Formula e vëllimit të prizmit. Vëllimet e figurave të rregullta katërkëndëshe dhe gjashtëkëndore

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Prizmi është një shumëfaqësh ose shumëfaqësh, i cili studiohet në kursin shkollor të gjeometrisë së ngurtë. Një nga vetitë e rëndësishme të këtij poliedri është vëllimi i tij. Le të shqyrtojmë në artikull se si mund të llogaritet kjo vlerë, dhe gjithashtu të japim formulat për vëllimin e prizmave - katërkëndëshe të rregullta dhe gjashtëkëndore.

Prisma në stereometri

Kjo figurë kuptohet si një shumëkëndësh, i cili përbëhet nga dy shumëkëndësha identikë të vendosur në plane paralele dhe nga disa paralelograme. Për disa lloje prizmash, paralelogramet mund të përfaqësojnë katërkëndësha ose katrorë drejtkëndëshe. Më poshtë është një shembull i të ashtuquajturit prizëm pesëkëndor.

Për të ndërtuar një figurë si në figurën e mësipërme, duhet të merrni një pesëkëndësh dhe të kryeni transferimin e tij paralel në një distancë të caktuar në hapësirë. Duke lidhur brinjët e dy pesëkëndëshave duke përdorur paralelogramë, marrim prizmin e dëshiruar.

Çdo prizëm përbëhet nga faqe, kulme dhe skaje. Kulmet e prizmitndryshe nga piramida, janë të barabarta, secila prej tyre i referohet njërës nga dy bazat. Fytyrat dhe skajet janë dy llojesh: ato që u përkasin bazave dhe ato që u përkasin anëve.

Prizmat janë të disa llojeve (të sakta, të zhdrejta, konvekse, të drejta, konkave). Le të shqyrtojmë më vonë në artikull me çfarë formule llogaritet vëllimi i prizmit, duke marrë parasysh formën e figurës.

Shprehje e përgjithshme për përcaktimin e vëllimit të një prizmi

Pavarësisht se cilit lloj i përket figura në studim, nëse është e drejtë apo e zhdrejtë, e rregullt apo e çrregullt, ekziston një shprehje universale që ju lejon të përcaktoni vëllimin e saj. Vëllimi i një figure hapësinore është zona e hapësirës që është e mbyllur midis fytyrave të saj. Formula e përgjithshme për vëllimin e një prizmi është:

V=S_o × h.

Këtu S_o përfaqëson sipërfaqen e bazës. Duhet mbajtur mend se ne po flasim për një bazë, dhe jo për dy. Vlera h është lartësia. Lartësia e figurës në studim kuptohet si distanca midis bazave të saj identike. Nëse kjo distancë përkon me gjatësinë e brinjëve anësore, atëherë flitet për një prizëm të drejtë. Në një figurë të drejtë, të gjitha anët janë drejtkëndësha.

Kështu, nëse një prizëm është i zhdrejtë dhe ka një shumëkëndësh bazë të parregullt, atëherë llogaritja e vëllimit të tij bëhet më e ndërlikuar. Nëse figura është e drejtë, atëherë llogaritja e vëllimit zvogëlohet vetëm në përcaktimin e sipërfaqes së bazës S_o.

Përcaktimi i vëllimit të një figure të rregullt

I rregullt është çdo prizëm që është i drejtë dhe ka një bazë shumëkëndëshe me brinjë dhe kënde të barabarta me njëra-tjetrën. Për shembull, shumëkëndësha të tillë të rregullt janë një katror dhe një trekëndësh barabrinjës. Në të njëjtën kohë, një romb nuk është një figurë e rregullt, pasi jo të gjithë këndet e tij janë të barabartë.

Formula për vëllimin e një prizmi të rregullt rrjedh pa mëdyshje nga shprehja e përgjithshme për V, e cila u shkrua në paragrafin e mëparshëm të artikullit. Para se të vazhdoni të shkruani formulën përkatëse, është e nevojshme të përcaktoni zonën e bazës së saktë. Pa hyrë në detaje matematikore, ne paraqesim formulën për përcaktimin e zonës së treguar. Ai është universal për çdo n-gon të rregullt dhe ka formën e mëposhtme:

S=n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Siç mund ta shihni nga shprehja, zona S_n është një funksion i dy parametrave. Një numër i plotë n mund të marrë vlera nga 3 në pafundësi. Vlera a është gjatësia e anës së këndit n.

Për të llogaritur vëllimin e një figure, është e nevojshme vetëm të shumëzohet zona S me lartësinë h ose me gjatësinë e skajit anësor b (h=b). Si rezultat, arrijmë në formulën e mëposhtme të punës:

V=n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Vini re se për të përcaktuar vëllimin e një prizmi të një lloji arbitrar, duhet të dini disa sasi (gjatësitë e anëve të bazës, lartësia, këndet dihedrale të figurës), por për të llogaritur vlerën V të një prizëm i rregullt, duhet të dimë vetëm dy parametra linearë, për shembull, a dhe h.

Vëllimi i një prizmi të rregullt katërkëndor

Një prizëm katërkëndor quhet paralelipiped. Nëse të gjitha fytyrat e tij janë të barabarta dhe janë katrore, atëherë një figurë e tillë do të jetë një kub. Çdo nxënës e di se vëllimi i një paralelipipedi ose kubi drejtkëndor përcaktohet duke shumëzuar tre anët e tij të ndryshme (gjatësia, lartësia dhe gjerësia). Ky fakt rrjedh nga shprehja e shkruar e përgjithshme e vëllimit për një figurë të rregullt:

V=n/4 × ctg (pi / n) × a² × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a²× h=a² × h.

Këtu kotangjentja 45° është e barabartë me 1. Vini re se barazia e lartësisë h dhe gjatësisë së anës së bazës a çon automatikisht në formulën për vëllimin e një kubi.

Vëllimi i prizmit të rregullt gjashtëkëndor

Tani zbatoni teorinë e mësipërme për të përcaktuar vëllimin e një figure me bazë gjashtëkëndore. Për ta bërë këtë, thjesht duhet të zëvendësoni vlerën n=6 në formulën:

V=6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h=3 × √3/2 × a² × h.

Shprehja e shkruar mund të merret në mënyrë të pavarur pa përdorur formulën universale për S. Për ta bërë këtë, ju duhet të ndani gjashtëkëndëshin e rregullt në gjashtë trekëndësha barabrinjës. Ana e secilës prej tyre do të jetë e barabartë me a. Sipërfaqja e një trekëndëshi korrespondon me:

S₃=√3/4 × a².

Duke shumëzuar këtë vlerë me numrin e trekëndëshave (6) dhe me lartësinë, marrim formulën e mësipërme për vëllimin.