Çfarë është një prizëm i drejtpërdrejtë? Formulat për gjatësinë e diagonaleve, sipërfaqen dhe vëllimin e një figure

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Kursi i gjeometrisë shkollore është i ndarë në dy seksione të mëdha: planimetria dhe gjeometria e ngurtë. Stereometria studion figurat hapësinore dhe karakteristikat e tyre. Në këtë artikull, ne do të shohim se çfarë është një prizëm i drejtë dhe do të japim formula që përshkruajnë vetitë e tij si gjatësitë diagonale, vëllimi dhe sipërfaqja.

Çfarë është një prizëm?

Kur nxënësve të shkollës u kërkohet të emërtojnë përkufizimin e një prizmi, ata përgjigjen se kjo figurë është dy shumëkëndësha paralelë identikë, brinjët e të cilëve janë të lidhur me paralelogramë. Ky përkufizim është sa më i përgjithshëm që të jetë e mundur, pasi nuk vendos kushte për formën e shumëkëndëshave, për vendosjen e tyre reciproke në rrafshe paralele. Për më tepër, ajo nënkupton praninë e paralelogrameve lidhëse, klasa e të cilave përfshin gjithashtu një katror, një romb dhe një drejtkëndësh. Më poshtë mund të shihni se çfarë është një prizëm katërkëndor.

Ne shohim se një prizëm është një shumëfaqësh (polyedron) i përbërë nga n + 2brinjë, 2 × n kulme dhe 3 × n skaj, ku n është numri i brinjëve (kulmeve) të njërit prej shumëkëndëshave.

Të dy shumëkëndëshat quhen zakonisht bazat e figurës, faqet e tjera janë anët e prizmit.

Koncepti i një prizmi të drejtë

Ekzistojnë lloje të ndryshme prizmash. Pra, flitet për figura të rregullta dhe të çrregullta, për prizma trekëndëshe, pesëkëndëshe e të tjera, ka figura konvekse dhe konkave dhe së fundi, ato janë të prirura dhe të drejta. Le të flasim për këtë të fundit më në detaje.

Një prizëm i drejtë është një figurë e tillë e klasës së studiuar të shumëkëndëshave, të gjithë katërkëndëshat anësore të të cilave kanë kënde të drejta. Ekzistojnë vetëm dy lloje të katërkëndëshave të tillë - një drejtkëndësh dhe një katror.

Forma e konsideruar e figurës ka një veti të rëndësishme: lartësia e një prizmi të drejtë është e barabartë me gjatësinë e skajit të saj anësor. Vini re se të gjitha skajet anësore të figurës janë të barabarta me njëra-tjetrën. Sa i përket fytyrave anësore, në rastin e përgjithshëm ato nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën. Barazia e tyre është e mundur nëse, përveç faktit që prizmi është i drejtë, ai do të jetë edhe i saktë.

Figura më poshtë tregon një figurë të drejtë me bazë pesëkëndëshe. Mund të shihet se të gjitha faqet e saj anësore janë drejtkëndëshe.

Diagonalet e prizmit dhe parametrat e tij linearë

Karakteristikat kryesore lineare të çdo prizmi janë lartësia e tij h dhe gjatësia e anëve të bazës së tij a_i, ku i=1, …, n. Nëse baza është një shumëkëndësh i rregullt, atëherë mjafton të dihet gjatësia a e njërës anë për të përshkruar vetitë e tij. Njohja e parametrave linearë të shënuar na lejon që në mënyrë të paqartëpërkufizoni vetitë e tilla të një figure si vëllimin ose sipërfaqen e saj.

Diagonalet e një prizmi të drejtë janë segmente që lidhin çdo dy kulme jo fqinje. Diagonale të tilla mund të jenë të tre llojeve:

• shtrirë në aeroplanët bazë;
• ndodhet në rrafshet e drejtkëndëshave anësore;
• figura që i përkasin vëllimit.

Gjatësitë e atyre diagonaleve që lidhen me bazën duhet të përcaktohen në varësi të llojit të n-gon.

Diagonalet e drejtkëndëshave anësor llogariten duke përdorur formulën e mëposhtme:

d_1i=√(a_i²+ h²).

Për të përcaktuar diagonalet e vëllimit, duhet të dini vlerën e gjatësisë së diagonales dhe lartësisë përkatëse bazë. Nëse disa diagonale të bazës shënohen me shkronjën d_0i, atëherë diagonalja e vëllimit d_2i llogaritet si më poshtë:

d_2i=√(d_0i²+ h²).

Për shembull, në rastin e një prizmi të rregullt katërkëndor, gjatësia e diagonales së vëllimit do të jetë:

d₂=√(2 × a²+ h²).

Vini re se një prizëm trekëndor kënddrejtë ka vetëm një nga tre llojet e emërtuara të diagonaleve: diagonalen anësore.

Sipërfaqja e klasës së studiuar të formave

Sipërfaqja është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të një figure. Për të vizualizuar të gjitha fytyrat, duhet të bëni një skanim të prizmit. Si shembull, një spastrim i tillë për një figurë pesëkëndëshe është paraqitur më poshtë.

Ne shohim se numri i figurave të rrafshët është n + 2, dhe n janë drejtkëndësha. Për të llogaritur sipërfaqen e të gjithë fshirjes, shtoni zonat e dy bazave identike dhe sipërfaqet e të gjithë drejtkëndëshave. Atëherë formula përkatëse do të duket si:

S=2 × S_o+ h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Kjo barazi tregon se sipërfaqja anësore për tipin e studiuar të prizmave është e barabartë me prodhimin e lartësisë së figurës dhe perimetrit të bazës së saj.

Sipërfaqja bazë e S_o mund të llogaritet duke aplikuar formulën e duhur gjeometrike. Për shembull, nëse baza e një prizmi të drejtë është një trekëndësh kënddrejtë, atëherë marrim:

S_o=a₁ × a₂ / 2.

Ku një₁ dhe një₂ janë këmbët e trekëndëshit.

Nëse baza është një n-gon me kënde dhe brinjë të barabarta, atëherë formula e mëposhtme do të jetë e drejtë:

S_o=n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Formula e vëllimit

Përcaktimi i vëllimit të një prizmi të çdo lloji nuk është një detyrë e vështirë nëse zona e bazës së tij S_o dhe lartësia h janë të njohura. Duke shumëzuar këto vlera së bashku, marrim vëllimin V të figurës, domethënë:

V=S_o × h.

Meqenëse parametri h i një prizmi të drejtë është i barabartë me gjatësinë e skajit anësor, i gjithë problemi i llogaritjes së vëllimit zbret në llogaritjen e sipërfaqes S_o. Mbi nekanë thënë tashmë disa fjalë dhe kanë dhënë disa formula për të përcaktuar S_o. Këtu vërejmë vetëm se në rastin e një baze në formë arbitrare, duhet ta ndani atë në segmente të thjeshta (trekëndësha, drejtkëndësha), të llogarisni sipërfaqen e secilit dhe më pas të shtoni të gjitha zonat për të marrë S _o.