Në gjeometri, dy karakteristika të rëndësishme përdoren për të studiuar figurat: gjatësitë e brinjëve dhe këndet ndërmjet tyre. Në rastin e figurave hapësinore, këtyre karakteristikave u shtohen kënde diedrale. Le të shqyrtojmë se çfarë është, dhe gjithashtu të përshkruajmë metodën për përcaktimin e këtyre këndeve duke përdorur shembullin e një piramide.
Koncepti i këndit dihedral
Të gjithë e dinë se dy drejtëza të kryqëzuara formojnë një kënd me kulmin në pikën e kryqëzimit të tyre. Ky kënd mund të matet me një raportor, ose mund të përdorni funksione trigonometrike për ta llogaritur atë. Këndi i formuar nga dy kënde të drejta quhet linear.
Tani imagjinoni se në hapësirën tredimensionale ka dy plane që kryqëzohen në një vijë të drejtë. Ato shfaqen në foto.
Një kënd dihedral është këndi ndërmjet dy rrafsheve të kryqëzuara. Ashtu si lineare, ajo matet në gradë ose radianë. Nëse në ndonjë pikë të drejtëzës përgjatë së cilës kryqëzohen aeroplanët, rivendosni dy pingul,shtrirë në këto plane, atëherë këndi midis tyre do të jetë diedralja e dëshiruar. Mënyra më e lehtë për të përcaktuar këtë kënd është përdorimi i ekuacioneve të përgjithshme të planeve.
Ekuacioni i planeve dhe formula për këndin ndërmjet tyre
Ekuacioni i çdo rrafshi në hapësirë në terma të përgjithshëm shkruhet si më poshtë:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Këtu x, y, z janë koordinatat e pikave që i përkasin rrafshit, koeficientët A, B, C, D janë disa numra të njohur. Lehtësia e kësaj barazie për llogaritjen e këndeve dihedrale është se ai përmban në mënyrë eksplicite koordinatat e vektorit të drejtimit të rrafshit. Do ta shënojmë me n¯. Pastaj:
n¯=(A; B; C).
Vektori n¯ është pingul me rrafshin. Këndi ndërmjet dy rrafsheve është i barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të tyre të drejtimit n1¯ dhe n2¯. Dihet nga matematika se këndi i formuar nga dy vektorë përcaktohet në mënyrë unike nga produkti i tyre skalar. Kjo ju lejon të shkruani një formulë për llogaritjen e këndit dihedral midis dy planeve:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Nëse zëvendësojmë koordinatat e vektorëve, formula do të shkruhet në mënyrë eksplicite:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Shenja e modulit në numërues përdoret për të përcaktuar vetëm një kënd të mprehtë, pasi një kënd dihedral është gjithmonë më i vogël ose i barabartë me 90o.
Piramida dhe qoshet e saj
Piramida është një figurë e formuar nga një n-këndësh dhe n trekëndësha. Këtu n është një numër i plotë i barabartë me numrin e anëve të poligonit që është baza e piramidës. Kjo figurë hapësinore është një shumëfaqësh ose shumëfaqësh, pasi përbëhet nga faqe (anët) të sheshta.
Këndet dyhedrale të një piramide-polyedri mund të jenë dy llojesh:
- ndërmjet bazës dhe anës (trekëndësh);
- ndërmjet dy anëve.
Nëse piramida konsiderohet e rregullt, atëherë është e lehtë të përcaktohen këndet e emërtuara për të. Për ta bërë këtë, duke përdorur koordinatat e tre pikave të njohura, duhet të përpilohet një ekuacion i planeve dhe më pas të përdoret formula e dhënë në paragrafin e mësipërm për këndin φ.
Më poshtë japim një shembull në të cilin tregojmë se si të gjejmë kënde diedrale në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore.
Një piramidë e rregullt katërkëndëshe dhe një kënd në bazën e saj
Supozojmë se është dhënë një piramidë e rregullt me bazë katrore. Gjatësia e brinjës së katrorit është a, lartësia e figurës është h. Gjeni këndin midis bazës së piramidës dhe anës së saj.
Le të vendosim origjinën e sistemit të koordinatave në qendër të katrorit. Pastaj koordinatat e pikaveA, B, C, D të paraqitura në foto do të jenë:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Merrni parasysh aeroplanët ACB dhe ADB. Natyrisht, vektori i drejtimit n1¯ për rrafshin ACB do të jetë:
1¯=(0; 0; 1).
Për të përcaktuar vektorin e drejtimit n2¯ të planit ADB, veproni si më poshtë: gjeni dy vektorë arbitrarë që i përkasin atij, për shembull, AD¯ dhe AB¯, pastaj njehsoni punën e tyre vektoriale. Rezultati i tij do të japë koordinatat n2¯. Ne kemi:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Meqenëse shumëzimi dhe pjesëtimi i një vektori me një numër nuk ndryshon drejtimin e tij, ne transformojmë n2¯, duke pjesëtuar koordinatat e tij me -a, marrim:
2¯=(h; 0; a/2).
Ne kemi përcaktuar udhëzues vektorial n1¯ dhe n2¯ për bazën ACB dhe rrafshët anësore ADB. Mbetet të përdorim formulën për këndin φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformoni shprehjen që rezulton dhe rishkruani atë si kjo:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Kemi marrë formulën për këndin dihedral në bazë për një piramidë të rregullt katërkëndore. Duke ditur lartësinë e figurës dhe gjatësinë e anës së saj, mund të llogarisni këndin φ. Për shembull, për piramidën e Keopsit, ana bazë e së cilës është 230,4 metra dhe lartësia fillestare ishte 146,5 metra, këndi φ do të jetë 51,8o.
Është gjithashtu e mundur të përcaktohet këndi dihedral për një piramidë të rregullt katërkëndore duke përdorur metodën gjeometrike. Për ta bërë këtë, mjafton të shqyrtojmë një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga lartësia h, gjysma e gjatësisë së bazës a/2 dhe apotema e një trekëndëshi dykëndësh.
