Prizëm trekëndor i drejtë. Formulat për vëllimin dhe sipërfaqen. Zgjidhja e një problemi gjeometrik

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Në shkollën e mesme, pasi studiojnë vetitë e figurave në rrafsh, kalohet në shqyrtimin e objekteve gjeometrike hapësinore si prizmat, sferat, piramidat, cilindrat dhe konet. Në këtë artikull, ne do të japim përshkrimin më të plotë të një prizmi trekëndor të drejtë.

Çfarë është një prizëm trekëndor?

Le ta fillojmë artikullin me përkufizimin e figurës, e cila do të diskutohet më tej. Një prizëm nga pikëpamja e gjeometrisë është një figurë në hapësirë e formuar nga dy n-këndësha identikë të vendosur në rrafshe paralele, të njëjtat kënde të të cilave lidhen me segmente të drejtëza. Këto segmente quhen brinjë anësore. Së bashku me anët e bazës, ato formojnë një sipërfaqe anësore, e cila në përgjithësi përfaqësohet me paralelograme.

Dy n-gons janë bazat e figurës. Nëse skajet anësore janë pingul me to, atëherë ato flasin për një prizëm të drejtë. Prandaj, nëse numri i brinjëve n të shumëkëndëshit në bazat është tre, atëherë një figurë e tillë quhet prizëm trekëndor.

Prizma e drejtë trekëndore është paraqitur më sipër në figurë. Kjo shifër quhet gjithashtu e rregullt, pasi bazat e saj janë trekëndësha barabrinjës. Gjatësia e skajit anësor të figurës, e treguar me shkronjën h në figurë, quhet lartësia e saj.

Figura tregon se një prizëm me bazë trekëndore formohet nga pesë faqe, dy prej të cilave janë trekëndësha barabrinjës dhe tre janë drejtkëndësha identikë. Përveç faqeve, prizmi ka gjashtë kulme në baza dhe nëntë skaje. Numrat e elementeve të konsideruar lidhen me njëri-tjetrin nga teorema e Euler-it:

numri i skajeve=numri i kulmeve + numri i brinjëve - 2.

Sipërfaqja e një prizmi trekëndor të drejtë

Më sipër zbuluam se figura në fjalë formohet nga pesë faqe të dy llojeve (dy trekëndësha, tre drejtkëndësha). Të gjitha këto fytyra formojnë sipërfaqen e plotë të prizmit. Sipërfaqja totale e tyre është sipërfaqja e figurës. Më poshtë është një prizëm trekëndor që shpaloset, i cili mund të merret duke prerë fillimisht dy baza nga figura dhe më pas duke prerë përgjatë njërës skaj dhe duke shpalosur sipërfaqen anësore.

Le të japim formula për përcaktimin e sipërfaqes së këtij pastrimi. Le të fillojmë me bazat e një prizmi trekëndor kënddrejtë. Meqenëse përfaqësojnë trekëndësha, zona S_{3 e secilit prej tyre mund të gjendet si më poshtë:}

S₃=1/2ah_a.

Këtu a është brinja e trekëndëshit, h_{a është lartësia e ulur nga maja e trekëndëshit në këtë anë.}

Nëse trekëndëshi është barabrinjës (i rregullt), atëherë formula për S_{3 varet vetëm nga një parametër a. Duket si:}

S₃=√3/4a^2.

Kjo shprehje mund të merret duke marrë parasysh një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga segmentet a, a/2, h_a.

Sipërfaqja e bazave S_o për një figurë të rregullt është dyfishi i vlerës së S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Për sa i përket sipërfaqes anësore S_{b, nuk është e vështirë ta llogaritni atë. Për ta bërë këtë, mjafton të shumëzoni me tre sipërfaqen e një drejtkëndëshi të formuar nga anët a dhe h. Formula përkatëse është:}

S_b=3ah.

Kështu, zona e një prizmi të rregullt me një bazë trekëndore gjendet me formulën e mëposhtme:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Nëse prizmi është i drejtë, por i parregullt, atëherë për të llogaritur sipërfaqen e tij, duhet të shtoni veçmas zonat e drejtkëndëshave që nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Përcaktimi i vëllimit të një figure

Vëllimi i një prizmi kuptohet si hapësira e kufizuar nga anët (fytyrat) e tij. Llogaritja e vëllimit të një prizmi trekëndor të drejtë është shumë më e lehtë sesa llogaritja e sipërfaqes së tij. Për ta bërë këtë, mjafton të dini zonën e bazës dhe lartësinë e figurës. Meqenëse lartësia h e një figure të drejtë është gjatësia e skajit të saj anësor dhe si të llogarisim sipërfaqen e bazës, ne kemi dhënë në pjesën e mëparshmepikë, atëherë mbetet të shumëzohen këto dy vlera me njëra-tjetrën për të marrë vëllimin e dëshiruar. Formula për të bëhet:

V=S_3h.

Vini re se prodhimi i sipërfaqes së një baze dhe lartësisë do të japë vëllimin e jo vetëm një prizmi të drejtë, por edhe të një figure të zhdrejtë dhe madje të një cilindri.

Zgjidhja e problemit

Prizmat trekëndore prej qelqi përdoren në optikë për të studiuar spektrin e rrezatimit elektromagnetik për shkak të fenomenit të dispersionit. Dihet se një prizëm i rregullt qelqi ka gjatësinë e anës bazë 10 cm dhe gjatësinë e skajit 15 cm. Sa është sipërfaqja e faqeve të xhamit dhe çfarë vëllimi përmban ai?

Për të përcaktuar zonën, do të përdorim formulën e shkruar në artikull. Ne kemi:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Për të përcaktuar vëllimin V, ne përdorim gjithashtu formulën e mësipërme:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Pavarësisht se skajet e prizmit janë 10 cm dhe 15 cm të gjata, vëllimi i figurës është vetëm 0,65 litra (një kub me një anë 10 cm ka një vëllim 1 litër).