Teorema e Shtajnerit ose teorema e boshteve paralele për llogaritjen e momentit të inercisë

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Në përshkrimin matematikor të lëvizjes rrotulluese, është e rëndësishme të dihet momenti i inercisë së sistemit rreth boshtit. Në rastin e përgjithshëm, procedura për gjetjen e kësaj sasie përfshin zbatimin e procesit të integrimit. E ashtuquajtura teorema e Shtajnerit e bën më të lehtë llogaritjen. Le ta shqyrtojmë më në detaje në artikull.

Çfarë është momenti i inercisë?

Para se të japim formulimin e teoremës së Shtajnerit, është e nevojshme të trajtojmë vetë konceptin e momentit të inercisë. Supozoni se ka një trup me masë të caktuar dhe formë arbitrare. Ky trup mund të jetë ose një pikë materiale ose ndonjë objekt dydimensional ose tredimensional (shufër, cilindër, top, etj.). Nëse objekti në fjalë bën një lëvizje rrethore rreth një boshti me nxitim këndor konstant α, atëherë mund të shkruhet ekuacioni i mëposhtëm:

M=Iα

Këtu, vlera M përfaqëson momentin total të forcave, i cili i jep nxitim α të gjithë sistemit. Koeficienti i proporcionalitetit ndërmjet tyre - I, quhetMomenti i inercisë. Kjo sasi fizike llogaritet duke përdorur formulën e përgjithshme vijuese:

I=∫_m (r²dm)

Këtu r është distanca midis elementit me masë dm dhe boshtit të rrotullimit. Kjo shprehje do të thotë se është e nevojshme të gjendet shuma e prodhimeve të distancave në katror r² dhe masës elementare dm. Domethënë, momenti i inercisë nuk është një karakteristikë e pastër e trupit, gjë që e dallon atë nga inercia lineare. Varet nga shpërndarja e masës në të gjithë objektin që rrotullohet, si dhe nga distanca me boshtin dhe nga orientimi i trupit në lidhje me të. Për shembull, një shufër do të ketë një I të ndryshme nëse rrotullohet rreth qendrës së masës dhe rreth fundit.

Momenti i inercisë dhe teorema e Shtajnerit

Matematikani i famshëm zviceran, Jakob Steiner, vërtetoi teoremën mbi boshtet paralele dhe momentin e inercisë, që tani mban emrin e tij. Kjo teoremë postulon se momenti i inercisë për absolutisht çdo trup të ngurtë me gjeometri arbitrare në lidhje me një bosht rrotullimi është i barabartë me shumën e momentit të inercisë rreth boshtit që kryqëzon qendrën e masës së trupit dhe është paralel me të parën., dhe produkti i masës trupore është shumëfishuar me katrorin e distancës ndërmjet këtyre boshteve. Matematikisht, ky formulim shkruhet si më poshtë:

I_Z=I_O + ml²

I_Z dhe I_O - momentet e inercisë rreth boshtit Z dhe boshtit O paralel me të, i cili kalon përmes qendrës së masës së trupit, l - distanca midis vijave Z dhe O.

Teorema lejon, duke ditur vlerën e I_O, për të llogariturçdo moment tjetër I_Z rreth një boshti që është paralel me O.

Vërtetimi i teoremës

Formula e teoremës Shtajner mund të merret lehtësisht vetë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trup arbitrar në planin xy. Lëreni origjinën e koordinatave të kalojë përmes qendrës së masës së këtij trupi. Le të llogarisim momentin e inercisë I_O i cili kalon nga origjina pingul me rrafshin xy. Meqenëse distanca në çdo pikë të trupit shprehet me formulën r=√ (x² + y²), atëherë marrim integralin:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Tani le ta lëvizim boshtin paralel përgjatë boshtit x me një distancë l, për shembull, në drejtim pozitiv, atëherë llogaritja për boshtin e ri të momentit të inercisë do të duket kështu:

I_Z=∫_m((x+l)²+y ²)dm)

Zgjeroni katrorin e plotë në kllapa dhe ndani integrandët, marrim:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

I pari nga këta terma është vlera I_O, termi i tretë, pas integrimit, jep termin l²m, dhe këtu termi i dytë është zero. Zeroizimi i integralit të specifikuar është për faktin se ai është marrë nga prodhimi i elementeve x dhe masës dm, i cili nëmesatarja jep zero, pasi qendra e masës është në origjinë. Si rezultat, fitohet formula e teoremës së Shtajnerit.

Rasti i konsideruar në aeroplan mund të përgjithësohet në një trup tredimensional.

Kontrollimi i formulës Shtajner në shembullin e një shufre

Le të japim një shembull të thjeshtë për të demonstruar se si të përdoret teorema e mësipërme.

Dihet se për një shufër me gjatësi L dhe masë m, momenti i inercisë I_O (boshti kalon nëpër qendrën e masës) është i barabartë me m L² /12, dhe momenti I_Z (boshti kalon nga fundi i shufrës) është i barabartë me mL 2^{/3. Le t'i kontrollojmë këto të dhëna duke përdorur teoremën e Shtajnerit. Meqenëse distanca midis dy akseve është L/2, atëherë marrim momentin I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Dmth, ne kontrolluam formulën Steiner dhe morëm të njëjtën vlerë për I_Z si në burim.

Llogaritje të ngjashme mund të kryhen edhe për trupa të tjerë (cilindër, top, disk), duke marrë momentet e nevojshme të inercisë dhe pa kryer integrimin.

Momenti i inercisë dhe boshteve pingul

Teorema e shqyrtuar ka të bëjë me boshtet paralele. Për plotësinë e informacionit, është gjithashtu e dobishme të jepet një teoremë për boshtet pingul. Formulohet si më poshtë: për një objekt të sheshtë me formë arbitrare, momenti i inercisë rreth një boshti pingul me të do të jetë i barabartë me shumën e dy momenteve të inercisë rreth dy pingul dhe të shtrirë reciprokishtnë rrafshin e objektit të boshteve, ku të tre akset kalojnë nëpër të njëjtën pikë. Matematikisht, kjo shkruhet si më poshtë:

I_z=I_x + I_y

Këtu z, x, y janë tre boshte reciprokisht pingul të rrotullimit.

Dallimi thelbësor midis kësaj teoreme dhe teoremës së Shtajnerit është se ajo është e zbatueshme vetëm për objektet e ngurtë të sheshtë (dydimensionale). Megjithatë, në praktikë përdoret gjerësisht, duke e prerë mendërisht trupin në shtresa të veçanta dhe më pas duke shtuar momentet e fituara të inercisë.