Piramidë e rregullt gjashtëkëndore. Formulat për vëllimin dhe sipërfaqen. Zgjidhja e një problemi gjeometrik

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Stereometria, si një degë e gjeometrisë në hapësirë, studion vetitë e prizmave, cilindrave, koneve, topave, piramidave dhe figurave të tjera tredimensionale. Ky artikull i kushtohet një rishikimi të detajuar të karakteristikave dhe vetive të një piramide të rregullt gjashtëkëndore.

Cila piramidë do të studiohet

Një piramidë e rregullt gjashtëkëndore është një figurë në hapësirë, e cila kufizohet nga një gjashtëkëndësh barabrinjës dhe barabrinjës dhe gjashtë trekëndësha identikë dykëndësh. Këta trekëndësha mund të jenë gjithashtu barabrinjës në kushte të caktuara. Kjo piramidë është paraqitur më poshtë.

E njëjta figurë është paraqitur këtu, vetëm në një rast është kthyer me fytyrën e saj anësore drejt lexuesit, dhe në tjetrën - me skajin e saj anësor.

Një piramidë e rregullt gjashtëkëndore ka 7 faqe, të cilat u përmendën më lart. Ai gjithashtu ka 7 kulme dhe 12 skaje. Ndryshe nga prizmat, të gjitha piramidat kanë një kulm të veçantë, i cili formohet nga kryqëzimi i anës.trekëndëshat. Për një piramidë të rregullt, ajo luan një rol të rëndësishëm, pasi pingulja e ulur prej saj në bazën e figurës është lartësia. Më tej, lartësia do të shënohet me shkronjën h.

Piramida e treguar quhet e saktë për dy arsye:

• në bazën e tij është një gjashtëkëndësh me gjatësi të barabarta anash a dhe kënde të barabarta prej 120o;
• Lartësia e piramidës h pret gjashtëkëndëshin saktësisht në qendër të saj (pika e kryqëzimit shtrihet në të njëjtën distancë nga të gjitha anët dhe nga të gjitha kulmet e gjashtëkëndëshit).

Sipërfaqja

Vetitë e një piramide të rregullt gjashtëkëndore do të merren parasysh nga përkufizimi i zonës së saj. Për ta bërë këtë, së pari është e dobishme të shpalosni figurën në një aeroplan. Një paraqitje skematike e tij është paraqitur më poshtë.

Mund të shihet se sipërfaqja e fshirjes, dhe rrjedhimisht e gjithë sipërfaqja e figurës në shqyrtim, është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të gjashtë trekëndëshave identikë dhe një gjashtëkëndësh.

Për të përcaktuar sipërfaqen e një gjashtëkëndëshi S_{6, përdorni formulën universale për një n-gon të rregullt:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Ku a është gjatësia e brinjës së gjashtëkëndëshit.

Sipërfaqja e një trekëndëshi S₃ e anës anësore mund të gjendet nëse e dini vlerën e lartësisë së tij h_b:

S₃=1/2h_ba.

Sepse të gjashtëtrekëndëshat janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë marrim një shprehje pune për përcaktimin e sipërfaqes së një piramide gjashtëkëndore me bazën e saktë:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Vëllimi i piramidës

Ashtu si zona, vëllimi i një piramide të rregullt gjashtëkëndore është vetia e saj e rëndësishme. Ky vëllim llogaritet me formulën e përgjithshme për të gjitha piramidat dhe konet. Le ta shkruajmë:

V=1/3S_oh.

Këtu, simboli S_o është zona e bazës gjashtëkëndore, d.m.th. S_o=S _6.

Duke zëvendësuar shprehjen e mësipërme për S_{6 në formulën për V, arrijmë në barazinë përfundimtare për përcaktimin e vëllimit të një piramide të rregullt gjashtëkëndore:}

V=√3/2a2h.

Një shembull i një problemi gjeometrik

Në një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, skaji anësor është dyfishi i gjatësisë së anës bazë. Duke ditur që kjo e fundit është 7 cm, është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja dhe vëllimi i kësaj figure.

Siç mund ta merrni me mend, zgjidhja e këtij problemi përfshin përdorimin e shprehjeve të marra më sipër për S dhe V. Megjithatë, nuk do të jetë e mundur t'i përdorim ato menjëherë, pasi ne nuk e dimë apotemën dhe lartësia e një piramide të rregullt gjashtëkëndore. Le t'i llogarisim ato.

Apotema h_b mund të përcaktohet duke marrë parasysh një trekëndësh kënddrejtë të ndërtuar në brinjët b, a/2 dhe h_{b. Këtu b është gjatësia e skajit anësor. Duke përdorur kushtin e problemit, marrim:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Lartësia h e piramidës mund të përcaktohet saktësisht në të njëjtën mënyrë si një apotemë, por tani duhet të marrim parasysh një trekëndësh me brinjë h, b dhe a, të vendosur brenda piramidës. Lartësia do të jetë:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Mund të shihet se vlera e llogaritur e lartësisë është më e vogël se ajo për apotemën, e cila është e vërtetë për çdo piramidë.

Tani mund të përdorni shprehje për vëllimin dhe zonën:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Kështu, për të përcaktuar në mënyrë të qartë çdo karakteristikë të një piramide të rregullt gjashtëkëndore, duhet të dini çdo dy nga parametrat e saj linearë.