Sipërfaqja e një prizmi të drejtë: formula dhe një shembull i një problemi

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Vëllimi dhe sipërfaqja janë dy karakteristika të rëndësishme të çdo trupi që ka dimensione të fundme në hapësirën tredimensionale. Në këtë artikull, ne konsiderojmë një klasë të njohur të poliedrave - prizmave. Në veçanti, do të zbulohet pyetja se si të gjendet sipërfaqja e një prizmi të drejtë.

Çfarë është një prizëm?

Një prizëm është çdo shumëfaqësh që kufizohet nga disa paralelogramë dhe dy shumëkëndësha identikë të vendosur në plane paralele. Këta shumëkëndësha konsiderohen bazat e figurës dhe paralelogramet e saj janë brinjët. Numri i anëve (këndeve) të bazës përcakton emrin e figurës. Për shembull, figura më poshtë tregon një prizëm pesëkëndësh.

Distanca ndërmjet bazave quhet lartësia e figurës. Nëse lartësia është e barabartë me gjatësinë e çdo skaji anësor, atëherë një prizëm i tillë do të jetë i drejtë. Karakteristika e dytë e mjaftueshme për një prizëm të drejtë është se të gjitha anët e tij janë drejtkëndësha ose katrorë. Nëse, megjithatëNëse njëra anë është një paralelogram i përgjithshëm, atëherë figura do të jetë e prirur. Më poshtë mund të shihni se si prizmat e drejtë dhe të zhdrejtë ndryshojnë vizualisht në shembullin e figurave katërkëndore.

Sipërfaqja e një prizmi të drejtë

Nëse një figurë gjeometrike ka një bazë n-gonale, atëherë ajo përbëhet nga n+2 faqe, n prej të cilave janë drejtkëndësha. Le t'i shënojmë gjatësitë e brinjëve të bazës si a_i, ku i=1, 2, …, n, dhe të shënojmë lartësinë e figurës, e cila është e barabartë me gjatësinë e buzë anësore, si h. Për të përcaktuar sipërfaqen (S) të sipërfaqes së të gjitha faqeve, shtoni zonën S_{o të secilës prej bazave dhe të gjitha sipërfaqet e brinjëve (drejtkëndëshat). Kështu, formula për S në formën e përgjithshme mund të shkruhet si më poshtë:}

S=2S_o+ S_b

Ku S_{b është sipërfaqja anësore.}

Meqenëse baza e një prizmi të drejtë mund të jetë absolutisht çdo shumëkëndësh i sheshtë, atëherë nuk mund të jepet një formulë e vetme për llogaritjen e S_{o, dhe për të përcaktuar këtë vlerë, në përgjithësi rasti, duhet të bëhet analiza gjeometrike. Për shembull, nëse baza është një n-këndor i rregullt me anë a, atëherë sipërfaqja e tij llogaritet me formulën:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Për sa i përket vlerës së S_{b, mund të jepet shprehja për llogaritjen e saj. Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Dmth vleraS_{b llogaritet si prodhim i lartësisë së figurës dhe perimetrit të bazës së saj.}

Shembull i zgjidhjes së problemit

Le t'i zbatojmë njohuritë e marra për të zgjidhur problemin gjeometrik të mëposhtëm. Jepet një prizëm, baza e të cilit është një trekëndësh kënddrejtë me brinjë në një kënd të drejtë 5 cm dhe 7 cm. Lartësia e figurës është 10 cm. Është e nevojshme të gjendet sipërfaqja e një prizmi trekëndor të drejtë.

Së pari, le të llogarisim hipotenuzën e trekëndëshit. Do të jetë e barabartë me:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Tani le të bëjmë një tjetër operacion matematikor përgatitor - llogarisim perimetrin e bazës. Do të jetë:

P=5 + 7 + 8,6=20,6cm

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të figurës llogaritet si prodhim i vlerës P dhe lartësisë h=10 cm, pra S_b=206 cm ^2.

Për të gjetur sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes, vlerës së gjetur duhet t'i shtohen dy zona bazë. Meqenëse sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë përcaktohet nga gjysma e produktit të këmbëve, marrim:

2S_o=257/2=35cm²

Pastaj marrim se sipërfaqja e një prizmi trekëndor të drejtë është 35 + 206=241 cm2.