Cilindër: sipërfaqja anësore. Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Kur studioni stereometrinë, një nga temat kryesore është "Cilindër". Sipërfaqja anësore konsiderohet, nëse jo kryesore, atëherë një formulë e rëndësishme në zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Megjithatë, është e rëndësishme të mbani mend përkufizimet që do t'ju ndihmojnë të lundroni nëpër shembuj dhe kur provoni teorema të ndryshme.

Koncepti cilindër

Së pari duhet të shqyrtojmë disa përkufizime. Vetëm pas studimit të tyre mund të fillohet të merret në konsideratë pyetja e formulës për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri. Bazuar në këtë hyrje, mund të llogariten shprehje të tjera.

Një sipërfaqe cilindrike kuptohet si një plan i përshkruar nga një gjenerator, që lëviz dhe mbetet paralel me një drejtim të caktuar, duke rrëshqitur përgjatë një kurbë ekzistuese.
Ekziston edhe një përkufizim i dytë: një sipërfaqe cilindrike formohet nga një grup vijash paralele që kryqëzojnë një kurbë të caktuar.
Gjenerativ quhet në mënyrë konvencionale lartësia e cilindrit. Kur lëviz rreth një boshti që kalon nga qendra e bazës,fitohet trupi gjeometrik i caktuar.
Nën bosht nënkuptohet një vijë e drejtë që kalon nëpër të dy bazat e figurës.
Një cilindër është një trup stereometrik i kufizuar nga një sipërfaqe anësore e kryqëzuar dhe 2 plane paralele.

Ka lloje të ndryshme të kësaj figure tredimensionale:

Rrethi është një cilindër, udhëzuesi i të cilit është një rreth. Përbërësit kryesorë të tij janë rrezja e bazës dhe gjeneratori. Kjo e fundit është e barabartë me lartësinë e figurës.
Ka një cilindër të drejtë. Emrin e ka marrë për shkak të pingulitetit të gjeneratorit me bazat e figurës.
Lloji i tretë është një cilindër i pjerrët. Në tekstet shkollore, mund të gjeni edhe një emër tjetër për të - "cilindër rrethor me një bazë të pjerrët". Kjo shifër përcakton rrezen e bazës, lartësinë minimale dhe maksimale.
Një cilindër barabrinjës kuptohet si një trup që ka lartësi dhe diametër të barabartë të një rrafshi rrethor.

Simbolet

Tradicionalisht, "përbërësit" kryesorë të një cilindri quhen si më poshtë:

Rrezja e bazës është R (ajo gjithashtu zëvendëson të njëjtën vlerë të një figure stereometrike).
Gjenerative – L.
Lartësia – H.

Zona bazë - S_{baza (me fjalë të tjera, ju duhet të gjeni parametrin e specifikuar të rrethit).}

lartësitë e cilindrit të pjerrët – h₁, h_{2 (minimumi dhe maksimumi).}

Sipërfaqja anësore - S_{ana (nëse e zgjeroni, merrninjë lloj drejtkëndëshi).}
Vëllimi i një figure stereometrike - V.
Sipërfaqja totale – J.

"Përbërësit" e një figure stereometrike

Kur studiohet një cilindër, sipërfaqja anësore luan një rol të rëndësishëm. Kjo për faktin se kjo formulë përfshihet në disa të tjera, më komplekse. Prandaj, është e nevojshme të jeni njohës i mirë i teorisë.

Përbërësit kryesorë të figurës janë:

Sipërfaqja anësore. Siç e dini, ajo fitohet për shkak të lëvizjes së gjeneratorit përgjatë një kurbë të caktuar.
Sipërfaqja e plotë përfshin bazat ekzistuese dhe planin anësor.
Pjesa e një cilindri, si rregull, është një drejtkëndësh i vendosur paralel me boshtin e figurës. Përndryshe, quhet aeroplan. Rezulton se gjatësia dhe gjerësia janë komponentë me kohë të pjesshme të figurave të tjera. Pra, me kusht, gjatësitë e seksionit janë gjeneratorë. Gjerësia - korda paralele të një figure stereometrike.
Seksioni boshtor nënkupton vendndodhjen e aeroplanit nëpër qendër të trupit.
Dhe së fundi, përkufizimi përfundimtar. Një tangjente është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit të cilindrit dhe në kënd të drejtë me pjesën boshtore. Në këtë rast, duhet të plotësohet një kusht. Gjenerata e specifikuar duhet të përfshihet në rrafshin e seksionit boshtor.

Formulat bazë për të punuar me cilindër

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të gjendet sipërfaqja e një cilindri, është e nevojshme të studiohen "përbërësit" kryesorë të një figure stereometrike dhe formulat për gjetjen e tyre.

Këto formula ndryshojnë në atë që fillimisht jepen shprehjet për cilindrin e pjerrët dhe më pas për atë të drejtë.

Shembuj të dekonstruktuar

Detyra 1.

Është e nevojshme të dihet sipërfaqja e sipërfaqes anësore të cilindrit. Është dhënë diagonalja e seksionit AC=8 cm (për më tepër, është boshtore). Kur është në kontakt me gjeneratorin, rezulton _<ACD=30°

Vendim. Meqenëse vlerat e diagonales dhe këndit janë të njohura, atëherë në këtë rast:

CD=ACcos 30°

Koment. Trekëndëshi ACD, në këtë shembull të veçantë, është një trekëndësh kënddrejtë. Kjo do të thotë se herësi i pjesëtimit të CD dhe AC=kosinusi i këndit të dhënë. Vlera e funksioneve trigonometrike mund të gjendet në një tabelë të veçantë.

Ngjashëm, mund të gjeni vlerën e AD:

AD=ACsin 30°

formula për sipërfaqen anësore të një cilindri

Tani duhet të llogaritni rezultatin e dëshiruar duke përdorur formulimin e mëposhtëm: sipërfaqja e sipërfaqes anësore të cilindrit është e barabartë me dyfishin e rezultatit të shumëzimit të "pi", rrezes së figurës dhe lartësisë së saj. Duhet të përdoret gjithashtu një formulë tjetër: zona e bazës së cilindrit. Është e barabartë me rezultatin e shumëzimit të "pi" me katrorin e rrezes. Dhe së fundi, formula e fundit: sipërfaqja totale. Është e barabartë me shumën e dy zonave të mëparshme.

Detyra 2.

Jepen cilindra. Vëllimi i tyre=128n cm³. Cili cilindër ka më të voglinsipërfaqe e plotë?

Vendim. Së pari ju duhet të përdorni formulat për të gjetur vëllimin e një figure dhe lartësinë e saj.

Meqenëse sipërfaqja e përgjithshme e një cilindri dihet nga teoria, formula e tij duhet të zbatohet.

Nëse e konsiderojmë formulën që rezulton si funksion të sipërfaqes së cilindrit, atëherë "treguesi" minimal do të arrihet në pikën ekstreme. Për të marrë vlerën e fundit, duhet të përdorni diferencimin.

Formulat mund të shihen në një tabelë të veçantë për gjetjen e derivateve. Në të ardhmen, rezultati i gjetur barazohet me zero dhe gjendet zgjidhja e ekuacionit.

Përgjigje: S_{min do të arrihet në h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problemi 3.

Duke pasur parasysh një figurë stereometrike - një cilindër dhe një seksion. Kjo e fundit kryhet në atë mënyrë që të vendoset paralelisht me boshtin e trupit stereometrik. Cilindri ka parametrat e mëposhtëm: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Është e nevojshme të gjendet distanca midis seksionit dhe boshtit.

Vendim.

Meqenëse seksioni kryq i një cilindri kuptohet si VSCM, pra një drejtkëndësh, ana e tij VM=h. WMC duhet të merret parasysh. Trekëndëshi është drejtkëndor. Bazuar në këtë deklaratë, ne mund të nxjerrim supozimin e saktë se MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Nga këtu mund të konkludojmë se MK=BC=8 cm.

Hapi tjetër është të vizatoni një seksion përmes bazës së figurës. Është e nevojshme të merret parasysh rrafshi që rezulton.

AD – diametri i një figure stereometrike. Është paralel me seksionin e përmendur në deklaratën e problemit.

BC është një vijë e drejtë e vendosur në rrafshin e drejtkëndëshit ekzistues.

ABCD është një trapez. Në një rast të veçantë, ai konsiderohet izoscelor, pasi rreth tij përshkruhet një rreth.

Nëse gjeni lartësinë e trapezit që rezulton, mund të merrni përgjigjen e dhënë në fillim të problemit. Përkatësisht: gjetja e distancës ndërmjet boshtit dhe seksionit të vizatuar.

Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerat e AD dhe OS.

Përgjigje: seksioni ndodhet 3 cm nga boshti.

Probleme për konsolidimin e materialit

Shembull 1.

cilindri i dhënë. Sipërfaqja anësore përdoret në zgjidhjen e mëtejshme. Opsionet e tjera janë të njohura. Sipërfaqja e bazës është Q, zona e seksionit boshtor është M. Është e nevojshme të gjendet S. Me fjalë të tjera, sipërfaqja e përgjithshme e cilindrit.

Shembull 2.

cilindri i dhënë. Sipërfaqja anësore duhet të gjendet në një nga hapat e zgjidhjes së problemit. Dihet se lartësia=4 cm, rrezja=2 cm. Është e nevojshme të gjendet sipërfaqja totale e një figure stereometrike.