Leonhard Euler (1707-1783) - matematikan i famshëm zviceran dhe rus, anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut, jetoi pjesën më të madhe të jetës në Rusi. Më i famshmi në analizën matematikore, statistikat, shkencat kompjuterike dhe logjikën është rrethi i Euler-it (diagrami Euler-Venn), i përdorur për të treguar shtrirjen e koncepteve dhe grupet e elementeve.
John Venn (1834-1923) - filozof dhe logjik anglez, bashkautor i diagramit Euler-Venn.
Koncepte të pajtueshme dhe të papajtueshme
Nën koncept në logjikë nënkupton një formë të menduari që pasqyron tiparet thelbësore të një klase objektesh homogjene. Ato shënohen me një ose një grup fjalësh: "harta e botës", "akord mbizotërues i pestë-shtatë", "e hënë", etj.
Në rastin kur elementet e fushës së një koncepti i përkasin plotësisht ose pjesërisht fushëveprimit të një tjetri, flitet për koncepte të përputhshme. Megjithatë, nëse asnjë element i fushës së një koncepti të caktuar nuk i përket fushës së një koncepti tjetër, ne kemi koncepte të papajtueshme.
Nga ana tjetër, çdo lloj koncepti ka grupin e vet të marrëdhënieve të mundshme. Për konceptet e përputhshme, këto janë:
- identiteti (ekuivalenca) e vëllimeve;
- kalim (ndeshje e pjesshme)vëllime;
- vartësi (nënshtrim).
Për të papajtueshme:
- vartësi (koordinim);
- e kundërta (kundërpërgjigje);
- kontradiksion (kontradiksion).
Skematikisht, marrëdhëniet midis koncepteve në logjikë zakonisht shënohen duke përdorur rrathët Euler-Venn.
Marrëdhënie ekuivalente
Në këtë rast, konceptet nënkuptojnë të njëjtën temë. Prandaj, vëllimet e këtyre koncepteve janë plotësisht të njëjta. Për shembull:
A - Sigmund Freud;
B është themeluesi i psikanalizës.
Ose:
A është një katror;
B është një drejtkëndësh barabrinjës;
C është një romb barabrinjës.
Rrathët e Euler-it që përputhen plotësisht përdoren për përcaktimin.
Kryqëzimi (përputhje e pjesshme)
Kjo kategori përfshin koncepte që kanë elementë të përbashkët që janë në lidhje me kryqëzimin. Kjo do të thotë, vëllimi i njërit prej koncepteve përfshihet pjesërisht në vëllimin e tjetrit:
A - mësues;
B është një adhurues i muzikës.
Siç mund të shihet nga ky shembull, vëllimet e koncepteve përkojnë pjesërisht: një grup i caktuar mësuesish mund të rezultojnë të jenë dashamirës të muzikës dhe anasjelltas - mund të ketë përfaqësues të profesionit të mësuesit midis dashamirëve të muzikës. Një qëndrim i ngjashëm do të jetë në rastin kur koncepti A është, për shembull, një "qytetar", dhe B është një "shofer".
Nënrenditje (nënrenditje)
Skematikisht shënohen si rrathë Euler të shkallëve të ndryshme. Marrëdhënietndërmjet koncepteve në këtë rast karakterizohen nga fakti se koncepti i nënrenditur (në vëllim më i vogël) përfshihet plotësisht në vartës (në vëllim më të madh). Në të njëjtën kohë, koncepti i varur nuk e shteron plotësisht atë të varur.
Për shembull:
A - pemë;
B - pishë.
Koncepti B do të jetë në vartësi të konceptit A. Meqenëse pisha i përket pemëve, koncepti A në këtë shembull bëhet i varur, duke "përthithur" shtrirjen e konceptit B.
Koordinim (koordinim)
Marrëdhënia karakterizon dy ose më shumë koncepte që përjashtojnë njëri-tjetrin, por i përkasin një rrethi të caktuar gjenerik të përbashkët. Për shembull:
A – klarinetë;
B - kitarë;
C - violinë;
D është një instrument muzikor.
Konceptet A, B, C nuk janë të kryqëzuara në raport me njëri-tjetrin, megjithatë, të gjitha i përkasin kategorisë së instrumenteve muzikore (koncepti D).
E kundërta (kundërta)
Marrëdhëniet e kundërta ndërmjet koncepteve nënkuptojnë se këto koncepte i përkasin të njëjtës gjini. Në të njëjtën kohë, njëri prej koncepteve ka veti (veçori) të caktuara, ndërsa tjetri i mohon ato, duke i zëvendësuar ato me të kundërta në natyrë. Pra, kemi të bëjmë me antonime. Për shembull:
A është një xhuxh;
B është një gjigant.
Rrethi i Euler-it me marrëdhënie të kundërta ndërmjet konceptevendahet në tre segmente, i pari prej të cilëve korrespondon me konceptin A, i dyti me konceptin B dhe i treti me të gjitha konceptet e tjera të mundshme.
Kontradiksion (kontradiksion)
Në këtë rast, të dy konceptet janë specie të së njëjtës gjini. Si në shembullin e mëparshëm, një nga konceptet tregon disa cilësi (veçori), ndërsa tjetri i mohon ato. Megjithatë, në ndryshim nga relacioni i të kundërtave, koncepti i dytë, i kundërt nuk i zëvendëson vetitë e mohuara me të tjera, alternative. Për shembull:
A është një detyrë e vështirë;
B është një detyrë e lehtë (jo-A).
Duke shprehur vëllimin e koncepteve të këtij lloji, rrethi i Euler-it ndahet në dy pjesë - lidhja e tretë, e ndërmjetme në këtë rast nuk ekziston. Kështu, konceptet janë gjithashtu antonime. Në të njëjtën kohë, njëra prej tyre (A) bëhet pozitive (duke konfirmuar disa veçori), dhe e dyta (B ose jo-A) bëhet negative (duke mohuar tiparin përkatës): "letër e bardhë" - "jo letër e bardhë", " historia kombëtare” – “historia e huaj”, etj.
Kështu, raporti i vëllimeve të koncepteve në raport me njëri-tjetrin është një karakteristikë kryesore që përcakton rrathët e Euler-it.
Marrëdhëniet midis grupeve
Është gjithashtu e nevojshme të bëhet dallimi midis koncepteve të elementeve dhe grupeve, vëllimi i të cilave shfaqet nga rrathët Euler. Koncepti i një grupi është huazuar nga shkenca matematikore dhe ka një kuptim mjaft të gjerë. Shembujt në logjikë dhe matematikë e shfaqin atë si një grup të caktuar objektesh. Vetë objektet janëelementet e këtij grupi. "Shumë mendohen si një" (Georg Kantor, themeluesi i teorisë së grupeve).
Kompletet caktohen me shkronja të mëdha: A, B, C, D… etj., elementet e grupeve caktohen me shkronja të vogla: a, b, c, d… etj. Shembuj të një grupi mund të jenë studentët që janë në një klasë, libra në një raft të caktuar (ose, për shembull, të gjithë librat në një bibliotekë të caktuar), faqe në një ditar, manaferra në një pastrim pylli, etj.
Nga ana tjetër, nëse një grup i caktuar nuk përmban një element të vetëm, atëherë ai quhet bosh dhe shënohet me shenjën Ø. Për shembull, bashkësia e pikave të kryqëzimit të drejtëzave paralele, bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit x2=-5.
Zgjidhja e problemit
Rrathët Euler përdoren në mënyrë aktive për të zgjidhur një numër të madh problemesh. Shembujt në logjikë tregojnë qartë lidhjen midis operacioneve logjike dhe teorisë së grupeve. Në këtë rast, përdoren tabelat e vërtetësisë së koncepteve. Për shembull, rrethi i emërtuar A përfaqëson rajonin e së vërtetës. Pra, zona jashtë rrethit do të përfaqësojë false. Për të përcaktuar zonën e diagramit për një operacion logjik, duhet të hijesh zonat që përcaktojnë rrethin Euler, në të cilin vlerat e tij për elementët A dhe B do të jenë të vërteta.
Përdorimi i rrathëve të Euler-it ka gjetur zbatim të gjerë praktik në industri të ndryshme. Për shembull, në një situatë me një zgjedhje profesionale. Nëse subjekti është i shqetësuar për zgjedhjen e një profesioni të ardhshëm, ai mund të udhëhiqet nga kriteret e mëposhtme:
W - çfarë më pëlqen të bëj?
D - çfarë jam duke bërë?
P– si mund të fitoj para të mira?
Le ta vizatojmë këtë si një diagram: rrathët e Euler-it (shembuj në lidhjen logjike - kryqëzimi):
Rezultati do të jenë ato profesione që do të jenë në kryqëzimin e të tre rrathëve.
Rrathët Euler-Venn zënë një vend të veçantë në matematikë (teoria e grupeve) gjatë llogaritjes së kombinimeve dhe vetive. Rrathët e Euler-it të grupit të elementeve janë të mbyllura në imazhin e një drejtkëndëshi që tregon grupin universal (U). Në vend të rrathëve mund të përdoren edhe figura të tjera të mbyllura, por thelbi i kësaj nuk ndryshon. Shifrat kryqëzohen me njëra-tjetrën, sipas kushteve të problemit (në rastin më të përgjithshëm). Gjithashtu, këto shifra duhet të etiketohen në përputhje me rrethanat. Elementet e grupeve në shqyrtim mund të jenë pika të vendosura brenda segmenteve të ndryshme të diagramit. Bazuar në të, ju mund të hijezoni zona specifike, duke përcaktuar kështu grupet e sapoformuara.
Me këto bashkësi është e mundur të kryhen veprimet themelore matematikore: mbledhje (shuma e grupeve të elementeve), zbritje (ndryshim), shumëzim (produkt). Përveç kësaj, falë diagrameve Euler-Venn, është e mundur të krahasohen grupet sipas numrit të elementeve të përfshira në to, pa i llogaritur ato.
