Polyhedra tërhoqi vëmendjen e matematikanëve dhe shkencëtarëve edhe në kohët e lashta. Egjiptianët ndërtuan piramidat. Dhe grekët studiuan "poliedrat e rregullt". Ato nganjëherë quhen trupa të ngurtë platonike. "Polyedra tradicionale" përbëhet nga faqe të sheshta, skaje të drejta dhe kulme. Por pyetja kryesore ka qenë gjithmonë se cilat rregulla duhet të plotësojnë këto pjesë të veçanta, si dhe cilat kushte shtesë globale duhet të plotësohen në mënyrë që një objekt të kualifikohet si një poliedron. Përgjigja për këtë pyetje do të paraqitet në artikull.
Probleme në përkufizim
Nga çfarë përbëhet kjo shifër? Një poliedron është një formë e mbyllur e fortë që ka faqe të sheshta dhe skaje të drejta. Prandaj, problemi i parë i përkufizimit të tij mund të quhet pikërisht anët e figurës. Jo të gjitha fytyrat e shtrira në aeroplan janë gjithmonë një shenjë e një poliedri. Le të marrim si shembull "cilindri trekëndor". Nga çfarë përbëhet? Një pjesë e sipërfaqes së saj tre në çiftplanet vertikale që kryqëzohen nuk mund të konsiderohen shumëkëndësha. Arsyeja është se nuk ka kulme. Sipërfaqja e një figure të tillë formohet në bazë të tre rrezeve që takohen në një pikë.
Një problem tjetër - avionët. Në rastin e "cilindri trekëndor" ai shtrihet në pjesët e tyre të pakufizuara. Një figurë konsiderohet konvekse nëse segmenti i vijës që lidh çdo dy pika në grup është gjithashtu në të. Le të paraqesim një nga vetitë e tyre të rëndësishme. Për grupet konvekse, është se grupi i pikave të përbashkëta për grupin është i njëjtë. Ka një lloj tjetër figurash. Këto janë poliedra jokonvekse 2D që kanë ose prerje ose vrima.
Forma që nuk janë poliedra
Një grup i sheshtë pikash mund të jetë i ndryshëm (për shembull, jo konveks) dhe të mos plotësojë përkufizimin e zakonshëm të një poliedri. Edhe përmes tij, ai kufizohet nga seksione vijash. Vijat e një poliedri konveks përbëhen nga figura konvekse. Megjithatë, kjo qasje ndaj përkufizimit përjashton një shifër që shkon në pafundësi. Një shembull i kësaj do të ishin tre rreze që nuk takohen në të njëjtën pikë. Por në të njëjtën kohë, ato janë të lidhura me kulmet e një figure tjetër. Tradicionalisht, ishte e rëndësishme për një poliedron që të përbëhet nga sipërfaqe të sheshta. Por me kalimin e kohës, koncepti u zgjerua, gjë që çoi në një përmirësim të konsiderueshëm në të kuptuarit e klasës origjinale "më të ngushtë" të poliedrave, si dhe në shfaqjen e një përkufizimi të ri, më të gjerë.
E saktë
Le të prezantojmë një përkufizim tjetër. Një shumëfaqësh i rregullt është ai në të cilin çdo faqe është një e rregullt kongruenteshumëkëndëshat konveks, dhe të gjitha kulmet janë "të njëjta". Kjo do të thotë se çdo kulm ka të njëjtin numër shumëkëndëshash të rregullt. Përdorni këtë përkufizim. Kështu që ju mund të gjeni pesë poliedra të rregullta.
Hapat e parë drejt teoremës së Euler për poliedrat
Grekët dinin për poligonin, i cili sot quhet pentagram. Ky shumëkëndësh mund të quhet i rregullt sepse të gjitha brinjët e tij janë me gjatësi të barabartë. Ekziston edhe një shënim tjetër i rëndësishëm. Këndi midis dy brinjëve të njëpasnjëshme është gjithmonë i njëjtë. Megjithatë, kur vizatohet në një plan, ai nuk përcakton një grup konveks, dhe anët e poliedrit kryqëzohen me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo nuk ishte gjithmonë rasti. Matematikanët e kanë konsideruar prej kohësh idenë e poliedrave të rregullt "jo konveks". Pentagrami ishte një prej tyre. U lejuan gjithashtu "poligone yjore". Janë zbuluar disa shembuj të rinj të "poledrave të rregullt". Tani ato quhen poliedra Kepler-Poinsot. Më vonë, G. S. M. Coxeter dhe Branko Grünbaum zgjeruan rregullat dhe zbuluan "poleedra të rregullta".
Formula poliedrike
Studimi sistematik i këtyre shifrave filloi relativisht herët në historinë e matematikës. Leonhard Euler ishte i pari që vuri re se një formulë që lidhet me numrin e kulmeve, faqeve dhe skajeve të tyre vlen për poliedrat konveks 3D.
Ajo duket kështu:
V + F - E=2, ku V është numri i kulmeve poliedrike, F është numri i skajeve të shumëfaqëshit dhe E është numri i faqeve.
Leonhard Euler është zviceranmatematikan i cili konsiderohet si një nga shkencëtarët më të mëdhenj dhe më produktivë të të gjitha kohërave. Ai ka qenë i verbër për pjesën më të madhe të jetës së tij, por humbja e shikimit i dha një arsye për t'u bërë edhe më produktiv. Ka disa formula të emërtuara sipas tij, dhe ajo që sapo shikuam quhet nganjëherë formula e Euler poliedrës.
Ka një sqarim. Formula e Euler-it, megjithatë, funksionon vetëm për poliedrat që ndjekin rregulla të caktuara. Ato qëndrojnë në faktin se forma nuk duhet të ketë asnjë vrimë. Dhe është e papranueshme që ajo të kryqëzohet. Një poliedron gjithashtu nuk mund të përbëhet nga dy pjesë të bashkuara, si p.sh. dy kube me të njëjtin kulm. Euler përmendi rezultatin e kërkimit të tij në një letër drejtuar Christian Goldbach në 1750. Më vonë, ai botoi dy letra në të cilat përshkroi se si u përpoq të gjente prova të zbulimit të tij të ri. Në fakt, ka forma që i japin një përgjigje të ndryshme V + F - E. Përgjigja e shumës F + V - E=X quhet karakteristikë e Euler-it. Ajo ka një aspekt tjetër. Disa forma madje mund të kenë një karakteristikë të Euler-it që është negative
Teoria e Grafikut
Ndonjëherë pretendohet se Dekarti e nxori teoremën e Euler-it më herët. Edhe pse ky shkencëtar zbuloi fakte rreth poliedrave tre-dimensionale që do ta lejonin të nxirrte formulën e dëshiruar, ai nuk e ndërmori këtë hap shtesë. Sot, Euler vlerësohet si "babai" i teorisë së grafeve. Ai e zgjidhi problemin e urës së Konigsbergut duke përdorur idetë e tij. Por shkencëtari nuk e shikoi poliedrin në kontekstteoria e grafikut. Euler u përpoq të jepte një provë të një formule të bazuar në zbërthimin e një poliedri në pjesë më të thjeshta. Kjo përpjekje bie poshtë standardeve moderne për provë. Megjithëse Euler nuk dha justifikimin e parë të saktë për formulën e tij, nuk mund të vërtetohen hamendjet që nuk janë bërë. Megjithatë, rezultatet, të cilat u vërtetuan më vonë, bëjnë të mundur përdorimin e teoremës së Euler-it edhe në kohën e tanishme. Prova e parë u mor nga matematikani Adrian Marie Legendre.
Vërtetim i formulës së Euler
Euler formuloi për herë të parë formulën shumëedrale si një teoremë mbi poliedrat. Sot shpesh trajtohet në kontekstin më të përgjithshëm të grafikëve të lidhur. Për shembull, si struktura të përbëra nga pika dhe segmente vijash që i lidhin ato, të cilat janë në të njëjtën pjesë. Augustin Louis Cauchy ishte personi i parë që gjeti këtë lidhje të rëndësishme. Ai shërbeu si një provë e teoremës së Euler-it. Ai, në thelb, vuri re se grafiku i një poliedri konveks (ose ai që sot quhet i tillë) është topologjikisht homeomorfik ndaj një sfere, ka një graf të lidhur planar. Cfare eshte? Një graf planar është ai që është vizatuar në rrafsh në mënyrë të tillë që skajet e tij të takohen ose të kryqëzohen vetëm në një kulm. Këtu u gjet lidhja midis teoremës së Euler-it dhe grafikëve.
Një tregues i rëndësisë së rezultatit është se David Epstein ishte në gjendje të mblidhte shtatëmbëdhjetë prova të ndryshme. Ka shumë mënyra për të justifikuar formulën poliedrike të Euler-it. Në njëfarë kuptimi, provat më të dukshme janë metodat që përdorin induksionin matematik. Rezultati mund të vërtetohetduke e tërhequr atë përgjatë numrit të dy skajeve, faqeve ose kulmeve të grafikut.
Dëshmi e Rademacher dhe Toeplitz
Veçanërisht tërheqëse është prova e mëposhtme e Rademacher dhe Toeplitz, bazuar në qasjen e Von Staudt. Për të justifikuar teoremën e Euler-it, supozojmë se G është një graf i lidhur i ngulitur në një plan. Nëse ka skema, është e mundur të përjashtohet një skaj nga secila prej tyre në mënyrë të tillë që të ruhet vetia që ajo mbetet e lidhur. Ekziston një korrespondencë një-për-një midis pjesëve të hequra për kalimin në grafikun e lidhur pa mbyllje dhe atyre që nuk janë një skaj i pafund. Ky hulumtim çoi në klasifikimin e "sipërfaqeve të orientueshme" për sa i përket të ashtuquajturës karakteristikë Euler.
Korba e Jordanisë. Teorema
Teza kryesore, e cila përdoret drejtpërdrejt ose tërthorazi në vërtetimin e formulës së poliedrës të teoremës së Euler-it për grafikë, varet nga kurba e Jordanit. Kjo ide lidhet me përgjithësimin. Ai thotë se çdo kurbë e thjeshtë e mbyllur e ndan rrafshin në tre grupe: pika mbi të, brenda dhe jashtë tij. Ndërsa interesi për formulën poliedrike të Euler-it u zhvillua në shekullin e nëntëmbëdhjetë, u bënë shumë përpjekje për ta përgjithësuar atë. Ky kërkim hodhi themelet për zhvillimin e topologjisë algjebrike dhe e lidhi atë me algjebrën dhe teorinë e numrave.
grupi Moebius
Shpejt u zbulua se disa sipërfaqe mund të "orientohen" vetëm në një mënyrë të qëndrueshme në nivel lokal, jo global. Grupi i mirënjohur Möbius shërben si një ilustrim i tillësipërfaqet. Ajo u zbulua disi më herët nga Johann Listing. Ky koncept përfshin nocionin e gjinisë së një grafiku: numri më i vogël i përshkruesve g. Duhet të shtohet në sipërfaqen e sferës dhe mund të futet në sipërfaqen e zgjatur në mënyrë të tillë që skajet të takohen vetëm në kulme. Rezulton se çdo sipërfaqe e orientueshme në hapësirën Euklidiane mund të konsiderohet si një sferë me një numër të caktuar dorezash.
Diagrami i Euler
Shkencëtari bëri një zbulim tjetër, i cili përdoret edhe sot. Ky i ashtuquajtur diagram i Euler-it është një paraqitje grafike e rrathëve, zakonisht përdoret për të ilustruar marrëdhëniet midis grupeve ose grupeve. Grafikët zakonisht përfshijnë ngjyra që përzihen në zonat ku rrathët mbivendosen. Kompletet përfaqësohen pikërisht me rrathë ose ovale, megjithëse për to mund të përdoren edhe figura të tjera. Një përfshirje përfaqësohet nga një mbivendosje elipsësh të quajtur rrathë Euler.
Ato përfaqësojnë grupe dhe nëngrupe. Përjashtim bëjnë rrathët që nuk mbivendosen. Diagramet e Euler-it janë të lidhura ngushtë me paraqitjet e tjera grafike. Ata shpesh ngatërrohen. Ky paraqitje grafike quhet diagramet e Venit. Në varësi të grupeve në fjalë, të dy versionet mund të duken njësoj. Megjithatë, në diagramet e Venit, rrathët e mbivendosur nuk tregojnë domosdoshmërisht të përbashkëtat midis grupeve, por vetëm një marrëdhënie të mundshme logjike nëse etiketat e tyre nuk janë nërreth kryqëzues. Të dyja opsionet u miratuan për mësimin e teorisë së grupeve si pjesë e lëvizjes së re matematikore të viteve 1960.
Teorema e Fermatit dhe Euler
Euler la një shenjë të dukshme në shkencën matematikore. Teoria algjebrike e numrave u pasurua nga një teoremë e quajtur pas tij. Është gjithashtu pasojë e një zbulimi tjetër të rëndësishëm. Kjo është e ashtuquajtura teorema e përgjithshme algjebrike e Lagranzhit. Emri i Euler-it lidhet gjithashtu me teoremën e vogël të Fermatit. Ai thotë se nëse p është një numër i thjeshtë dhe a është një numër i plotë i papjesëtueshëm me p, atëherë:
ap-1 - 1 pjesëtohet me p.
Ndonjëherë i njëjti zbulim ka një emër tjetër, që më së shpeshti gjendet në literaturën e huaj. Tingëllon si teorema e Krishtlindjes e Fermatit. Gjë është se zbulimi u bë i njohur falë një letre të një shkencëtari të dërguar në prag të 25 dhjetorit 1640. Por vetë deklarata është hasur edhe më parë. Ajo u përdor nga një shkencëtar tjetër i quajtur Albert Girard. Fermat vetëm u përpoq të provonte teorinë e tij. Autori lë të kuptohet në një letër tjetër se është frymëzuar nga metoda e zbritjes së pafundme. Por ai nuk ka dhënë asnjë provë. Më vonë, Eider gjithashtu iu drejtua të njëjtës metodë. Dhe pas tij - shumë shkencëtarë të tjerë të famshëm, duke përfshirë Lagrange, Gauss dhe Minkosky.
Veçoritë e identiteteve
Teorema e vogël e Fermatit quhet gjithashtu një rast i veçantë i një teoreme nga teoria e numrave për shkak të Ojlerit. Në këtë teori, funksioni i identitetit të Euler-it numëron numra të plotë pozitivë deri në një numër të plotë të dhënë n. Ata janë të mirë në lidhje men. Teorema e Euler-it në teorinë e numrave është shkruar duke përdorur shkronjën greke φ dhe duket si φ(n). Më formalisht mund të përkufizohet si numri i numrave të plotë k në rangun 1 ≦ k ≦ n për të cilin pjesëtuesi më i madh i përbashkët gcd(n, k) është 1. Shënimi φ(n) mund të quhet gjithashtu funksioni ph i Euler-it. Numrat e plotë k të kësaj forme nganjëherë quhen totale. Në qendër të teorisë së numrave, funksioni i identitetit të Euler-it është shumëzues, që do të thotë se nëse dy numra m dhe n janë të dyfishtë, atëherë φ(mn)=φ(m)φ(n). Ai gjithashtu luan një rol kyç në përcaktimin e sistemit të enkriptimit RSA.
Funksioni Euler u prezantua në 1763. Megjithatë, në atë kohë matematikani nuk zgjodhi ndonjë simbol specifik për të. Në një botim të vitit 1784, Euler studioi këtë funksion në më shumë detaje dhe zgjodhi shkronjën greke π për ta përfaqësuar atë. James Sylvester shpiku termin "total" për këtë veçori. Prandaj, quhet edhe totali i Euler-it. Totali φ(n) i një numri të plotë pozitiv n më të madh se 1 është numri i numrave të plotë pozitivë më pak se n që janë relativisht të thjeshtë deri në n.φ(1) përkufizohet si 1. Funksioni i Euler-it ose funksioni ph (φ) është një teori shumë e rëndësishme e numrave, një funksion i lidhur thellësisht me numrat e thjeshtë dhe të ashtuquajturën renditje të numrave të plotë.
