Koncepti i një prizmi. Formulat e vëllimit për prizmat e llojeve të ndryshme: të rregullta, të drejta dhe të zhdrejta. Zgjidhja e problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Vëllimi është një karakteristikë e çdo figure që ka dimensione jo zero në të tre dimensionet e hapësirës. Në këtë artikull, nga pikëpamja e stereometrisë (gjeometria e figurave hapësinore), do të shqyrtojmë një prizëm dhe do të tregojmë se si të gjejmë vëllimet e prizmave të llojeve të ndryshme.

Çfarë është një prizëm?

Stereometria ka përgjigjen e saktë për këtë pyetje. Një prizëm në të kuptohet si një figurë e formuar nga dy faqe identike poligonale dhe disa paralelograme. Figura më poshtë tregon katër prizma të ndryshëm.

Secili prej tyre mund të merret si më poshtë: ju duhet të merrni një shumëkëndësh (trekëndësh, katërkëndësh, etj.) dhe një segment me një gjatësi të caktuar. Pastaj çdo kulm i poligonit duhet të transferohet duke përdorur segmente paralele në një plan tjetër. Në rrafshin e ri, i cili do të jetë paralel me atë origjinal, do të fitohet një poligon i ri, i ngjashëm me atë të zgjedhur fillimisht.

Prizmat mund të jenë të llojeve të ndryshme. Pra, ato mund të jenë të drejta, të zhdrejta dhe të sakta. Nëse buza anësore e prizmit (segmenti,që lidh kulmet e bazave) pingul me bazat e figurës, atëherë kjo e fundit është një vijë e drejtë. Prandaj, nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ne po flasim për një prizëm të prirur. Një figurë e rregullt është një prizëm i drejtë me një bazë barabrinjës dhe barabrinjës.

Më vonë në artikull do të tregojmë se si të llogarisim vëllimin e secilit prej këtyre llojeve të prizmave.

Vëllimi i prizmave të rregullt

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë. Ne japim formulën për vëllimin e një prizmi të rregullt me bazë n-gonale. Formula e vëllimit V për çdo figurë të klasës në shqyrtim është si më poshtë:

V=S_oh.

Dmth, për të përcaktuar vëllimin, mjafton të llogarisni sipërfaqen e njërës prej bazave S_o dhe ta shumëzoni atë me lartësinë h të figurës.

Në rastin e një prizmi të rregullt, le të shënojmë gjatësinë e anës së bazës së tij me shkronjën a dhe lartësinë, e cila është e barabartë me gjatësinë e skajit anësor, me shkronjën h. Nëse baza e n-gon është e saktë, atëherë mënyra më e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e saj është të përdorni formulën universale të mëposhtme:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Duke zëvendësuar vlerën e numrit të anëve n dhe gjatësisë së njërës anë a në barazi, mund të llogarisni sipërfaqen e bazës n-gonale. Vini re se funksioni kotangjent këtu llogaritet për këndin pi/n, i cili shprehet në radianë.

Duke pasur parasysh barazinë e shkruar për S, marrim formulën përfundimtare për vëllimin e një prizmi të rregullt:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Për çdo rast specifik, mund të shkruani formulat përkatëse për V, por të gjithavijojnë në mënyrë unike nga shprehja e përgjithshme e shkruar. Për shembull, për një prizëm të rregullt katërkëndor, i cili në rastin e përgjithshëm është një paralelipiped drejtkëndor, marrim:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Nëse marrim h=a në këtë shprehje, atëherë marrim formulën për vëllimin e kubit.

Vëllimi i prizmave të drejtpërdrejta

Vëmë re menjëherë se për figurat e drejta nuk ka një formulë të përgjithshme për llogaritjen e vëllimit, e cila u dha më lart për prizmat e rregullt. Kur të gjeni vlerën në fjalë, duhet të përdoret shprehja origjinale:

V=S_oh.

Këtu h është gjatësia e skajit anësor, si në rastin e mëparshëm. Sa i përket zonës bazë S_o, ajo mund të marrë një sërë vlerash. Detyra e llogaritjes së një prizmi të drejtë të vëllimit reduktohet në gjetjen e sipërfaqes së bazës së tij.

Llogaritja e vlerës së S_oduhet të kryhet bazuar në karakteristikat e vetë bazës. Për shembull, nëse është një trekëndësh, atëherë zona mund të llogaritet kështu:

S_o3=1/2ah_a.

Këtu h_a është apotema e trekëndëshit, domethënë lartësia e tij e ulur në bazën a.

Nëse baza është një katërkëndësh, atëherë mund të jetë një trapez, një paralelogram, një drejtkëndësh ose një lloj krejtësisht arbitrar. Për të gjitha këto raste, duhet të përdorni formulën e duhur të planimetrisë për të përcaktuar zonën. Për shembull, për një trapez, kjo formulë duket si:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Aty ku h_a është lartësia e trapezit, a₁ dhe a₂ janë gjatësitë të anëve të tij paralele.

Për të përcaktuar sipërfaqen për shumëkëndëshat e rendit më të lartë, duhet t'i ndani ato në forma të thjeshta (trekëndësha, katërkëndësha) dhe të llogaritni shumën e sipërfaqeve të këtyre të fundit.

Vëllimi i Prizmit të Anuar

Ky është rasti më i vështirë për të llogaritur vëllimin e një prizmi. Formula e përgjithshme për shifra të tilla vlen gjithashtu:

V=S_oh.

Megjithatë, kompleksitetit të gjetjes së sipërfaqes së bazës që përfaqëson një lloj poligoni arbitrar, i shtohet problemi i përcaktimit të lartësisë së figurës. Është gjithmonë më e vogël se gjatësia e skajit anësor në një prizëm të pjerrët.

Mënyra më e lehtë për të gjetur këtë lartësi është nëse dini ndonjë kënd të figurës (të sheshtë ose dykëndësh). Nëse jepet një kënd i tillë, atëherë duhet përdorur për të ndërtuar një trekëndësh kënddrejtë brenda prizmit, i cili do të përmbajë lartësinë h si një nga brinjët dhe, duke përdorur funksionet trigonometrike dhe teoremën e Pitagorës, të gjejë vlerën h..

Problemi gjeometrik i vëllimit

Jep një prizëm të rregullt me bazë trekëndore, me lartësi 14 cm dhe gjatësi brinjë 5 cm. Sa është vëllimi i prizmit trekëndor?

Meqenëse po flasim për shifrën e saktë, kemi të drejtë të përdorim formulën e njohur. Ne kemi:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Një prizëm trekëndor është një figurë mjaft simetrike, në formën e së cilës shpesh bëhen struktura të ndryshme arkitekturore. Ky prizëm xhami përdoret në optikë.