Trekëndësh, katror, gjashtëkëndësh - këto figura janë të njohura për pothuajse të gjithë. Por jo të gjithë e dinë se çfarë është një shumëkëndësh i rregullt. Por këto janë të gjitha të njëjtat forma gjeometrike. Një shumëkëndësh i rregullt është ai që ka kënde dhe brinjë të barabarta. Ka shumë shifra të tilla, por të gjitha kanë të njëjtat veti dhe për to zbatohen të njëjtat formula.
Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt
Çdo shumëkëndësh i rregullt, qoftë katror apo tetëkëndësh, mund të brendashkrohet në një rreth. Kjo veti bazë përdoret shpesh kur ndërtohet një figurë. Përveç kësaj, një rreth mund të futet gjithashtu në një shumëkëndësh. Në këtë rast, numri i pikave të kontaktit do të jetë i barabartë me numrin e anëve të tij. Është e rëndësishme që një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh të rregullt të ketë një qendër të përbashkët me të. Këto figura gjeometrike i nënshtrohen të njëjtave teorema. Çdo anëi një n-gon i rregullt lidhet me rrezen R të rrethit të rrethuar rreth tij, prandaj mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme: a=2R ∙ sin180°. Përmes rrezes së rrethit, ju mund të gjeni jo vetëm anët, por edhe perimetrin e shumëkëndëshit.
Si të gjeni numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt
Çdo n-gon i rregullt përbëhet nga një numër i caktuar segmentesh të barabartë me njëri-tjetrin, të cilët, kur lidhen, formojnë një vijë të mbyllur. Në këtë rast, të gjitha qoshet e figurës së formuar kanë të njëjtën vlerë. Shumëkëndëshat ndahen në të thjeshtë dhe të ndërlikuar. Grupi i parë përfshin një trekëndësh dhe një katror. Shumëkëndëshat kompleksë kanë më shumë anë. Ato përfshijnë gjithashtu figura në formë ylli. Për shumëkëndëshat e rregullt kompleks, anët gjenden duke i shkruar ato në një rreth. Le të japim një provë. Vizatoni një shumëkëndësh të rregullt me një numër arbitrar brinjësh n. Përshkruani një rreth rreth tij. Specifikoni rrezen R. Tani imagjinoni që është dhënë një n-gon. Nëse pikat e këndeve të tij shtrihen në një rreth dhe janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë brinjët mund të gjenden me formulën: a=2R ∙ sinα: 2.
Gjetja e numrit të brinjëve të një trekëndëshi të rregullt të brendashkruar
Një trekëndësh barabrinjës është një shumëkëndësh i rregullt. Për të zbatohen të njëjtat formula si për katrorin dhe këndin n. Një trekëndësh do të konsiderohet i saktë nëse ka brinjë të njëjtën gjatësi. Në këtë rast, këndet janë 60⁰. Ndërtoni një trekëndësh me gjatësinë e dhënë të brinjës a. Duke ditur mesataren dhe lartësinë e saj,ju mund të gjeni vlerën e anëve të saj. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim metodën e gjetjes përmes formulës a \u003d x: cosα, ku x është mesatarja ose lartësia. Meqenëse të gjitha anët e trekëndëshit janë të barabarta, marrim a=b=c. Atëherë pohimi i mëposhtëm do të jetë i vërtetë a=b=c=x: cosα. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni vlerën e brinjëve në një trekëndësh dykëndësh, por x do të jetë lartësia e dhënë. Në të njëjtën kohë, ajo duhet të projektohet në mënyrë rigoroze në bazën e figurës. Pra, duke ditur lartësinë x, gjejmë anën a të një trekëndëshi dykëndësh duke përdorur formulën a \u003d b \u003d x: cosα. Pasi të gjeni vlerën e a, mund të llogarisni gjatësinë e bazës c. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës. Do të kërkojmë vlerën e gjysmës së bazës c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Atëherë c=2xtanα. Këtu është një mënyrë e thjeshtë për të gjetur numrin e brinjëve të çdo shumëkëndëshi të brendashkruar.
Llogaritni brinjët e një katrori të brendashkruar në një rreth
Ashtu si çdo shumëkëndësh tjetër i rregullt i brendashkruar, një katror ka brinjë dhe kënde të barabarta. Për të zbatohen të njëjtat formula si për trekëndëshin. Ju mund të llogaritni anët e një katrori duke përdorur vlerën e diagonales. Le ta shqyrtojmë këtë metodë në më shumë detaje. Dihet se diagonalja e përgjysmon këndin. Fillimisht, vlera e saj ishte 90 gradë. Kështu, pas ndarjes, formohen dy trekëndësha kënddrejtë. Këndet e bazës së tyre do të jenë 45 gradë. Prandaj, secila anë e sheshit do të jetë e barabartë, domethënë: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ku e është diagonalja e katrorit, ose baza e trekëndëshi kënddrejtë i formuar pas pjesëtimit. Nuk është e vetmja mënyrëgjetja e brinjëve të një katrori. Le ta shkruajmë këtë figurë në një rreth. Duke ditur rrezen e këtij rrethi R, gjejmë anën e katrorit. Do ta llogarisim si më poshtë a4=R√2. Rrezet e shumëkëndëshave të rregullt llogariten me formulën R=a: 2tg (360o: 2n), ku a është gjatësia e anës.
Si të llogarisni perimetrin e një n-gon
Perimetri i një n-këndëshi është shuma e të gjitha anëve të tij. Është e lehtë për ta llogaritur atë. Për ta bërë këtë, duhet të dini vlerat e të gjitha palëve. Për disa lloje poligonesh, ekzistojnë formula të veçanta. Ato ju lejojnë të gjeni perimetrin shumë më shpejt. Dihet se çdo shumëkëndësh i rregullt ka brinjë të barabarta. Prandaj, për të llogaritur perimetrin e tij, mjafton të dihet të paktën një prej tyre. Formula do të varet nga numri i anëve të figurës. Në përgjithësi, duket kështu: P \u003d an, ku a është vlera e anës, dhe n është numri i këndeve. Për shembull, për të gjetur perimetrin e një tetëkëndëshi të rregullt me anë 3 cm, duhet ta shumëzoni me 8, domethënë P=3 ∙ 8=24 cm. Për një gjashtëkëndësh me anë 5 cm, ne llogarisim si më poshtë: P=5 ∙ 6=30 cm Dhe kështu për çdo shumëkëndësh.
Gjetja e perimetrit të një paralelogrami, një katrori dhe një rombi
Në varësi të sa brinjë ka një shumëkëndësh i rregullt, llogaritet perimetri i tij. Kjo e bën detyrën shumë më të lehtë. Në të vërtetë, ndryshe nga figurat e tjera, në këtë rast nuk është e nevojshme të kërkohen të gjitha anët e saj, mjafton vetëm një. Me të njëjtin parim, ne gjejmë perimetrin nëkatërkëndësha, pra një katror dhe një romb. Pavarësisht se këto janë figura të ndryshme, formula për to është e njëjtë P=4a, ku a është ana. Le të marrim një shembull. Nëse ana e një rombi ose katrori është 6 cm, atëherë gjejmë perimetrin si më poshtë: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Një paralelogram ka vetëm anët e kundërta. Prandaj, perimetri i tij gjendet duke përdorur një metodë tjetër. Pra, duhet të dimë gjatësinë a dhe gjerësinë b të figurës. Pastaj aplikojmë formulën P=(a + c) ∙ 2. Një paralelogram, në të cilin të gjitha brinjët dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabarta, quhet romb.
Gjetja e perimetrit të një trekëndëshi barabrinjës dhe kënddrejtë
Perimetri i një trekëndëshi të rregullt barabrinjës mund të gjendet me formulën P=3a, ku a është gjatësia e brinjës. Nëse është e panjohur, mund të gjendet përmes mesatares. Në një trekëndësh kënddrejtë, vetëm dy brinjë janë të barabarta. Baza mund të gjendet përmes teoremës së Pitagorës. Pasi të bëhen të njohura vlerat e të tre anëve, llogarisim perimetrin. Mund të gjendet duke aplikuar formulën P \u003d a + b + c, ku a dhe b janë anët e barabarta, dhe c është baza. Kujtoni se në një trekëndësh izoscelular një \u003d b \u003d a, pra, a + b \u003d 2a, pastaj P \u003d 2a + c. Për shembull, brinja e një trekëndëshi dykëndësh është 4 cm, gjeni bazën dhe perimetrin e tij. Ne llogarisim vlerën e hipotenuzës duke përdorur teoremën e Pitagorës c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Tani ne llogarisim perimetrin Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Si të gjeni qoshet e një shumëkëndëshi të rregullt
Poligoni i rregulltndodh në jetën tonë çdo ditë, për shembull, një katror, trekëndësh, tetëkëndësh i zakonshëm. Duket se nuk ka asgjë më të lehtë sesa ta ndërtoni vetë këtë figurë. Por kjo është vetëm në shikim të parë. Për të ndërtuar ndonjë n-gon, duhet të dini vlerën e këndeve të tij. Por si i gjeni ato? Edhe shkencëtarët e antikitetit u përpoqën të ndërtonin poligone të rregullta. Ata menduan t'i vendosnin në rrathë. Dhe pastaj pikat e nevojshme u shënuan në të, të lidhura me vija të drejta. Për shifra të thjeshta, problemi i ndërtimit është zgjidhur. Janë marrë formula dhe teorema. Për shembull, Euklidi në veprën e tij të famshme "Fillimi" ishte i angazhuar në zgjidhjen e problemeve për 3-, 4-, 5-, 6- dhe 15-gons. Ai gjeti mënyra për t'i ndërtuar ato dhe për të gjetur kënde. Le të shohim se si ta bëjmë këtë për një 15-gon. Së pari ju duhet të llogarisni shumën e këndeve të tij të brendshme. Është e nevojshme të përdoret formula S=180⁰(n-2). Pra, na jepet një 15-gon, që do të thotë se numri n është 15. Të dhënat që dimë i zëvendësojmë në formulë dhe marrim S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Ne kemi gjetur shumën e të gjitha këndeve të brendshme të një 15-gon. Tani duhet të marrim vlerën e secilit prej tyre. Janë gjithsej 15 kënde. Bëjmë llogaritjen 2340⁰: 15=156⁰. Kjo do të thotë që çdo kënd i brendshëm është 156⁰, tani duke përdorur një vizore dhe një busull, mund të ndërtoni një 15-gon të rregullt. Por çfarë ndodh me n-gonet më komplekse? Për shekuj me radhë, shkencëtarët kanë luftuar për të zgjidhur këtë problem. Ajo u gjet vetëm në shekullin e 18-të nga Carl Friedrich Gauss. Ai ishte në gjendje të ndërtonte një 65537-gon. Që atëherë, problemi zyrtarisht konsiderohet i zgjidhur plotësisht.
Llogaritja e këndeve të n-këndëshavenë radiane
Sigurisht, ka disa mënyra për të gjetur qoshet e shumëkëndëshave. Më shpesh ato llogariten në gradë. Por ju mund t'i shprehni ato edhe në radianë. Si ta bëjmë atë? Është e nevojshme të veprohet si më poshtë. Së pari, zbulojmë numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt, pastaj i zbresim 2. Pra, marrim vlerën: n - 2. Shumëzojmë ndryshimin e gjetur me numrin n (“pi”=3, 14). Tani mbetet vetëm të ndajmë produktin që rezulton me numrin e këndeve në n-gon. Konsideroni këto llogaritje duke përdorur shembullin e të njëjtës pesëmbëdhjetë anë. Pra, numri n është 15. Zbato formulën S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Kjo, sigurisht, nuk është mënyra e vetme për të llogaritur këndin në radianë. Ju thjesht mund ta ndani madhësinë e këndit në gradë me numrin 57, 3. Në fund të fundit, ato shumë gradë janë ekuivalente me një radian.
Llogaritni vlerën e këndeve në gradë
Përveç gradëve dhe radianeve, mund të provoni të gjeni vlerën e këndeve të një shumëkëndëshi të rregullt në shkallë. Kjo bëhet në mënyrën e mëposhtme. Zbrisni 2 nga numri i përgjithshëm i këndeve, pjesëtoni ndryshimin që rezulton me numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt. Ne e shumëzojmë rezultatin e gjetur me 200. Meqë ra fjala, një njësi e tillë matëse e këndeve si breshëri praktikisht nuk përdoret.
Llogaritja e këndeve të jashtme të n-këndëshave
Për çdo shumëkëndësh të rregullt, përveç atij të brendshëm, mund të llogaritni edhe këndin e jashtëm. Vlera e tij gjendet në të njëjtën mënyrë si për figurat e tjera. Pra, për të gjetur këndin e jashtëm të një shumëkëndëshi të rregullt, ju duhetdi kuptimin e së brendshmes. Më tej, ne e dimë se shuma e këtyre dy këndeve është gjithmonë 180 gradë. Prandaj, ne i bëjmë llogaritjet si më poshtë: 180⁰ minus vlerën e këndit të brendshëm. Ne gjejmë ndryshimin. Do të jetë e barabartë me vlerën e këndit ngjitur me të. Për shembull, këndi i brendshëm i një katrori është 90 gradë, kështu që këndi i jashtëm do të jetë 180⁰ - 90⁰=90⁰. Siç mund ta shohim, nuk është e vështirë ta gjesh atë. Këndi i jashtëm mund të marrë një vlerë nga +180⁰ në -180⁰, përkatësisht.
