Ligji i ruajtjes së momentit dhe momentit këndor: një shembull i zgjidhjes së problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Kur duhet të zgjidhni probleme në fizikë për lëvizjen e objekteve, shpesh rezulton të jetë e dobishme të zbatoni ligjin e ruajtjes së momentit. Cili është momenti për lëvizjen lineare dhe rrethore të trupit dhe cili është thelbi i ligjit të ruajtjes së kësaj vlere, diskutohet në artikull.

Koncepti i momentit linear

Të dhënat historike tregojnë se për herë të parë kjo vlerë u konsiderua në veprat e tij shkencore nga Galileo Galilei në fillim të shekullit të 17-të. Më pas, Isaac Newton ishte në gjendje të integronte në mënyrë harmonike konceptin e momentit (një emër më i saktë për momentin) në teorinë klasike të lëvizjes së objekteve në hapësirë.

Shënoni momentin si p¯, atëherë formula për llogaritjen e tij do të shkruhet si:

p¯=mv¯.

Këtu m është masa, v¯ është shpejtësia (vlera vektoriale) e lëvizjes. Kjo barazi tregon se sasia e lëvizjes është shpejtësia karakteristike e një objekti, ku masa luan rolin e një faktori shumëzimi. Numri i lëvizjesështë një sasi vektoriale që tregon në të njëjtin drejtim me shpejtësinë.

Intuitivisht, sa më e madhe të jetë shpejtësia e lëvizjes dhe masa e trupit, aq më e vështirë është ta ndalosh atë, domethënë aq më e madhe është energjia kinetike që ka.

Sasia e lëvizjes dhe ndryshimi i saj

Mund të merrni me mend se për të ndryshuar vlerën p¯ të trupit, duhet të aplikoni njëfarë force. Lëreni forcën F¯ të veprojë gjatë intervalit kohor Δt, atëherë ligji i Njutonit na lejon të shkruajmë barazinë:

F¯Δt=ma¯Δt; prandaj F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Vlera e barabartë me prodhimin e intervalit kohor Δt dhe forcës F¯ quhet impuls i kësaj force. Meqenëse rezulton të jetë e barabartë me ndryshimin e momentit, ky i fundit shpesh quhet thjesht moment, duke sugjeruar që një forcë e jashtme F¯ e krijoi atë.

Kështu, arsyeja e ndryshimit të momentit është momenti i forcës së jashtme. Vlera e Δp¯ mund të çojë si në një rritje të vlerës së p¯ nëse këndi midis F¯ dhe p¯ është akut, ashtu edhe në një ulje të modulit të p¯ nëse ky kënd është i mpirë. Rastet më të thjeshta janë nxitimi i trupit (këndi ndërmjet F¯ dhe p¯ është zero) dhe ngadalësimi i tij (këndi midis vektorëve F¯ dhe p¯ është 180o).

Kur momenti ruhet: ligji

Nëse sistemi i trupit nuk ështëveprojnë forcat e jashtme, dhe të gjitha proceset në të kufizohen vetëm nga ndërveprimi mekanik i përbërësve të tij, atëherë secili komponent i momentit mbetet i pandryshuar për një kohë arbitrare të gjatë. Ky është ligji i ruajtjes së momentit të trupave, i cili matematikisht shkruhet si më poshtë:

p¯=∑_ip_{i¯=konst ose}

∑_ip_ix=konst; ∑_ip_iy=konst; ∑_ip_iz=konst.

Nënshkrimi i është një numër i plotë që numëron objektin e sistemit dhe indekset x, y, z përshkruajnë komponentët e momentit për secilin prej boshteve të koordinatave në sistemin drejtkëndor kartezian.

Në praktikë shpesh është e nevojshme të zgjidhen problema njëdimensionale për përplasjen e trupave, kur dihen kushtet fillestare dhe është e nevojshme të përcaktohet gjendja e sistemit pas goditjes. Në këtë rast, momenti ruhet gjithmonë, gjë që nuk mund të thuhet për energjinë kinetike. Kjo e fundit para dhe pas ndikimit do të jetë e pandryshuar vetëm në një rast të vetëm: kur ka një ndërveprim absolutisht elastik. Për këtë rast të përplasjes së dy trupave që lëvizin me shpejtësi v₁ dhe v_{2, formula e ruajtjes së momentit do të marrë formën:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Këtu, shpejtësitë u₁ dhe u_{2 karakterizojnë lëvizjen e trupave pas goditjes. Vini re se në këtë formë të ligjit të ruajtjes, është e nevojshme të merret parasysh shenja e shpejtësive: nëse ato drejtohen drejt njëra-tjetrës, atëherë duhet marrë njëpozitive dhe tjetra negative.}

Për një përplasje krejtësisht joelastike (dy trupa ngjiten së bashku pas goditjes), ligji i ruajtjes së momentit ka formën:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Zgjidhja e problemit mbi ligjin e ruajtjes së p¯

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm: dy topa rrotullohen drejt njëri-tjetrit. Masat e topave janë të njëjta, dhe shpejtësia e tyre është 5 m/s dhe 3 m/s. Duke supozuar se ka një përplasje absolutisht elastike, është e nevojshme të gjenden shpejtësitë e topave pas saj.

Duke përdorur ligjin e ruajtjes së momentit për rastin njëdimensional dhe duke marrë parasysh që energjia kinetike ruhet pas goditjes, shkruajmë:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Këtu reduktuam menjëherë masat e topave për shkak të barazisë së tyre, si dhe morëm parasysh faktin që trupat lëvizin drejt njëri-tjetrit.

Është më e lehtë të vazhdosh zgjidhjen e sistemit nëse zëvendëson të dhënat e njohura. Ne marrim:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Duke zëvendësuar u_{1 në ekuacionin e dytë, marrim:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; prandaj,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Kemi marrë ekuacionin kuadratik klasik. E zgjidhim përmes diskriminuesit, marrim:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Kemi dy zgjidhje. Nëse i zëvendësojmë në shprehjen e parë dhe përcaktojmë u₁, atëherë marrim vlerën e mëposhtme: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Çifti i dytë i numrave jepet në kushtin e problemit, pra nuk korrespondon me shpërndarjen reale të shpejtësive pas goditjes.}

Kështu, mbetet vetëm një zgjidhje: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Ky rezultat kurioz do të thotë se në një përplasje elastike qendrore, dy topa me masë të barabartë thjesht shkëmbejnë shpejtësinë e tyre.}

Momenti i vrullit

Gjithçka që u tha më sipër i referohet llojit linear të lëvizjes. Megjithatë, rezulton se sasi të ngjashme mund të futen edhe në rastin e zhvendosjes rrethore të trupave rreth një boshti të caktuar. Momenti këndor, i cili quhet edhe momenti këndor, llogaritet si prodhim i vektorit që lidh pikën materiale me boshtin e rrotullimit dhe momentin e kësaj pike. Kjo do të thotë, formula zhvillohet:

L¯=r¯p¯, ku p¯=mv¯.

Momenti, si p¯, është një vektor që drejtohet pingul me rrafshin e ndërtuar mbi vektorët r¯ dhe p¯.

Vlera e L¯ është një karakteristikë e rëndësishme e një sistemi rrotullues, pasi ajo përcakton energjinë që ruhet në të.

Momenti i momentit dhe ligji i ruajtjes

Momenti këndor ruhet nëse nuk veprojnë forca të jashtme në sistem (zakonisht ata thonë se nuk ka moment forcash). Shprehja në paragrafin e mëparshëm, përmes transformimeve të thjeshta, mund të shkruhet në një formë më të përshtatshme për praktikë:

L¯=Iω¯, ku I=mr2 është momenti i inercisë së pikës materiale, ω¯ është shpejtësia këndore.

Momenti i inercisë I, i cili u shfaq në shprehje, ka saktësisht të njëjtin kuptim për rrotullimin si masa e zakonshme për lëvizjen lineare.

Nëse ka ndonjë rirregullim të brendshëm të sistemit, në të cilin unë ndryshoj, atëherë ω¯ gjithashtu nuk mbetet konstante. Për më tepër, ndryshimi në të dyja sasitë fizike ndodh në atë mënyrë që barazia e mëposhtme mbetet e vlefshme:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Ky është ligji i ruajtjes së momentit këndor L¯. Manifestimi i tij është vërejtur nga çdo person që të paktën një herë ka ndjekur baletin apo patinazhin artistik, ku atletët kryejnë piruetë me rrotullim.