Sipërfaqja e sipërfaqes anësore dhe vëllimi i një piramide të cunguar: formula dhe një shembull i zgjidhjes së një problemi tipik

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Kur studiohen vetitë e figurave në hapësirën tredimensionale brenda kornizës së stereometrisë, shpesh duhet të zgjidhen probleme për të përcaktuar vëllimin dhe sipërfaqen. Në këtë artikull, ne do të tregojmë se si të llogarisim vëllimin dhe sipërfaqen anësore për një piramidë të cunguar duke përdorur formula të njohura.

Piramida në gjeometri

Në gjeometri, një piramidë e zakonshme është një figurë në hapësirë, e cila është e ndërtuar mbi një n-gon të sheshtë. Të gjitha kulmet e tij janë të lidhura me një pikë të vendosur jashtë rrafshit të shumëkëndëshit. Për shembull, këtu është një foto që tregon një piramidë pesëkëndëshe.

Kjo figurë formohet nga faqet, kulmet dhe skajet. Fytyra pesëkëndore quhet bazë. Fytyrat e mbetura trekëndore formojnë sipërfaqen anësore. Pika e kryqëzimit të të gjithë trekëndëshave është kulmi kryesor i piramidës. Nëse një pingul ulet nga ajo në bazë, atëherë janë të mundshme dy opsione për pozicionin e pikës së kryqëzimit:

• në qendrën gjeometrike, atëherë piramida quhet një vijë e drejtë;
• jo nëqendra gjeometrike, atëherë figura do të jetë e zhdrejtë.

Më tej do të shqyrtojmë vetëm figura të drejta me një bazë të rregullt n-gonale.

Cila është kjo shifër - një piramidë e cunguar?

Për të përcaktuar vëllimin e një piramide të cunguar, është e nevojshme të kuptohet qartë se për cilën figurë bëhet fjalë konkretisht. Le ta sqarojmë këtë çështje.

Supozojmë se marrim një plan prerës që është paralel me bazën e një piramide të zakonshme dhe presim me të një pjesë të sipërfaqes anësore. Nëse ky operacion kryhet me piramidën pesëkëndore të treguar më sipër, do të merrni një figurë të tillë si në figurën më poshtë.

Nga fotografia shihet se kjo piramidë tashmë ka dy baza, dhe pjesa e sipërme është e ngjashme me atë të poshtme, por është më e vogël në përmasa. Sipërfaqja anësore nuk përfaqësohet më me trekëndësha, por me trapezoide. Ato janë izoscele dhe numri i tyre korrespondon me numrin e anëve të bazës. Figura e cunguar nuk ka një kulm kryesor, si një piramidë e rregullt, dhe lartësia e saj përcaktohet nga distanca midis bazave paralele.

Në rastin e përgjithshëm, nëse figura në shqyrtim formohet nga baza n-gonale, ajo ka n+2 faqe ose brinjë, 2n kulme dhe 3n skaje. Kjo do të thotë, piramida e cunguar është një shumëfaqësh.

Formula për vëllimin e një piramide të cunguar

Kujtoni se vëllimi i një piramide të zakonshme është 1/3 e produktit të lartësisë dhe sipërfaqes së saj bazë. Kjo formulë nuk është e përshtatshme për një piramidë të cunguar, pasi ka dy baza. Dhe vëllimi i tijdo të jetë gjithmonë më pak se e njëjta vlerë për figurën e rregullt nga e cila rrjedh.

Pa hyrë në detajet matematikore të marrjes së shprehjes, ne paraqesim formulën përfundimtare për vëllimin e një piramide të cunguar. Është shkruar si më poshtë:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Këtu S₁ dhe S_{2 janë zonat e bazave të poshtme dhe të sipërme, përkatësisht, h është lartësia e figurës. Shprehja e shkruar vlen jo vetëm për një piramidë të drejtë të prerë të rregullt, por edhe për çdo figurë të kësaj klase. Për më tepër, pavarësisht nga lloji i poligoneve bazë. Kushti i vetëm që kufizon përdorimin e shprehjes për V është nevoja që bazat e piramidës të jenë paralele me njëra-tjetrën.}

Mund të nxirren disa përfundime të rëndësishme duke studiuar vetitë e kësaj formule. Pra, nëse sipërfaqja e bazës së sipërme është zero, atëherë vijmë në formulën për V të një piramide të zakonshme. Nëse sipërfaqet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë marrim formulën për vëllimin e prizmit.

Si të përcaktohet sipërfaqja anësore?

Njohja e karakteristikave të një piramide të cunguar kërkon jo vetëm aftësinë për të llogaritur vëllimin e saj, por edhe për të ditur se si të përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore.

Piramida e cunguar përbëhet nga dy lloje fytyrash:

• trapezoide izoscelore;
• baza poligonale.

Nëse ka një shumëkëndësh të rregullt në baza, atëherë llogaritja e sipërfaqes së tij nuk përfaqëson të madhevështirësitë. Për ta bërë këtë, ju vetëm duhet të dini gjatësinë e anës a dhe numrin e tyre n.

Në rastin e një sipërfaqe anësore, llogaritja e sipërfaqes së saj përfshin përcaktimin e kësaj vlere për secilin prej n trapezoidëve. Nëse n-gon është i saktë, atëherë formula për sipërfaqen anësore bëhet:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Këtu h_b është lartësia e trapezit, i cili quhet apotema e figurës. Sasitë a₁ dhe a_{2janë gjatësitë e brinjëve të bazave të rregullta n-gonale.}

Për çdo piramidë të cunguar n-gonale të rregullt, apotema h_b mund të përcaktohet në mënyrë unike nëpërmjet parametrave a₁ dhe a _{2dhe lartësia h e formës.}

Detyra e llogaritjes së vëllimit dhe sipërfaqes së një figure

Duhet një piramidë e rregullt trekëndore e cunguar. Dihet se lartësia e saj h është 10 cm, dhe gjatësitë e anëve të bazave janë 5 cm dhe 3 cm. Sa është vëllimi i piramidës së cunguar dhe sipërfaqja e sipërfaqes së saj anësore?

Së pari, le të llogarisim vlerën V. Për ta bërë këtë, gjeni sipërfaqet e trekëndëshave barabrinjës të vendosur në bazat e figurës. Ne kemi:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Zëvendësojmë të dhënat në formulën për V, marrim vëllimin e dëshiruar:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Për të përcaktuar sipërfaqen anësore, duhet të dinigjatësia e apotemës h_{b. Duke marrë parasysh trekëndëshin përkatës kënddrejtë brenda piramidës, mund të shkruajmë barazinë për të:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Vlera e apotemës dhe brinjëve të bazave trekëndore zëvendësohen në shprehjen për S_{b dhe marrim përgjigjen:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Kështu, ne iu përgjigjëm të gjitha pyetjeve të problemit: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.