Llogaritja e vëllimeve të figurave hapësinore është një nga detyrat e rëndësishme të stereometrisë. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë çështjen e përcaktimit të vëllimit të një poliedri të tillë si një piramidë, dhe gjithashtu do të japim formulën për vëllimin e një piramide të rregullt gjashtëkëndore.
piramidë gjashtëkëndore
Së pari, le të shohim se cila është shifra, e cila do të diskutohet në artikull.
Le të kemi një gjashtëkëndësh arbitrar, anët e të cilit nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me njëra-tjetrën. Supozoni gjithashtu se kemi zgjedhur një pikë në hapësirë që nuk është në rrafshin e gjashtëkëndëshit. Duke lidhur të gjitha cepat e kësaj të fundit me pikën e përzgjedhur, fitojmë një piramidë. Dy piramida të ndryshme me një bazë gjashtëkëndore janë paraqitur në figurën më poshtë.
Shihet se përveç gjashtëkëndëshit, figura përbëhet nga gjashtë trekëndësha, pika e lidhjes së të cilëve quhet kulm. Dallimi midis piramidave të përshkruara është se lartësia h e djathtë e tyre nuk e kryqëzon bazën gjashtëkëndore në qendrën e saj gjeometrike, dhe lartësia e figurës së majtë bie.pikërisht në atë qendër. Falë këtij kriteri, piramida e majtë quhej e drejtë, dhe e djathta - e zhdrejtë.
Meqenëse baza e figurës së majtë në figurë është e formuar nga një gjashtëkëndësh me brinjë dhe kënde të barabarta, ajo quhet e saktë. Më tej në artikull do të flasim vetëm për këtë piramidë.
Vëllimi i piramidës gjashtëkëndore
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula e mëposhtme është e vlefshme:
V=1/3hSo
Këtu h është gjatësia e lartësisë së figurës, So është sipërfaqja e bazës së saj. Le ta përdorim këtë shprehje për të përcaktuar vëllimin e një piramide të rregullt gjashtëkëndore.
Meqenëse figura në shqyrtim bazohet në një gjashtëkëndësh barabrinjës, për të llogaritur sipërfaqen e tij, mund të përdorni shprehjen e përgjithshme vijuese për një n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Këtu n është një numër i plotë i barabartë me numrin e brinjëve (këndeve) të shumëkëndëshit, a është gjatësia e brinjës së tij, funksioni kotangjent llogaritet duke përdorur tabelat përkatëse.
Duke zbatuar shprehjen për n=6, marrim:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Tani mbetet ta zëvendësojmë këtë shprehje në formulën e përgjithshme për vëllimin V:
V6=S6h=√3/2ha2
Kështu, për të llogaritur vëllimin e piramidës në shqyrtim, është e nevojshme të njihen dy parametrat linearë të saj: gjatësia e anës së bazës dhe lartësia e figurës.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Le të tregojmë se si shprehja e fituar për V6 mund të përdoret për të zgjidhur problemin e mëposhtëm.
Dihet se vëllimi i një piramide të rregullt gjashtëkëndore është 100 cm3. Është e nevojshme të përcaktohet ana e bazës dhe lartësia e figurës, nëse dihet se ato lidhen me njëra-tjetrën me barazinë e mëposhtme:
a=2h
Meqenëse vetëm a dhe h përfshihen në formulën për vëllimin, secili prej këtyre parametrave mund të zëvendësohet në të, i shprehur në terma të tjetrit. Për shembull, duke zëvendësuar një, marrim:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Për të gjetur vlerën e lartësisë së një figure, duhet të merrni rrënjën e shkallës së tretë nga vëllimi, e cila korrespondon me dimensionin e gjatësisë. Ne zëvendësojmë vlerën e vëllimit V6 të piramidës nga deklarata e problemit, marrim lartësinë:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Meqenëse ana e bazës, në përputhje me kushtin e problemit, është dyfishi i vlerës së gjetur, marrim vlerën për të:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Vëllimi i një piramide gjashtëkëndore mund të gjendet jo vetëm përmes lartësisë së figurës dhe vlerës së anës së bazës së saj. Mjafton të dimë dy parametra të ndryshëm linearë të piramidës për ta llogaritur atë, për shembull, apotemën dhe gjatësinë e skajit anësor.
