Vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndore. Formula dhe shembuj të detyrave

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Kur studioni absolutisht çdo figurë hapësinore, është e rëndësishme të dini se si të llogaritni vëllimin e saj. Ky artikull ofron një formulë për vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore, dhe gjithashtu tregon se si duhet përdorur kjo formulë duke përdorur një shembull të zgjidhjes së problemeve.

Për cilën piramidë po flasim?

Çdo nxënës i shkollës së mesme e di se një piramidë është një shumëkëndësh i përbërë nga trekëndësha dhe një shumëkëndësh. Kjo e fundit është baza e figurës. Trekëndëshat kanë një anë të përbashkët me bazën dhe kryqëzohen në një pikë të vetme, e cila është maja e piramidës.

Çdo piramidë karakterizohet nga gjatësia e anëve të bazës, gjatësia e skajeve anësore dhe lartësia. Ky i fundit është një segment pingul, i ulur në bazë nga maja e figurës.

Një piramidë e rregullt katërkëndore është një figurë me bazë katrore, lartësia e së cilës kryqëzon këtë katror në qendër të saj. Ndoshta shembulli më i famshëm i këtij lloji të piramidave janë strukturat e lashta egjiptiane prej guri. Më poshtë është një fotopiramidat e Keopsit.

Figura në studim ka pesë faqe, katër prej të cilave janë trekëndësha identikë dykëndësh. Karakterizohet gjithashtu nga pesë kulme, katër prej të cilave i përkasin bazës dhe tetë skajet (4 skajet e bazës dhe 4 skajet e faqeve anësore).

Formula për vëllimin e një piramide katërkëndore është e saktë

Vëllimi i figurës në fjalë është një pjesë e hapësirës që kufizohet me pesë anë. Për të llogaritur këtë vëllim, ne përdorim varësinë e mëposhtme të sipërfaqes së një fete paralele me bazën e piramidës S_z nga koordinata vertikale z:

S_z=S_o (h - z/h)²

Këtu S_o është sipërfaqja e bazës katrore. Nëse zëvendësojmë z=h në shprehjen e shkruar, atëherë do të marrim një vlerë zero për S_z. Kjo vlerë e z korrespondon me një fetë që do të përmbajë vetëm majën e piramidës. Nëse z=0, atëherë marrim vlerën e zonës bazë S_o.

Është e lehtë të gjesh vëllimin e një piramide nëse e njeh funksionin S_z(z), për këtë mjafton ta presësh figurën në një numër të pafund. shtresa paralele me bazën, dhe më pas kryeni operacionin e integrimit. Unë ndjek këtë teknikë, marrim:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Sepse S₀ ështësipërfaqja e bazës katrore, atëherë, duke treguar anën e katrorit me shkronjën a, marrim formulën për vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore:

V=1/3a²h.

Tani le të përdorim shembuj të zgjidhjes së problemit për të treguar se si duhet të zbatohet kjo shprehje.

Problemi i përcaktimit të vëllimit të një piramide përmes apotemës dhe skajit të saj anësor

Apotema e një piramide është lartësia e trekëndëshit të saj anësor, i cili ulet në anën e bazës. Meqenëse të gjithë trekëndëshat janë të barabartë në një piramidë të rregullt, apotemat e tyre do të jenë gjithashtu të njëjta. Le ta shënojmë gjatësinë e tij me simbolin h_b. Shënoni skajin anësor si b.

Duke ditur që apotema e piramidës është 12 cm dhe buza anësore e saj është 15 cm, gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore.

Formula për vëllimin e figurës e shkruar në paragrafin e mëparshëm përmban dy parametra: gjatësia e anës a dhe lartësia h. Për momentin, ne nuk njohim asnjë prej tyre, ndaj le t'i hedhim një sy llogaritjeve të tyre.

Gjatësia e brinjës së katrorit a është e lehtë për t'u llogaritur nëse përdorni teoremën e Pitagorës për një trekëndësh kënddrejtë, në të cilin hipotenuza është skaji b dhe këmbët janë apotema h _b dhe gjysma e anës së bazës a/2. Ne marrim:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Duke zëvendësuar vlerat e njohura nga kushti, marrim vlerën a=18 cm.

Për të llogaritur lartësinë h të piramidës, mund të bëni dy gjëra: merrni parasysh një drejtkëndëshnjë trekëndësh me një buzë hipotenuzë-anësore ose me një hipotenuzë-apotemë. Të dyja metodat janë të barabarta dhe përfshijnë kryerjen e të njëjtit numër veprimesh matematikore. Le të ndalemi në shqyrtimin e një trekëndëshi, ku hipotenuza është apotema h_b. Këmbët në të do të jenë h dhe a / 2. Pastaj marrim:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 cm.

Tani mund të përdorni formulën për vëllimin V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 cm ³.

Kështu, vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndëshe është afërsisht 0,86 litra.

Vëllimi i piramidës së Keopsit

Tani le të zgjidhim një problem interesant dhe praktikisht të rëndësishëm: të gjejmë vëllimin e piramidës më të madhe në Giza. Nga literatura dihet se lartësia fillestare e ndërtesës ishte 146.5 metra, dhe gjatësia e bazës së saj është 230.363 metra. Këta numra na lejojnë të zbatojmë formulën për të llogaritur V. Ne marrim:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Vlera që rezulton është pothuajse 2,6 milionë m³. Ky vëllim korrespondon me vëllimin e një kubi, ana e të cilit është 137,4 metra.