Gjeometria është e bukur sepse, ndryshe nga algjebra, ku nuk është gjithmonë e qartë se çfarë mendoni dhe pse, ajo i jep dukshmëri objektit. Kjo botë e mrekullueshme e trupave të ndryshëm është e zbukuruar me poliedra të rregullt.
Informacion i përgjithshëm rreth poliedrave të rregullt
Sipas shumë njerëzve, poliedrat e rregullt, ose siç quhen edhe trupat e ngurtë platonike, kanë veti unike. Disa hipoteza shkencore lidhen me këto objekte. Kur filloni të studioni këto trupa gjeometrikë, kuptoni se praktikisht nuk dini asgjë për një koncept të tillë si poliedrat e rregullt. Prezantimi i këtyre objekteve në shkollë nuk është gjithmonë interesant, ndaj shumë nuk e mbajnë mend as si quhen. Shumica e njerëzve kujtojnë vetëm kubin. Asnjë nga trupat në gjeometri nuk është aq i përsosur sa poliedrat e rregullt. Të gjithë emrat e këtyre trupave gjeometrikë e kanë origjinën nga Greqia e lashtë. Ata nënkuptojnë numrin e fytyrave: katërkëndësh - katërkëndësh, gjashtëkëndor - gjashtë anë, oktaedron - tetëkëndësh, dodekaedron - dymbëdhjetë anë, ikozaedron - njëzet anë. Të gjithë këta trupa gjeometrikëzinte një vend të rëndësishëm në konceptin e Platonit për universin. Katër prej tyre personifikuan elementet ose entitetet: tetraedri - zjarr, ikozaedri - ujë, kubi - tokë, tetëkëndësh - ajër. Dodekaedri mishëronte gjithçka që ekziston. Ai konsiderohej kryesori, sepse ishte simbol i universit.
Përgjithësimi i konceptit të një poliedri
Një shumëfaqësh është një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh të tillë që:
- secila brinjë e ndonjë prej shumëkëndëshave është në të njëjtën kohë brinja e vetëm një shumëkëndëshi tjetër në të njëjtën anë;
- nga secili prej shumëkëndëshave mund të arrish te të tjerët duke kaluar përgjatë poligoneve ngjitur me të.
Shumëkëndëshat që përbëjnë një shumëkëndësh janë faqet e tij dhe anët e tyre janë skajet. Kulmet e shumëkëndëshave janë kulmet e shumëkëndëshave. Nëse koncepti i një shumëkëndëshi kuptohet si vija të thyera të sheshta të mbyllura, atëherë arrihet në një përkufizim të një poliedri. Në rastin kur ky koncept nënkupton një pjesë të rrafshit që kufizohet me vija të thyera, atëherë duhet kuptuar një sipërfaqe e përbërë nga pjesë poligonale. Një shumëfaqësh konveks është një trup i shtrirë në njërën anë të një plani ngjitur me fytyrën e tij.
Një përkufizim tjetër i një poliedri dhe elementeve të tij
Një shumëfaqësh është një sipërfaqe e përbërë nga shumëkëndësha që kufizon një trup gjeometrik. Ato janë:
- jokonveks;
- konveks (e saktë dhe e pasaktë).
Një shumëfaqësh i rregullt është një shumëfaqësh konveks me simetri maksimale. Elementet e poliedrit të rregullt:
- tetraedron: 6 skaje, 4 faqe, 5 kulme;
- heksaedron (kub): 12, 6, 8;
- dodekaedron: 30, 12, 20;
- oktaedron: 12, 8, 6;
- ikosaedron: 30, 20, 12.
teorema e Euler
Vendos një marrëdhënie midis numrit të skajeve, kulmeve dhe faqeve që topologjikisht janë ekuivalente me një sferë. Duke shtuar numrin e kulmeve dhe fytyrave (B + D) të shumëfaqësheve të ndryshme të rregullta dhe duke i krahasuar ato me numrin e skajeve, mund të përcaktohet një model: shuma e numrit të fytyrave dhe kulmeve është e barabartë me numrin e skajeve (P) të rritur. nga 2. Ju mund të nxirrni një formulë të thjeshtë:
B + D=R + 2
Kjo formulë është e vërtetë për të gjitha poliedrat konvekse.
Përkufizime bazë
Koncepti i një poliedri të rregullt nuk mund të përshkruhet me një fjali. Është më kuptimplotë dhe më voluminoze. Që një organ të njihet si i tillë, ai duhet të plotësojë një sërë përkufizimesh. Pra, një trup gjeometrik do të jetë një shumëfaqësh i rregullt nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:
- është konveks;
- i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën nga kulmet e saj;
- të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt, të barabartë me njëri-tjetrin;
- të gjitha këndet e saj dyedrale janë të barabarta.
Vetitë e poliedrave të rregullt
Ekzistojnë 5 lloje të ndryshme poliedrash të rregullta:
- Kub (gjashtëkëndor) - ka një kënd të sheshtë në krye është 90°. Ka një kënd 3 anë. Shuma e këndeve të sheshta në krye është 270°.
- Tetrahedron - kënd i sheshtë në krye - 60°. Ka një kënd 3 anë. Shuma e këndeve të sheshta në krye është 180°.
- Oktaedron - kënd i sheshtë i kulmit - 60°. Ka një kënd me 4 anë. Shuma e këndeve të sheshta në krye është 240°.
- Dodekahedron - kënd i sheshtë në kulm 108°. Ka një kënd 3 anë. Shuma e këndeve të sheshta në krye është 324°.
- Icosahedron - ka një kënd të sheshtë në krye - 60°. Ka një kënd me 5 anë. Shuma e këndeve të sheshta në krye është 300°.
Zona e poliedrave të rregullt
Sipërfaqja e këtyre trupave gjeometrikë (S) llogaritet si sipërfaqja e një poligoni të rregullt shumëzuar me numrin e faqeve të tij (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Vëllimi i një poliedri të rregullt
Kjo vlerë llogaritet duke shumëzuar vëllimin e një piramide të rregullt, në bazën e së cilës ka një shumëkëndësh të rregullt, me numrin e faqeve dhe lartësia e saj është rrezja e sferës së brendashkruar (r):
V=1: 3rS
Vëllimet e poliedrave të rregullt
Ashtu si çdo trup tjetër gjeometrik, poliedrat e rregullt kanë vëllime të ndryshme. Më poshtë janë formulat me të cilat mund t'i llogaritni ato:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktaedron: α x 3√2: 3;
- ikosaedron; α x 3;
- heksaedron (kub): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementet e poliedrave të rregullt
Gjashtëkëndëshi dhe oktaedri janë trupa gjeometrikë të dyfishtë. Me fjalë të tjera, ato mund të merren nga njëra-tjetra nëse qendra e gravitetit të fytyrës së njërës merret si kulm i tjetrës dhe anasjelltas. Ikozaedri dhe dodekaedri janë gjithashtu të dyfishtë. Vetëm tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete. Sipas metodës Euklidi, ju mund të merrni një dodekaedron nga një gjashtëkëndor duke ndërtuar "çati" në faqet e një kubi. Kulmet e një tetraedri do të jenë çdo 4 kulme të një kubi që nuk janë ngjitur në çifte përgjatë një skaji. Nga gjashtëkëndëshi (kubi) mund të merrni poliedra të tjerë të rregullt. Pavarësisht nga fakti se ka shumëkëndësha të panumërt të rregullt, ka vetëm 5 poliedra të rregullt.
Rrezja e shumëkëndëshave të rregullt
Ka 3 sfera koncentrike të lidhura me secilin prej këtyre trupave gjeometrikë:
- përshkruar, duke kaluar nëpër majat e tij;
- shkruar, duke prekur secilën nga fytyrat e saj në qendër;
- mediane, duke prekur të gjitha skajet në mes.
Rrezja e sferës së përshkruar llogaritet me formulën e mëposhtme:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Rrezja e një sfere të brendashkruar llogaritet me formulën:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
ku θ është këndi diedral midis faqeve ngjitur.
Rrezja e sferës mesatare mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
ku vlera h=4, 6, 6, 10 ose 10. Raporti i rrezeve të rrethuara dhe të brendashkruara është simetrik në lidhje me p dhe q. Ajollogaritur me formulën:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetria e poliedrit
Simetria e poliedrave të rregullt shkakton interesin kryesor në këta trupa gjeometrikë. Kuptohet si një lëvizje e tillë e trupit në hapësirë, e cila lë të njëjtin numër kulmesh, faqesh dhe skajesh. Me fjalë të tjera, nën efektin e një transformimi simetrie, një skaj, kulm, fytyra ose ruan pozicionin e saj origjinal ose lëviz në pozicionin origjinal të një skaji, kulmi ose faqeje tjetër.
Elementet e simetrisë së poliedrave të rregullt janë karakteristikë për të gjitha llojet e trupave të tillë gjeometrikë. Këtu po flasim për një transformim identik që lë çdo pikë në pozicionin e tij origjinal. Pra, kur rrotulloni një prizëm poligonal, mund të merrni disa simetri. Secili prej tyre mund të përfaqësohet si produkt i reflektimeve. Një simetri që është produkt i një numri çift reflektimesh quhet vijë e drejtë. Nëse është prodhim i një numri tek reflektimesh, atëherë quhet i anasjelltë. Kështu, të gjitha rrotullimet rreth një linje janë simetri të drejtpërdrejtë. Çdo reflektim i një poliedri është një simetri e kundërt.
Për të kuptuar më mirë elementet e simetrisë së shumëkëndëshave të rregullt, mund të marrim shembullin e një katërkëndëshi. Çdo vijë e drejtë që do të kalojë nëpër njërën nga kulmet dhe qendrën e kësaj figure gjeometrike do të kalojë edhe nga qendra e fytyrës përballë saj. Secila nga kthesat 120° dhe 240° rreth vijës është shumës.simetria e tetraedrit. Meqenëse ka 4 kulme dhe 4 faqe, ka vetëm tetë simetri të drejtpërdrejta. Secila prej vijave që kalon nga mesi i skajit dhe qendra e këtij trupi kalon nga mesi i skajit të kundërt të tij. Çdo rrotullim 180°, i quajtur gjysmë rrotullimi, rreth një vije të drejtë është një simetri. Meqenëse tetrahedroni ka tre palë skaje, ka edhe tre simetri të drejtpërdrejta. Bazuar në sa më sipër, mund të konkludojmë se numri i përgjithshëm i simetrive të drejtpërdrejta, duke përfshirë transformimin identik, do të arrijë në dymbëdhjetë. Tetrahedroni nuk ka simetri të tjera të drejtpërdrejta, por ka 12 simetri të anasjellta. Prandaj, tetrahedroni karakterizohet nga gjithsej 24 simetri. Për qartësi, mund të ndërtoni një model të një tetraedri të rregullt nga kartoni dhe të siguroheni që ky trup gjeometrik të ketë vërtet vetëm 24 simetri.
Dodekaedri dhe ikozaedri janë më afër sferës së trupit. Ikozaedri ka numrin më të madh të faqeve, këndin më të madh dihedral dhe mund të shtypet më fort kundër një sfere të gdhendur. Dodekaedri ka defektin më të vogël këndor, këndin më të madh të ngurtë në kulm. Ai mund ta mbushë sferën e tij të përshkruar në maksimum.
Fshitje të poliedrave
Polyedra të rregullta të pambështjella, të cilat ne të gjithë i kemi ngjitur së bashku në fëmijëri, kanë shumë koncepte. Nëse ka një koleksion poligonesh, secila anë e të cilave identifikohet vetëm me njërën anë të poliedrit, atëherë identifikimi i anëve duhet të plotësojë dy kushte:
- nga çdo shumëkëndësh, mund të kaloni mbi shumëkëndëshat që kanëana e identifikuar;
- anët e identifikuar duhet të kenë të njëjtën gjatësi.
Është bashkësia e shumëkëndëshave që plotësojnë këto kushte që quhet zhvillimi i shumëkëndëshit. Secili prej këtyre trupave ka disa prej tyre. Kështu, për shembull, një kub ka 11 prej tyre.
