Nëse lëvizja lineare e trupave përshkruhet në mekanikën klasike duke përdorur ligjet e Njutonit, atëherë karakteristikat e lëvizjes së sistemeve mekanike përgjatë trajektoreve rrethore llogariten duke përdorur një shprehje të veçantë, e cila quhet ekuacioni i momenteve. Për cilat momente po flasim dhe cili është kuptimi i këtij ekuacioni? Këto dhe pyetje të tjera janë zbuluar në artikull.
Momenti i forcës
Të gjithë janë të vetëdijshëm për forcën e Njutonit, e cila, duke vepruar në trup, çon në dhënien e përshpejtimit tek ai. Kur një forcë e tillë zbatohet në një objekt që është i fiksuar në një bosht të caktuar rrotullimi, atëherë kjo karakteristikë zakonisht quhet momenti i forcës. Ekuacioni i momentit të forcës mund të shkruhet si më poshtë:
M¯=L¯F¯
Fotografia që shpjegon këtë shprehje është paraqitur më poshtë.
Këtu mund të shihni se forca F¯ i drejtohet vektorit L¯ në një kënd Φ. Vektori L¯ supozohet se drejtohet nga boshti i rrotullimit (i treguar nga shigjeta) në pikën e aplikimitF¯.
Formula e mësipërme është produkt i dy vektorëve, kështu që M¯ është gjithashtu i drejtuar. Ku do të kthehet momenti i forcës M¯? Kjo mund të përcaktohet nga rregulli i dorës së djathtë (katër gishta drejtohen përgjatë trajektores nga fundi i vektorit L¯ deri në fund të F¯, dhe gishti i madh i majtë tregon drejtimin e M¯).
Në figurën e mësipërme, shprehja për momentin e forcës në formë skalare do të marrë formën:
M=LFsin(Φ)
Nëse shikoni nga afër figurën, mund të shihni se Lsin(Φ)=d, atëherë kemi formulën:
M=dF
Vlera e d është një karakteristikë e rëndësishme në llogaritjen e momentit të forcës, pasi ajo pasqyron efektivitetin e F të aplikuar në sistem. Kjo vlerë quhet levë e forcës.
Kuptimi fizik i M qëndron në aftësinë e forcës për të rrotulluar sistemin. Të gjithë mund ta ndiejnë këtë aftësi nëse e hapin derën nga doreza, duke e shtyrë pranë menteshave ose nëse përpiqen të heqin arrën me një çelës të shkurtër dhe të gjatë.
Ekuilibri i sistemit
Koncepti i momentit të forcës është shumë i dobishëm kur merret parasysh ekuilibri i një sistemi mbi të cilin veprojnë forca të shumta dhe ka një bosht ose pikë rrotullimi. Në raste të tilla, zbatoni formulën:
∑iMi¯=0
Dmth, sistemi do të jetë në ekuilibër nëse shuma e të gjitha momenteve të forcave të aplikuara ndaj tij është zero. Vini re se në këtë formulë ka një shenjë vektoriale mbi momentin, domethënë kur zgjidhet, nuk duhet harruar të merret parasysh shenja e kësajsasive. Rregulli i pranuar përgjithësisht është që forca vepruese që rrotullon sistemin në drejtim të kundërt të akrepave të orës krijon një Mi¯.
Një shembull i mrekullueshëm i problemeve të këtij lloji janë problemet me ekuilibrin e levave të Arkimedit.
Momenti i vrullit
Kjo është një tjetër karakteristikë e rëndësishme e lëvizjes rrethore. Në fizikë, përshkruhet si produkt i momentit dhe levës. Ekuacioni i momentit duket si ky:
T¯=r¯p¯
Këtu p¯ është vektori i momentit, r¯ është vektori që lidh pikën rrotulluese të materialit me boshtin.
Figura më poshtë ilustron këtë shprehje.
Këtu ω është shpejtësia këndore, e cila do të shfaqet më tej në ekuacionin e momentit. Vini re se drejtimi i vektorit T¯ gjendet me të njëjtin rregull si M¯. Në figurën e mësipërme, T¯ në drejtim do të përkojë me vektorin e shpejtësisë këndore ω¯.
Kuptimi fizik i T¯ është i njëjtë me karakteristikat e p¯ në rastin e lëvizjes lineare, d.m.th. momenti këndor përshkruan sasinë e lëvizjes rrotulluese (energjia kinetike e ruajtur).
Momenti i inercisë
Karakteristika e tretë e rëndësishme, pa të cilën është e pamundur të formulohet ekuacioni i lëvizjes së një objekti rrotullues, është momenti i inercisë. Ai shfaqet në fizikë si rezultat i shndërrimeve matematikore të formulës për momentin këndor të një pike materiale. Le t'ju tregojmë se si është bërë.
Le të imagjinojmë vlerënT¯ si më poshtë:
T¯=r¯mv¯, ku p¯=mv¯
Duke përdorur lidhjen ndërmjet shpejtësive këndore dhe lineare, mund ta rishkruajmë këtë shprehje si më poshtë:
T¯=r¯mr¯ω¯, ku v¯=r¯ω¯
Shkruani shprehjen e fundit si më poshtë:
T¯=r2mω¯
Vlera r2m është momenti i inercisë I për një pikë me masë m që bën një lëvizje rrethore rreth një boshti në një distancë r prej tij. Ky rast i veçantë na lejon të prezantojmë ekuacionin e përgjithshëm të momentit të inercisë për një trup me formë arbitrare:
I=∫m (r2dm)
I është një sasi shtesë, kuptimi i së cilës qëndron në inercinë e sistemit rrotullues. Sa më i madh të jem, aq më e vështirë është të rrotullosh trupin dhe duhen përpjekje të konsiderueshme për ta ndaluar atë.
Ekuacioni i momentit
Kemi shqyrtuar tre sasi, emri i të cilave fillon me fjalën "moment". Kjo është bërë qëllimisht, pasi të gjitha janë të lidhura në një shprehje, të quajtur ekuacioni 3-moment. Le ta nxjerrim atë.
Merrni parasysh shprehjen për momentin këndor T¯:
T¯=Iω¯
Gjeni se si vlera e T¯ ndryshon në kohë, ne kemi:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Duke pasur parasysh që derivati i shpejtësisë këndore është i barabartë me atë të shpejtësisë lineare të pjesëtuar me r, dhe duke zgjeruar vlerën e I, arrijmë në shprehjen:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, ku a¯=dv¯/dt është nxitim linear.
Vini re se produkti i masës dhe nxitimit nuk është gjë tjetër veçse forca e jashtme vepruese F¯. Si rezultat, marrim:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Ne arritëm në një përfundim interesant: ndryshimi në momentin këndor është i barabartë me momentin e forcës së jashtme që vepron. Kjo shprehje zakonisht shkruhet në një formë paksa të ndryshme:
M¯=Iα¯, ku α¯=dω¯/dt - nxitimi këndor.
Kjo barazi quhet ekuacion i momenteve. Kjo ju lejon të llogaritni çdo karakteristikë të një trupi rrotullues, duke ditur parametrat e sistemit dhe madhësinë e ndikimit të jashtëm në të.
Ligji i ruajtjes T¯
Përfundimi i marrë në paragrafin e mëparshëm tregon se nëse momenti i jashtëm i forcave është i barabartë me zero, atëherë momenti këndor nuk do të ndryshojë. Në këtë rast, ne shkruajmë shprehjen:
T¯=konst. ose unë1ω1¯=I2ω2 ¯
Kjo formulë quhet ligji i ruajtjes së T¯. Kjo do të thotë, çdo ndryshim brenda sistemit nuk e ndryshon momentin e përgjithshëm këndor.
Ky fakt përdoret nga patinatorët dhe balerinat gjatë performancave të tyre. Përdoret gjithashtu nëse është e nevojshme të rrotullohet një satelit artificial që lëviz në hapësirë rreth boshtit të tij.
