Studimi i vetive të figurave hapësinore luan një rol të rëndësishëm në zgjidhjen e problemeve praktike. Shkenca që merret me figurat në hapësirë quhet stereometri. Në këtë artikull, nga pikëpamja e gjeometrisë së fortë, ne do të shqyrtojmë një kon dhe do të tregojmë se si të gjejmë sipërfaqen e një koni.
Koni me bazë të rrumbullakët
Në rastin e përgjithshëm, një kon është një sipërfaqe e ndërtuar mbi një kurbë të rrafshët, të gjitha pikat e së cilës janë të lidhura me segmente me një pikë në hapësirë. Ky i fundit quhet maja e konit.
Nga përkufizimi i mësipërm, është e qartë se një kurbë mund të ketë një formë arbitrare, si parabolike, hiperbolike, eliptike, etj. Megjithatë, në praktikë dhe në problemet në gjeometri, shpesh haset një kon i rrumbullakët. Ajo tregohet në foton më poshtë.
Këtu simboli r tregon rrezen e rrethit të vendosur në bazën e figurës, h është pingul me rrafshin e rrethit, i cili është tërhequr nga maja e figurës. Ajo quhet lartësi. Vlera s është gjenerata e konit, ose gjenerata e tij.
Mund të shihet se segmentet r, h dhe sformojnë një trekëndësh kënddrejtë. Nëse rrotullohet rreth këmbës h, atëherë hipotenuza s do të përshkruajë sipërfaqen konike dhe këmba r formon bazën e rrumbullakët të figurës. Për këtë arsye, koni konsiderohet një figurë e revolucionit. Tre parametrat linearë të emërtuar janë të ndërlidhur nga barazia:
s2=r2+ h2
Vini re se barazia e dhënë është e vlefshme vetëm për një kon të drejtë të rrumbullakët. Një figurë e drejtë është vetëm nëse lartësia e saj bie saktësisht në qendër të rrethit bazë. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë figura quhet e zhdrejtë. Dallimi midis konëve të drejtë dhe të zhdrejtë është paraqitur në figurën më poshtë.
Zhvillimi i formës
Studimi i sipërfaqes së një koni është i përshtatshëm për t'u kryer, duke e konsideruar atë në një aeroplan. Kjo mënyrë e paraqitjes së sipërfaqes së figurave në hapësirë quhet zhvillimi i tyre. Për një kon, ky zhvillim mund të merret si më poshtë: ju duhet të merrni një figurë të bërë, për shembull, nga letra. Më pas, me gërshërë prisni bazën e rrumbullakët rreth perimetrit. Pas kësaj, përgjatë gjeneratorit, bëni një prerje të sipërfaqes konike dhe kthejeni atë në një plan. Rezultati i këtyre operacioneve të thjeshta do të jetë zhvillimi i konit, i paraqitur në figurën më poshtë.
Siç mund ta shihni, sipërfaqja e një koni me të vërtetë mund të përfaqësohet në një plan. Ai përbëhet nga dy pjesët e mëposhtme:
- rreth me rreze r që përfaqëson bazën e figurës;
- sektor rrethor me rreze g, që është një sipërfaqe konike.
Formula për sipërfaqen e një koni përfshin gjetjen e zonave të të dy sipërfaqeve të shpalosura.
Llogaritni sipërfaqen e një figure
Le ta ndajmë detyrën në dy faza. Së pari gjejmë sipërfaqen e bazës së konit, pastaj sipërfaqen e sipërfaqes konike.
Pjesa e parë e problemit është e lehtë për t'u zgjidhur. Meqenëse rrezja r është dhënë, mjafton të kujtoni shprehjen përkatëse për sipërfaqen e një rrethi për të llogaritur sipërfaqen e bazës. Le ta shkruajmë:
So=pi × r2
Nëse rrezja nuk dihet, atëherë së pari duhet ta gjeni duke përdorur formulën e lidhjes ndërmjet saj, lartësisë dhe gjeneratorit.
Pjesa e dytë e problemit të gjetjes së zonës së një koni është disi më e ndërlikuar. Vini re se sektori rrethor është i ndërtuar mbi rrezen g të gjeneratorit dhe kufizohet nga një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me perimetrin e rrethit. Ky fakt ju lejon të shkruani proporcionin dhe të gjeni këndin e sektorit të konsideruar. Le ta shënojmë me shkronjën greke φ. Ky kënd do të jetë i barabartë me:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Duke ditur këndin qendror φ të një sektori rrethor, mund të përdorni proporcionin e duhur për të gjetur sipërfaqen e tij. Le ta shënojmë me simbolin Sb. Do të jetë e barabartë me:
2 × pi=> pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Dmth sipërfaqja e sipërfaqes konike korrespondon me produktin e gjeneratorit g, rrezen e bazës r dhe numrin Pi.
Duke ditur se cilat janë fushat e të dyjavesipërfaqet e konsideruara, mund të shkruajmë formulën përfundimtare për sipërfaqen e një koni:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Shprehja e shkruar supozon njohuri për dy parametra linearë të konit për të llogaritur S. Nëse g ose r janë të panjohura, atëherë ato mund të gjenden përmes lartësisë h.
Problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një koni
Dihet se lartësia e një koni të drejtë të rrumbullakët është e barabartë me diametrin e tij. Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e figurës, duke ditur që sipërfaqja e bazës së saj është 50 cm2.
Duke ditur sipërfaqen e një rrethi, mund të gjeni rrezen e figurës. Ne kemi:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Tani le të gjejmë gjeneratorin g në terma h dhe r. Sipas kushtit, lartësia h e figurës është e barabartë me dy rreze r, atëherë:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Formulat e gjetura për g dhe r duhet të zëvendësohen në shprehjen për të gjithë zonën e konit. Ne marrim:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
Në shprehjen që rezulton zëvendësojmë sipërfaqen e bazës So dhe shkruajmë përgjigjen: S ≈ 161,8 cm2.
