Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt katërkëndore: formula dhe shembuj të problemeve

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Problemet tipike gjeometrike në rrafsh dhe në hapësirën tredimensionale janë problemet e përcaktimit të sipërfaqeve të formave të ndryshme. Në këtë artikull, ne paraqesim formulën për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt katërkëndore.

Çfarë është një piramidë?

Le të japim një përkufizim të rreptë gjeometrik të një piramide. Supozoni se ka një shumëkëndësh me n anë dhe n qoshe. Ne zgjedhim një pikë arbitrare në hapësirë që nuk do të jetë në rrafshin e këndit n të specifikuar dhe e lidhim atë me secilën kulm të shumëkëndëshit. Do të marrim një figurë që ka një vëllim, e cila quhet piramidë n-gonale. Për shembull, le të tregojmë në figurën më poshtë se si duket një piramidë pesëkëndore.

Dy elementë të rëndësishëm të çdo piramide janë baza e saj (n-gon) dhe maja. Këta elementë lidhen me njëri-tjetrin me n trekëndësha, të cilët në përgjithësi nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Perpendikular i rënë nganga lart poshtë quhet lartësia e figurës. Nëse kryqëzon bazën në qendrën gjeometrike (përkon me qendrën e masës së poligonit), atëherë një piramidë e tillë quhet vijë e drejtë. Nëse, përveç kësaj gjendjeje, baza është një shumëkëndësh i rregullt, atëherë e gjithë piramida quhet e rregullt. Figura më poshtë tregon se si duken piramidat e rregullta me baza trekëndore, katërkëndore, pesëkëndëshe dhe gjashtëkëndore.

Sipërfaqja piramidale

Para se t'i drejtohemi çështjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt katërkëndore, duhet të ndalemi në konceptin e vetë sipërfaqes.

Siç u përmend më lart dhe tregohet në figura, çdo piramidë formohet nga një grup fytyrash ose anash. Njëra anë është baza dhe n anët janë trekëndësha. Sipërfaqja e të gjithë figurës është shuma e sipërfaqeve të secilës anë të saj.

Është i përshtatshëm për të studiuar sipërfaqen në shembullin e një figure që shpaloset. Një skanim për një piramidë të rregullt katërkëndore është paraqitur në figurat e mëposhtme.

Ne shohim se sipërfaqja e saj është e barabartë me shumën e katër zonave të trekëndëshave identikë dykëndësh dhe sipërfaqen e një katrori.

Sipërfaqja totale e të gjithë trekëndëshave që formojnë brinjët e figurës quhet sipërfaqja e sipërfaqes anësore. Më pas, do të tregojmë se si ta llogarisim atë për një piramidë të rregullt katërkëndore.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt katërkëndore

Për të llogaritur sipërfaqen e anëssipërfaqen e figurës së specifikuar, ne i drejtohemi përsëri skanimit të mësipërm. Supozoni se e dimë anën e bazës katrore. Le ta shënojmë me simbolin a. Mund të shihet se secili nga katër trekëndëshat identikë ka një bazë me gjatësi a. Për të llogaritur sipërfaqen e tyre totale, duhet ta dini këtë vlerë për një trekëndësh. Nga kursi i gjeometrisë dihet se sipërfaqja e një trekëndëshi S_{t është e barabartë me prodhimin e bazës dhe lartësisë, e cila duhet të ndahet në gjysmë. Kjo është:}

S_t=1/2h_ba.

Ku h_b është lartësia e një trekëndëshi dykëndësh të tërhequr në bazën a. Për një piramidë, kjo lartësi është apotema. Tani mbetet të shumëzojmë shprehjen që rezulton me 4 për të marrë sipërfaqen S_{b të sipërfaqes anësore për piramidën në fjalë:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Kjo formulë përmban dy parametra: apotemën dhe anën e bazës. Nëse kjo e fundit njihet në shumicën e kushteve të problemeve, atëherë e para duhet të llogaritet duke ditur sasi të tjera. Këtu janë formulat për llogaritjen e apotemës h_{b për dy raste:}

• kur dihet gjatësia e brinjës anësore;
• kur dihet lartësia e piramidës.

Nëse shënojmë gjatësinë e skajit anësor (anën e një trekëndëshi dykëndësh) me simbolin L, atëherë apotema h_{b përcaktohet me formulën:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Kjo shprehje është rezultat i aplikimit të teoremës së Pitagorës për trekëndëshin e sipërfaqes anësore.

Nëse dihetlartësia h e piramidës, atëherë apotema h_{b mund të llogaritet si më poshtë:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Përftimi i kësaj shprehjeje gjithashtu nuk është i vështirë nëse marrim parasysh brenda piramidës një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga këmbët h dhe a/2 dhe hipotenuza h_b.

Le të tregojmë se si t'i zbatojmë këto formula duke zgjidhur dy probleme interesante.

Problem me sipërfaqen e njohur

Dihet se sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt katërkëndore është 108 cm². Është e nevojshme të llogaritet vlera e gjatësisë së apotemës së saj h_{b, nëse lartësia e piramidës është 7 cm.}

Le të shkruajmë formulën për sipërfaqen S_{b të sipërfaqes anësore përgjatë lartësisë. Ne kemi:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Këtu sapo zëvendësuam formulën përkatëse të apotemës në shprehjen për S_{b. Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Për të gjetur vlerën e a, le të bëjmë një ndryshim të variablave:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Tani zëvendësojmë vlerat e njohura dhe zgjidhim ekuacionin kuadratik:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Kemi shkruar vetëm rrënjën pozitive të këtij ekuacioni. Atëherë anët e bazës së piramidës do të jenë:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Për të marrë gjatësinë e apotemës,thjesht përdorni formulën:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 shih}

Sipërfaqja anësore e piramidës së Keopsit

Përcaktoni vlerën e sipërfaqes anësore për piramidën më të madhe egjiptiane. Dihet se në bazën e tij shtrihet një katror me gjatësi anësore 230.363 metra. Lartësia e strukturës fillimisht ishte 146.5 metra. Zëvendësojmë këta numra në formulën përkatëse për S_{b, marrim:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Vlera e gjetur është pak më e madhe se sipërfaqja e 17 fushave të futbollit.