa derivate të rendit më të lartë, është e nevojshme për zgjidhjen dhe diferencialin. llogaritja të jetë e saktë.

Të zgjidhësh një ekuacion diferencial do të thotë të gjesh bashkësinë e të gjithë funksioneve që përputhen me shprehjen e dhënë. Një grup i tillë funksionesh shpesh quhet zgjidhja e përgjithshme e DE.

Llogaritja integrale

Njehsimi integral është një nga seksionet e analizës matematikore që studion konceptin e integralit, vetitë dhe metodat e llogaritjes së tij.

Shpesh, llogaritja e integralit ndodh kur llogaritet sipërfaqja e një figure lakor. Kjo zonë nënkupton kufirin në të cilin sipërfaqja e një poligoni të gdhendur në një figurë të caktuar priret me një rritje graduale në anën e tij, ndërsa këto anë mund të bëhen më pak se çdo arbitrare e specifikuar më parë.vlerë e vogël.

Ideja kryesore në llogaritjen e sipërfaqes së një figure gjeometrike arbitrare është të llogaritet sipërfaqja e një drejtkëndëshi, domethënë të vërtetohet se sipërfaqja e tij është e barabartë me produktin e gjatësisë dhe gjerësisë. Kur bëhet fjalë për gjeometrinë, të gjitha ndërtimet bëhen duke përdorur një vizore dhe një busull, dhe më pas raporti i gjatësisë me gjerësinë është një vlerë racionale. Kur llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, mund të përcaktoni që nëse vendosni të njëjtin trekëndësh pranë tij, atëherë formohet një drejtkëndësh. Në një paralelogram, zona llogaritet me një metodë të ngjashme, por pak më të komplikuar, përmes një drejtkëndëshi dhe një trekëndëshi. Në shumëkëndësha, sipërfaqja llogaritet nëpërmjet trekëndëshave të përfshirë në të.

Kur përcaktoni kursimin e një kurbe arbitrare, kjo metodë nuk do të funksionojë. Nëse e ndani në katrorë të vetëm, atëherë do të ketë vende të paplotësuara. Në këtë rast, dikush përpiqet të përdorë dy mbulesa, me drejtkëndësha sipër dhe poshtë, si rezultat, ato përfshijnë grafikun e funksionit dhe jo. Metoda e ndarjes në këto drejtkëndësha mbetet e rëndësishme këtu. Gjithashtu, nëse marrim ndarje gjithnjë e më të vogla, atëherë zona sipër dhe poshtë duhet të konvergojnë në një vlerë të caktuar.

Duhet të kthehet në metodën e ndarjes në drejtkëndësha. Ka dy metoda të njohura.

Riemann zyrtarizoi përkufizimin e integralit të krijuar nga Leibniz dhe Njutoni si zona e një nëngrafi. Në këtë rast, u morën parasysh shifrat, të përbëra nga një numër i caktuar drejtkëndëshash vertikalë dhe të përftuar duke pjesëtuarsegment. Kur, ndërsa ndarja zvogëlohet, ekziston një kufi në të cilin zvogëlohet sipërfaqja e një figure të ngjashme, ky kufi quhet integrali Riemann i një funksioni në një interval të caktuar.

Metoda e dytë është ndërtimi i integralit Lebesgue, i cili konsiston në faktin se për vendin e ndarjes së zonës së përcaktuar në pjesë të integrandit dhe më pas përpilimit të shumës integrale nga vlerat e marra në këto pjesë., diapazoni i vlerave të tij ndahet në intervale dhe më pas përmblidhet me masat përkatëse të paraimazheve të këtyre integraleve.

Përfitimet moderne

Një nga manualet kryesore për studimin e llogaritjes diferenciale dhe integrale është shkruar nga Fikhtengolts - "Kursi i llogaritjes diferenciale dhe integrale". Libri i tij shkollor është një udhëzues themelor për studimin e analizës matematikore, e cila ka kaluar nëpër shumë botime dhe përkthime në gjuhë të tjera. Krijuar për studentët e universitetit dhe është përdorur prej kohësh në shumë institucione arsimore si një nga ndihmat kryesore të studimit. Jep të dhëna teorike dhe aftësi praktike. Botuar për herë të parë në 1948.

Algoritmi i kërkimit të funksionit

Për të hetuar një funksion duke përdorur metodat e llogaritjes diferenciale, duhet të ndiqni algoritmin e dhënë tashmë:

1. Gjeni shtrirjen e një funksioni.
2. Gjeni rrënjët e ekuacionit të dhënë.
3. Llogaritni ekstremet. Për ta bërë këtë, llogaritni derivatin dhe pikat ku ai është i barabartë me zero.
4. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacion.

Varietetet e ekuacioneve diferenciale

kontroll i rendit të parë (përndryshe, diferencialllogaritja e një ndryshoreje të vetme) dhe llojet e tyre:

• Ekuacion i ndashëm: f(y)dy=g(x)dx.
• Ekuacionet më të thjeshta ose llogaritjet diferenciale të një funksioni të një ndryshoreje, që kanë formulën: y'=f(x).
• Lineare johomogjene e rendit të parë DE: y'+P(x)y=Q(x).
• ekuacioni diferencial i Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Ekuacion me diferencialet totale: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë dhe llojet e tyre:

• Ekuacion linear diferencial homogjen i rendit të dytë me vlera konstante koeficienti: y +py'+qy=0 p, q i përket R.
• Ekuacion linear johomogjen diferencial i rendit të dytë me koeficientë konstante: y +py'+qy=f(x).
• Ekuacion linear homogjen diferencial: y +p(x)y'+q(x)y=0, dhe ekuacion johomogjen i rendit të dytë: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Ekuacionet diferenciale të rendit të lartë dhe llojet e tyre:

• Ekuacion diferencial që mund të reduktohet sipas renditjes: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Ekuacion linear homogjen i rendit më të lartë: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, dhe johomogjene: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Hapat në zgjidhjen e një problemi me një ekuacion diferencial

Me ndihmën e telekomandës zgjidhen jo vetëm pyetjet matematikore apo fizike, por edhe probleme të ndryshme ngabiologji, ekonomi, sociologji etj. Pavarësisht nga shumëllojshmëria e gjerë e temave, duhet t'i përmbahemi një sekuence të vetme logjike kur zgjidhen probleme të tilla:

1. Përpilimi i telekomandës. Një nga hapat më të vështirë që kërkon saktësi maksimale, pasi çdo gabim do të çojë në rezultate krejtësisht të gabuara. Duhet të merren parasysh të gjithë faktorët që ndikojnë në proces dhe të përcaktohen kushtet fillestare. Ai gjithashtu duhet të bazohet në fakte dhe përfundime logjike.
2. Zgjidhja e ekuacionit të formuluar. Ky proces është më i thjeshtë se hapi i parë, pasi kërkon vetëm llogaritje të rrepta matematikore.
3. Analiza dhe vlerësimi i rezultateve. Zgjidhja e nxjerrë duhet të vlerësohet për të përcaktuar vlerën praktike dhe teorike të rezultatit.

Një shembull i përdorimit të ekuacioneve diferenciale në mjekësi

Përdorimi i telekomandës në fushën e mjekësisë ndodh kur ndërtohet një model matematikor epidemiologjik. Në të njëjtën kohë, nuk duhet harruar se këto ekuacione gjenden edhe në biologji dhe kimi, të cilat janë të afërta me mjekësinë, sepse një rol të rëndësishëm në të luan studimi i popullatave të ndryshme biologjike dhe proceseve kimike në trupin e njeriut.

Në shembullin e mësipërm të një epidemie, ne mund të konsiderojmë përhapjen e infeksionit në një shoqëri të izoluar. Banorët ndahen në tre lloje:

• I infektuar, numri x(t), i përbërë nga individë, bartës të infeksionit, secili prej të cilëve është ngjitës (periudha e inkubacionit është e shkurtër).
• Lloji i dytë përfshinindividë të ndjeshëm y(t) të aftë për t'u infektuar përmes kontaktit me individë të infektuar.
• Lloji i tretë përfshin individë imune z(t) që janë të imunizuar ose kanë vdekur për shkak të sëmundjes.

Numri i individëve është konstant, nuk merren parasysh lindjet, vdekjet natyrore dhe migrimi. Do të ketë dy hipoteza në thelb.

Përqindja e incidencës në një moment të caktuar kohor është x(t)y(t) (bazuar në teorinë se numri i rasteve është në proporcion me numrin e kryqëzimeve ndërmjet përfaqësuesve të sëmurë dhe të prekshëm, që në të parën përafrimi do të jetë proporcional me x(t)y(t)), në lidhje me këtë, numri i rasteve rritet dhe numri i zvogëlimeve të ndjeshme me një normë që llogaritet me formulën ax(t)y(t) (a > 0).

Numri i individëve imune që janë bërë imun ose kanë vdekur po rritet me një ritëm që është proporcional me numrin e rasteve, bx(t) (b > 0).

Si rezultat, ju mund të bëni një sistem ekuacionesh duke marrë parasysh të tre treguesit dhe të nxirrni përfundime bazuar në të.

Shembulli Ekonomik

Llogaritja diferenciale përdoret shpesh në analizën ekonomike. Detyra kryesore në analizën ekonomike është studimi i sasive nga ekonomia, të cilat shkruhen në formën e një funksioni. Kjo përdoret kur zgjidhen probleme të tilla si ndryshimet në të ardhura menjëherë pas një rritje të taksave, futja e detyrimeve, ndryshimet në të ardhurat e kompanisë kur ndryshon kostoja e prodhimit, në çfarë proporcioni mund të zëvendësohen punëtorët në pension me pajisje të reja. Për të zgjidhur çështje të tilla, është e nevojshmendërtoni një funksion lidhjeje nga variablat hyrëse, të cilat më pas studiohen duke përdorur llogaritjen diferenciale.

Në sferën ekonomike, shpesh është e nevojshme të gjenden treguesit më optimalë: produktiviteti maksimal i punës, të ardhurat më të larta, kostot më të ulëta, etj. Çdo tregues i tillë është funksion i një ose më shumë argumenteve. Për shembull, prodhimi mund të shihet si një funksion i punës dhe inputeve të kapitalit. Në këtë drejtim, gjetja e një vlere të përshtatshme mund të reduktohet në gjetjen e maksimumit ose minimumit të një funksioni nga një ose më shumë variabla.

Problemet e këtij lloji krijojnë një klasë problemesh ekstreme në fushën ekonomike, zgjidhja e të cilave kërkon llogaritje diferenciale. Kur një tregues ekonomik duhet të minimizohet ose maksimizohet si funksion i një treguesi tjetër, atëherë në pikën e maksimumit, raporti i rritjes së funksionit me argumentet do të priret në zero nëse rritja e argumentit tenton në zero. Përndryshe, kur një raport i tillë priret në ndonjë vlerë pozitive ose negative, pika e specifikuar nuk është e përshtatshme, sepse duke rritur ose ulur argumentin, mund të ndryshoni vlerën e varur në drejtimin e kërkuar. Në terminologjinë e llogaritjes diferenciale, kjo do të thotë se kushti i kërkuar për maksimumin e një funksioni është vlera zero e derivatit të tij.

Në ekonomi, shpesh ka probleme për të gjetur ekstremin e një funksioni me disa ndryshore, sepse treguesit ekonomikë përbëhen nga shumë faktorë. Pyetjet si kjo janë të mira.studiuar në teorinë e funksioneve të disa variablave, duke zbatuar metodat e llogaritjes diferenciale. Probleme të tilla përfshijnë jo vetëm funksione të maksimizuara dhe të minimizuara, por edhe kufizime. Pyetje të tilla kanë të bëjnë me programimin matematikor dhe ato zgjidhen me ndihmën e metodave të zhvilluara posaçërisht, bazuar edhe në këtë degë të shkencës.

Ndër metodat e llogaritjes diferenciale të përdorura në ekonomi, një seksion i rëndësishëm është analiza margjinale. Në sferën ekonomike, ky term i referohet një sërë metodash për studimin e treguesve dhe rezultateve të ndryshueshme gjatë ndryshimit të vëllimit të krijimit, konsumit, bazuar në analizën e treguesve të tyre margjinal. Treguesi kufizues është derivati ose derivati i pjesshëm me disa variabla.

Njehsimi diferencial i disa variablave është një temë e rëndësishme në fushën e analizës matematikore. Për një studim të detajuar, mund të përdorni tekste të ndryshme për arsimin e lartë. Një nga më të famshmit u krijua nga Fikhtengolts - "Kursi i llogaritjes diferenciale dhe integrale". Siç nënkupton edhe emri, aftësitë për të punuar me integrale janë të një rëndësie të konsiderueshme për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Kur bëhet llogaritja diferenciale e një funksioni të një ndryshoreje, zgjidhja bëhet më e thjeshtë. Edhe pse, duhet theksuar, ai i nënshtrohet të njëjtave rregulla themelore. Për të studiuar një funksion në praktikë me llogaritje diferenciale, mjafton të ndiqet algoritmi tashmë ekzistues, i cili jepet në shkollë të mesme dhe vetëm pak i komplikuar kur futen të reja.variabla.