Formula për përcaktimin e vëllimit të një koni. Shembull i zgjidhjes së problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Çdo nxënës në studimin e stereometrisë në shkollën e mesme hasi në një kon. Dy karakteristika të rëndësishme të kësaj figure hapësinore janë sipërfaqja dhe vëllimi. Në këtë artikull, ne do të tregojmë se si të gjejmë vëllimin e një koni të rrumbullakët.

Koni i rrumbullakët si figurë e rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejt

Para se të shkoni drejtpërdrejt në temën e artikullit, është e nevojshme të përshkruani konin nga një këndvështrim gjeometrik.

Le të ketë një trekëndësh kënddrejtë. Nëse e rrotulloni rreth ndonjërës prej këmbëve, atëherë rezultati i këtij veprimi do të jetë figura e dëshiruar, e paraqitur në figurën më poshtë.

Këtu, këmba AB është pjesë e boshtit të konit dhe gjatësia e saj korrespondon me lartësinë e figurës. Këmba e dytë (segmenti CA) do të jetë rrezja e konit. Gjatë rrotullimit, ai do të përshkruajë një rreth që kufizon bazën e figurës. Hipotenuza BC quhet gjenerata e figurës, ose gjenerata e saj. Pika B është kulmi i vetëm i konit.

Duke pasur parasysh vetitë e trekëndëshit ABC, ne mund të shkruajmë marrëdhënien midis gjeneratorit g, rrezes r dhe lartësisë h si më poshtëbarazi:

g²=h²+ r²

Kjo formulë është e dobishme për zgjidhjen e shumë problemeve gjeometrike me figurën në fjalë.

Formula e vëllimit të konit

Vëllimi i çdo figure hapësinore është zona e hapësirës, e cila kufizohet nga sipërfaqet e kësaj figure. Ekzistojnë dy sipërfaqe të tilla për një kon:

1. Anësore ose konike. Ai formohet nga të gjitha gjeneratat.
2. Fondacioni. Në këtë rast, është një rreth.

Merrni formulën për përcaktimin e vëllimit të një koni. Për ta bërë këtë, ne e presim mendërisht në shumë shtresa paralelisht me bazën. Secila prej shtresave ka një trashësi dx, e cila tenton në zero. Zona S_x e shtresës në një distancë x nga maja e figurës është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:

S_x=pir²x²/h ²

Vlefshmëria e kësaj shprehjeje mund të verifikohet në mënyrë intuitive duke zëvendësuar vlerat x=0 dhe x=h. Në rastin e parë, do të marrim një sipërfaqe të barabartë me zero, në rastin e dytë, do të jetë e barabartë me sipërfaqen e bazës së rrumbullakët.

Për të përcaktuar vëllimin e konit, duhet të shtoni "vëllime" të vogla të secilës shtresë, domethënë, duhet të përdorni llogaritjen integrale:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Duke llogaritur këtë integral, arrijmë në formulën përfundimtare për një kon të rrumbullakët:

V=1/3pir²h

Është interesante të theksohet se kjo formulë është plotësisht e ngjashme me atë të përdorur për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare. Kjo rastësi nuk është e rastësishme, sepse çdo piramidë bëhet kon kur numri i skajeve të saj rritet në pafundësi.

Problemi me llogaritjen e volumit

Është e dobishme të jepet një shembull i zgjidhjes së problemit, i cili do të demonstrojë përdorimin e formulës së prejardhur për vëllimin V.

Jep një kon të rrumbullakët, sipërfaqja e bazës së të cilit është 37 cm², dhe gjeneratori i figurës është trefishi i rrezes. Sa është vëllimi i konit?

Kemi të drejtë të përdorim formulën e vëllimit nëse dimë dy madhësi: lartësinë h dhe rrezen r. Le të gjejmë formulat që i përcaktojnë ato në përputhje me gjendjen e problemit.

Rrezja r mund të llogaritet duke ditur sipërfaqen e rrethit S_o, kemi:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Duke përdorur kushtin e problemit, shkruajmë barazinë për gjeneratorin g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Duke ditur formulat për r dhe g, llogaritni lartësinë h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Kemi gjetur të gjithë parametrat e nevojshëm. Tani është koha për t'i futur ato në formulën për V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Mbetet për të zëvendësuarzona bazë S_o dhe llogaritni vlerën e volumit: V=119,75 cm³.