Këto forma gjeometrike na rrethojnë kudo. Shumëkëndëshat konveks mund të jenë të natyrshëm, të tillë si një huall mj alti, ose artificial (të krijuar nga njeriu). Këto figura përdoren në prodhimin e llojeve të ndryshme të veshjeve, në pikturë, arkitekturë, dekorime etj. Shumëkëndëshat konveks kanë vetinë që të gjitha pikat e tyre të jenë në të njëjtën anë të një vije të drejtë që kalon nëpër një çift kulmesh ngjitur të kësaj figure gjeometrike. Ka edhe përkufizime të tjera. Një shumëkëndësh quhet konveks nëse ndodhet në një gjysmërrafsh të vetëm në lidhje me çdo drejtëz që përmban njërën nga anët e tij.
Poligona konveks
Në rrjedhën e gjeometrisë elementare, gjithmonë merren parasysh vetëm shumëkëndëshat e thjeshtë. Për të kuptuar të gjitha vetitë e të tillaforma gjeometrike, është e nevojshme të kuptohet natyra e tyre. Për të filluar, duhet të kuptohet se çdo linjë quhet e mbyllur, skajet e së cilës përkojnë. Për më tepër, figura e formuar prej saj mund të ketë një sërë konfigurimesh. Një shumëkëndësh është një vijë e thjeshtë e mbyllur e thyer, në të cilën lidhjet fqinje nuk janë të vendosura në të njëjtën vijë të drejtë. Lidhjet dhe kulmet e saj janë përkatësisht anët dhe kulmet e kësaj figure gjeometrike. Një shumëvijë e thjeshtë nuk duhet të ketë vetëkryqëzime.
Kulat e një shumëkëndëshi quhen fqinjë nëse përfaqësojnë skajet e njërës anë të tij. Një figurë gjeometrike që ka numrin e n-të të kulmeve, dhe rrjedhimisht numrin e n-të të brinjëve, quhet n-gon. Vetë vija e thyer quhet kufiri ose kontura e kësaj figure gjeometrike. Një rrafsh shumëkëndësh ose një shumëkëndësh i sheshtë quhet pjesa fundore e çdo rrafshi të kufizuar prej tij. Anët ngjitur të kësaj figure gjeometrike quhen segmente të një vije të thyer që buron nga një kulm. Ato nuk do të jenë të afërta nëse vijnë nga kulme të ndryshme të shumëkëndëshit.
Përkufizime të tjera të shumëkëndëshave konveks
Në gjeometrinë elementare, ka disa përkufizime të tjera ekuivalente që tregojnë se cili shumëkëndësh quhet konveks. Të gjitha këto deklarata janë po aq të vërteta. Një shumëkëndësh konsiderohet konveks nëse:
• çdo segment që lidh dy pika brenda tij shtrihet tërësisht brenda tij;
• brenda tijtë gjitha diagonalet e tij qëndrojnë;
• çdo kënd i brendshëm nuk i kalon 180°.
Një shumëkëndësh e ndan gjithmonë një plan në 2 pjesë. Njëra prej tyre është e kufizuar (mund të mbyllet në një rreth), dhe tjetra është e pakufizuar. E para quhet rajoni i brendshëm, dhe i dyti është rajoni i jashtëm i kësaj figure gjeometrike. Ky poligon është një kryqëzim (me fjalë të tjera, një përbërës i përbashkët) i disa gjysmërrafsheve. Për më tepër, çdo segment që përfundon në pika që i përkasin poligonit i përket plotësisht atij.
Llojet e shumëkëndëshave konveks
Përkufizimi i një shumëkëndëshi konveks nuk tregon se ka shumë lloje të tyre. Dhe secila prej tyre ka kritere të caktuara. Pra, shumëkëndëshat konveks që kanë një kënd të brendshëm prej 180° quhen konveks të dobët. Një figurë gjeometrike konvekse që ka tre kulme quhet trekëndësh, katër - katërkëndësh, pesë - pesëkëndësh, etj. Secili nga n-këndëshat konveks plotëson kërkesat thelbësore të mëposhtme: n duhet të jetë i barabartë ose më i madh se 3. Secili prej trekëndëshat janë konveks. Një figurë gjeometrike e këtij lloji, në të cilën të gjitha kulmet janë të vendosura në të njëjtin rreth, quhet e gdhendur në një rreth. Një shumëkëndësh konveks quhet i rrethuar nëse të gjitha anët e tij pranë rrethit e prekin atë. Dy shumëkëndësha thuhet se janë të barabartë vetëm nëse mund të mbivendosen me mbivendosje. Një shumëkëndësh i rrafshët quhet rrafsh poligonal.(pjesë e aeroplanit), e cila kufizohet nga kjo figurë gjeometrike.
Poligona të rregullta konveks
Poligonët e rregullt janë forma gjeometrike me kënde dhe brinjë të barabarta. Brenda tyre ka një pikë 0, e cila është në të njëjtën distancë nga çdo kulm i saj. Quhet qendra e kësaj figure gjeometrike. Segmentet që lidhin qendrën me kulmet e kësaj figure gjeometrike quhen apotema, kurse ato që lidhin pikën 0 me brinjët quhen rreze.
Një katërkëndësh i rregullt është një katror. Një trekëndësh barabrinjës quhet trekëndësh barabrinjës. Për figura të tilla, ekziston rregulli i mëposhtëm: çdo cep i një shumëkëndëshi konveks është 180°(n-2)/ n, ku n është numri i kulmeve të kësaj figure gjeometrike konvekse.
Sipërfaqja e çdo shumëkëndëshi të rregullt përcaktohet nga formula:
S=ph, ku p është gjysma e shumës së të gjitha anëve të shumëkëndëshit të dhënë dhe h është gjatësia e apotemës.
Vetitë e shumëkëndëshave konveks
Poligonat konveks kanë veti të caktuara. Pra, një segment që lidh çdo 2 pikë të një figure të tillë gjeometrike është domosdoshmërisht i vendosur në të. Prova:
Supozojmë se P është një shumëkëndësh i dhënë konveks. Marrim 2 pika arbitrare, për shembull, A, B, të cilat i përkasin P. Sipas përkufizimit ekzistues të një poligoni konveks, këto pika janë të vendosura në të njëjtën anë të vijës, e cila përmban çdo anë të P. Prandaj, edhe AB e ka këtë veti dhe përmbahet në P. Një shumëkëndësh konveks mund të ndahet gjithmonë në disa trekëndësha nga absolutisht të gjitha diagonalet e nxjerra nga një nga kulmet e tij.
Këndet e formave gjeometrike konveks
Këndet e një shumëkëndëshi konveks janë qoshet e formuara nga anët e tij. Qoshet e brendshme janë të vendosura në rajonin e brendshëm të një figure të caktuar gjeometrike. Këndi që formohet nga brinjët e tij që konvergojnë në një kulm quhet kënd i një shumëkëndëshi konveks. Këndet ngjitur me këndet e brendshme të një figure të caktuar gjeometrike quhen të jashtëm. Çdo cep i një shumëkëndëshi konveks i vendosur brenda tij është:
180° - x, ku x është vlera e këndit të jashtëm. Kjo formulë e thjeshtë funksionon për çdo formë gjeometrike të këtij lloji.
Në përgjithësi, për qoshet e jashtme ekziston rregulli i mëposhtëm: çdo kënd i një shumëkëndëshi konveks është i barabartë me diferencën midis 180° dhe vlerës së këndit të brendshëm. Mund të ketë vlera që variojnë nga -180° deri në 180°. Prandaj, kur këndi i brendshëm është 120°, këndi i jashtëm do të jetë 60°.
Shuma e këndeve të shumëkëndëshave konveks
Shuma e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi konveks përcaktohet me formulën:
180°(n-2), ku n është numri i kulmeve të këndit n.
Shuma e këndeve të një shumëkëndëshi konveks është mjaft e lehtë për t'u llogaritur. Konsideroni ndonjë figurë të tillë gjeometrike. Për të përcaktuar shumën e këndeve brenda një shumëkëndëshi konveks, është e nevojshmelidh njërën nga kulmet e saj me kulmet e tjera. Si rezultat i këtij veprimi fitohen (n-2) trekëndësha. Ne e dimë se shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është gjithmonë 180°. Meqenëse numri i tyre në çdo shumëkëndësh është (n-2), shuma e këndeve të brendshme të një figure të tillë është 180° x (n-2).
Shuma e këndeve të një shumëkëndëshi konveks, përkatësisht çdo dy këndesh të jashtëm të brendshëm dhe të afërt, për një figurë gjeometrike konvekse të caktuar do të jetë gjithmonë e barabartë me 180°. Bazuar në këtë, ju mund të përcaktoni shumën e të gjitha këndeve të tij:
180 x n.
Shuma e këndeve të brendshme është 180°(n-2). Bazuar në këtë, shuma e të gjitha qosheve të jashtme të kësaj figure përcaktohet me formulën:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Shuma e këndeve të jashtme të çdo shumëkëndëshi konveks do të jetë gjithmonë 360° (pavarësisht nga numri i brinjëve).
Këndi i jashtëm i një shumëkëndëshi konveks përfaqësohet përgjithësisht nga diferenca midis 180° dhe vlerës së këndit të brendshëm.
Veçori të tjera të një shumëkëndëshi konveks
Përveç vetive themelore të këtyre formave gjeometrike, ato kanë të tjera që lindin gjatë manipulimit të tyre. Pra, çdo shumëkëndësh mund të ndahet në disa n-këndësha konveks. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të vazhdoni secilën nga anët e saj dhe të prisni këtë figurë gjeometrike përgjatë këtyre vijave të drejta. Është gjithashtu e mundur të ndahet çdo shumëkëndësh në disa pjesë konvekse në atë mënyrë që kulmet e secilës prej pjesëve të përkojnë me të gjitha kulmet e saj. Nga një figurë e tillë gjeometrike, trekëndëshat mund të bëhen shumë thjesht duke vizatuar të gjithëdiagonale nga një kulm. Kështu, çdo shumëkëndësh mund të ndahet përfundimisht në një numër të caktuar trekëndëshash, gjë që rezulton të jetë shumë e dobishme në zgjidhjen e problemeve të ndryshme që lidhen me forma të tilla gjeometrike.
Perimetri i një shumëkëndëshi konveks
Segmentet e një vije të thyer, të quajtur anët e një shumëkëndëshi, më së shpeshti shënohen me shkronjat e mëposhtme: ab, bc, cd, de, ea. Këto janë brinjët e një figure gjeometrike me kulme a, b, c, d, e. Shuma e gjatësive të të gjitha anëve të këtij shumëkëndëshi konveks quhet perimetri i tij.
Përimetri i shumëkëndëshit
Poligonat konveks mund të brendashkruhen dhe të rrethohen. Një rreth që prek të gjitha anët e kësaj figure gjeometrike quhet i gdhendur në të. Një shumëkëndësh i tillë quhet i kufizuar. Qendra e një rrethi që është brendashkruar në një shumëkëndësh është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të të gjitha këndeve brenda një figure të caktuar gjeometrike. Sipërfaqja e një poligoni të tillë është:
S=pr, ku r është rrezja e rrethit të brendashkruar dhe p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit të dhënë.
Një rreth që përmban kulmet e një shumëkëndëshi quhet i rrethuar rreth tij. Për më tepër, kjo figurë gjeometrike konvekse quhet e mbishkruar. Qendra e rrethit, e cila është e rrethuar rreth një shumëkëndëshi të tillë, është pika e kryqëzimit të të ashtuquajturave përgjysmues pingulë të të gjitha anëve.
Diagonalet e formave gjeometrike konveks
Diagonalet e një shumëkëndëshi konveks janë segmente qëlidh kulmet jo ngjitur. Secila prej tyre shtrihet brenda kësaj figure gjeometrike. Numri i diagonaleve të një n-këndëshi të tillë përcaktohet nga formula:
N=n (n – 3)/ 2.
Numri i diagonaleve të një shumëkëndëshi konveks luan një rol të rëndësishëm në gjeometrinë elementare. Numri i trekëndëshave (K) në të cilët është e mundur të ndahet çdo shumëkëndësh konveks llogaritet me formulën e mëposhtme:
K=n – 2.
Numri i diagonaleve të një shumëkëndëshi konveks varet gjithmonë nga numri i kulmeve të tij.
Zbërthimi i një shumëkëndëshi konveks
Në disa raste, për të zgjidhur problemet gjeometrike, është e nevojshme të ndahet një shumëkëndësh konveks në disa trekëndësha me diagonale jo të kryqëzuara. Ky problem mund të zgjidhet duke nxjerrë një formulë specifike.
Përkufizimi i problemit: le të quajmë një ndarje të duhur të një n-këndësh konveks në disa trekëndësha nga diagonalet që kryqëzohen vetëm në kulmet e kësaj figure gjeometrike.
Zgjidhje: Supozoni se Р1, Р2, Р3 …, Pn janë kulme të këtij n-gon. Numri Xn është numri i ndarjeve të tij. Le të shqyrtojmë me kujdes diagonalen e fituar të figurës gjeometrike Pi Pn. Në ndonjë nga ndarjet e rregullta P1 Pn i përket një trekëndëshi të caktuar P1 Pi Pn, i cili ka 1<i<n. Duke u nisur nga kjo dhe duke supozuar se i=2, 3, 4 …, n-1, marrim (n-2) grupe të këtyre ndarjeve, të cilat përfshijnë të gjitha rastet e veçanta të mundshme.
Le të jetë i=2 një grup ndarjesh të rregullta, që gjithmonë përmbajnë diagonalen Р2 Pn. Numri i ndarjeve që hyjnë në të është i njëjtë me numrin e ndarjeve(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Me fjalë të tjera, është e barabartë me Xn-1.
Nëse i=3, atëherë ky grup tjetër ndarjesh do të përmbajë gjithmonë diagonalet Р3 Р1 dhe Р3 Pn. Në këtë rast, numri i ndarjeve të rregullta që përmbahen në këtë grup do të përkojë me numrin e ndarjeve të (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Me fjalë të tjera, do të jetë e barabartë me Xn-2.
Le të=4, atëherë midis trekëndëshave një ndarje e rregullt me siguri do të përmbajë një trekëndësh P1 P4 Pn, të cilit do t'i bashkohet katërkëndëshi P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Numri i ndarjeve të rregullta të një katërkëndëshi të tillë është X4, dhe numri i ndarjeve të një (n-3)-gon është Xn-3. Bazuar në sa më sipër, mund të themi se numri i përgjithshëm i ndarjeve të sakta të përfshira në këtë grup është Xn-3 X4. Grupet e tjera me i=4, 5, 6, 7… do të përmbajnë Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … ndarje të rregullta.
Le të=n-2, atëherë numri i ndarjeve të sakta në këtë grup do të jetë i njëjtë me numrin e ndarjeve në grup ku i=2 (me fjalë të tjera, është e barabartë me Xn-1).
Meqenëse X1=X2=0, X3=1, X4=2…, atëherë numri i të gjitha ndarjeve të një shumëkëndëshi konveks është:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Shembull:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Numri i ndarjeve të sakta që kryqëzojnë një diagonale brenda
Kur kontrolloni raste të veçanta, mund të arrini nësupozimi se numri i diagonaleve të n-goneve konveks është i barabartë me produktin e të gjitha ndarjeve të kësaj figure me (n-3).
Vërtetim i këtij supozimi: imagjinoni që P1n=Xn(n-3), atëherë çdo n-gon mund të ndahet në (n-2)-trekëndësha. Për më tepër, një (n-3)-katërkëndësh mund të përbëhet prej tyre. Së bashku me këtë, çdo katërkëndësh do të ketë një diagonale. Meqenëse dy diagonale mund të vizatohen në këtë figurë gjeometrike konvekse, kjo do të thotë se diagonale shtesë (n-3) mund të vizatohen në çdo (n-3)-katërkëndësh. Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se në çdo ndarje të rregullt është e mundur të vizatohen (n-3)-diagonale që plotësojnë kushtet e këtij problemi.
Sipërfaqja e shumëkëndëshave konveks
Shpesh, kur zgjidhen probleme të ndryshme të gjeometrisë elementare, bëhet e nevojshme të përcaktohet zona e një shumëkëndëshi konveks. Supozojmë se (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n është sekuenca e koordinatave të të gjitha kulmeve fqinje të një shumëkëndëshi që nuk ka vetë-prerje. Në këtë rast, zona e saj llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), ku (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
