Studimi sasior i dinamikës dhe kinematikës së lëvizjes rrotulluese kërkon njohjen e momentit të inercisë së një pike materiale dhe të një trupi të ngurtë në raport me boshtin e rrotullimit. Ne do të shqyrtojmë në artikull për cilin parametër po flasim, dhe gjithashtu do të japim një formulë për përcaktimin e tij.
Informacion i përgjithshëm për sasinë fizike
Së pari, le të përcaktojmë momentin e inercisë së një pike materiale dhe të një trupi të ngurtë dhe më pas të tregojmë se si duhet të përdoret në zgjidhjen e problemeve praktike.
Nën karakteristikën fizike të treguar për një pikë me masë m, e cila rrotullohet rreth boshtit në një distancë r, nënkuptohet vlera e mëposhtme:
I=mr².
Ku rezulton se njësia matëse e parametrit të studiuar është kilogramë për metër katror (kgm²).
Nëse, në vend të një pike rreth një boshti, rrotullohet një trup me formë komplekse, i cili ka një shpërndarje arbitrare të masës brenda vetes, atëherë përcaktohet momenti i tij i inercisë.kështu:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Ku ρ është dendësia e trupit. Duke përdorur formulën integrale, mund të përcaktoni vlerën e I për absolutisht çdo sistem rrotullimi.
Momenti i inercisë ka saktësisht të njëjtin kuptim për rrotullimin si masa për lëvizjen përkthimore. Për shembull, të gjithë e dinë se është më e lehtë të rrotullosh një leckë dyshemeje rreth një boshti që kalon përmes dorezës së tij sesa përmes një pingul. Kjo për faktin se momenti i inercisë në rastin e parë është shumë më i vogël se në rastin e dytë.
Vlerësoj për trupat me forma të ndryshme
Kur zgjidhen probleme në fizikë për rrotullim, shpesh është e nevojshme të dihet momenti i inercisë për një trup të një forme specifike gjeometrike, për shembull, për një cilindër, top ose shufër. Nëse zbatojmë formulën e shkruar më sipër për I, atëherë është e lehtë të merret shprehja përkatëse për të gjithë trupat e shënuar. Më poshtë janë formulat për disa prej tyre:
shufra: I=1 / 12ML²;
cilindër: I=1/2MR²;
sferë: I=2 / 5MR².
Këtu jam dhënë për boshtin e rrotullimit, i cili kalon nëpër qendrën e masës së trupit. Në rastin e një cilindri, boshti është paralel me gjeneratorin e figurës. Momenti i inercisë për trupat e tjerë gjeometrikë dhe opsionet për vendndodhjen e boshteve të rrotullimit mund të gjenden në tabelat përkatëse. Vini re se për të përcaktuar I figura të ndryshme, mjafton të dini vetëm një parametër gjeometrik dhe masën e trupit.
Teorema dhe formula e Steiner
Momenti i inercisë mund të përcaktohet nëse boshti i rrotullimit ndodhet në një distancë nga trupi. Për ta bërë këtë, duhet të dini gjatësinë e këtij segmenti dhe vlerën IO të trupit në lidhje me boshtin që kalon nëpër qendrën e masës së tij, i cili duhet të jetë paralel me atë nën konsideratë. Vendosja e një lidhjeje ndërmjet parametrit IO dhe vlerës së panjohur I është fiksuar në teoremën e Shtajnerit. Momenti i inercisë së një pike materiale dhe një trupi të ngurtë shkruhet matematikisht si më poshtë:
I=IO+ Mh2.
Këtu M është masa e trupit, h është distanca nga qendra e masës në boshtin e rrotullimit, në lidhje me të cilën është e nevojshme të llogaritet I. Kjo shprehje është e lehtë për t'u marrë vetë nëse ju përdorni formulën integrale për I dhe merrni parasysh që të gjitha pikat e trupit janë në distancë r=r0 + h.
Teorema e Shtajnerit thjeshton shumë përkufizimin e I për shumë situata praktike. Për shembull, nëse duhet të gjeni I për një shufër me gjatësi L dhe masë M në lidhje me një bosht që kalon nga fundi i tij, atëherë aplikimi i teoremës së Steiner ju lejon të shkruani:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Mund t'i referoheni tabelës përkatëse dhe të shihni se ajo përmban pikërisht këtë formulë për një shufër të hollë me një bosht rrotullimi në fund.
Ekuacioni i momentit
Në fizikën e rrotullimit ekziston një formulë e quajtur ekuacioni i momenteve. Duket kështu:
M=Unëα.
Këtu M është momenti i forcës, α është nxitimi këndor. Siç mund ta shihni, momenti i inercisë së një pike materiale dhe një trupi të ngurtë dhe momenti i forcës janë të lidhura në mënyrë lineare me njëri-tjetrin. Vlera M përcakton mundësinë e një force F për të krijuar një lëvizje rrotulluese me nxitim α në sistem. Për të llogaritur M, përdorni shprehjen e mëposhtme të thjeshtë:
M=Fd.
Ku d është shpatulla e momentit, e cila është e barabartë me distancën nga vektori i forcës F deri te boshti i rrotullimit. Sa më i vogël të jetë krahu d, aq më pak aftësi do të ketë forca për të krijuar rrotullim të sistemit.
Ekuacioni i momenteve në kuptimin e tij është plotësisht në përputhje me ligjin e dytë të Njutonit. Në këtë rast, unë luaj rolin e masës inerciale.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Le të imagjinojmë një sistem që është një cilindër i fiksuar në një bosht vertikal me një shufër horizontale pa peshë. Dihet se boshti i rrotullimit dhe boshti kryesor i cilindrit janë paralel me njëri-tjetrin dhe distanca ndërmjet tyre është 30 cm. Masa e cilindrit është 1 kg, kurse rrezja e tij është 5 cm. Forca 10 N tangjente me trajektoren e rrotullimit vepron në figurë, vektori i së cilës kalon nëpër boshtin kryesor të cilindrit. Është e nevojshme të përcaktohet nxitimi këndor i figurës, që do të shkaktojë kjo forcë.
Së pari, le të llogarisim momentin e inercisë së cilindrit I. Për ta bërë këtë, zbatoni teoremën e Shtajnerit, ne kemi:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Para se të përdorni ekuacionin e momentit, ju duhetPërcaktoni momentin e forcës M. Në këtë rast, kemi:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Tani mund të përcaktoni nxitimin:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Nxitimi këndor i llogaritur tregon se çdo sekondë shpejtësia e cilindrit do të rritet me 5,2 rrotullime në sekondë.
