Përparimi i njerëzimit është kryesisht për shkak të zbulimeve të bëra nga gjenitë. Një prej tyre është Blaise Pascal. Biografia e tij krijuese konfirmon edhe një herë të vërtetën e shprehjes së Lion Feuchtwanger "Një person i talentuar, i talentuar në gjithçka". Të gjitha arritjet shkencore të këtij shkencëtari të madh janë të vështira për t'u numëruar. Midis tyre është një nga shpikjet më elegante në botën e matematikës - trekëndëshi i Paskalit.
Disa fjalë për gjeniun
Blaise Pascal vdiq herët sipas standardeve moderne, në moshën 39-vjeçare. Megjithatë, në jetën e tij të shkurtër ai u shqua si një fizikan, matematikan, filozof dhe shkrimtar i shquar. Pasardhësit mirënjohës e quajtën njësinë e presionit dhe gjuhën popullore të programimit Pascal për nder të tij. Është përdorur për gati 60 vjet për të mësuar se si të shkruani kode të ndryshme. Për shembull, me ndihmën e tij, çdo student mund të shkruajë një program për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi në Pascal, si dhe të eksplorojë vetitë e qarkut, rrethqë do të diskutohet më poshtë.
Veprimtaria e këtij shkencëtari me mendim të jashtëzakonshëm përfshin një larmi të gjerë fushash të shkencës. Në veçanti, Blaise Pascal është një nga themeluesit e hidrostatikës, analizës matematikore, disa fushave të gjeometrisë dhe teorisë së probabilitetit. Gjithashtu, ai:
- krijoi një kalkulator mekanik të njohur si rrota Pascal;
- siguroi prova eksperimentale që ajri ka elasticitet dhe peshë;
- përcaktoi që një barometër mund të përdoret për të parashikuar motin;
- shpiku karrocën;
- shpiku omnibus - karroca me kuaj me rrugë fikse, e cila më vonë u bë lloji i parë i transportit të rregullt publik, etj.
Trekëndëshi aritmetik i Paskalit
Siç është përmendur tashmë, ky shkencëtar i madh francez dha një kontribut të madh në shkencën matematikore. Një nga kryeveprat e tij absolute shkencore është "Traktati mbi trekëndëshin aritmetik", i cili përbëhet nga koeficientë binomialë të renditur në një rend të caktuar. Vetitë e kësaj skeme janë të habitshme në diversitetin e tyre dhe ajo vetë konfirmon fjalën e urtë "Çdo gjë e zgjuar është e thjeshtë!".
Pak histori
Për të qenë të drejtë, duhet thënë se në fakt trekëndëshi i Paskalit ishte i njohur në Evropë qysh në fillim të shekullit të 16-të. Në veçanti, imazhi i tij mund të shihet në kopertinën e një libri shkollor aritmetik nga astronomi i famshëm Peter Apian nga Universiteti i Ingolstadt. Një trekëndësh i ngjashëm tregohet gjithashtu si ilustrim.në një libër të matematikanit kinez Yang Hui, botuar në 1303. Poeti dhe filozofi i shquar persian Omar Khayyam ishte gjithashtu i vetëdijshëm për pronat e tij në fillim të shekullit të 12-të. Për më tepër, besohet se ai e ka takuar atë nga traktatet e shkencëtarëve arabë dhe indianë të shkruar më parë.
Përshkrim
Para se të eksploroni vetitë më interesante të trekëndëshit të Paskalit, i bukur në përsosmërinë dhe thjeshtësinë e tij, ia vlen të dini se çfarë është.
Në aspektin shkencor, kjo skemë numerike është një tabelë trekëndore e pafund e formuar nga koeficientët binomialë të renditur në një rend të caktuar. Në krye dhe në anët e tij janë numrat 1. Pozicionet e mbetura i zënë numra të barabartë me shumën e dy numrave që ndodhen sipër tyre pranë njëri-tjetrit. Për më tepër, të gjitha vijat e trekëndëshit të Paskalit janë simetrike rreth boshtit të tij vertikal.
Veçoritë themelore
Trekëndëshi i Pascalit godet me përsosmërinë e tij. Për çdo rresht të numëruar n (n=0, 1, 2…) e vërtetë:
- numrat e parë dhe të fundit janë 1;
- e dyta dhe e parafundit - n;
- numri i tretë është i barabartë me numrin trekëndor (numri i rrathëve që mund të renditen në një trekëndësh barabrinjës, d.m.th. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Numri i katërt është tetrahedral, pra është një piramidë me një trekëndësh në bazë.
Përveç kësaj, relativisht kohët e fundit, në vitin 1972, u krijua një tjetër veti e trekëndëshit të Paskalit. Në mënyrë që aipër ta zbuluar, duhet të shkruani elementet e kësaj skeme në formën e një tabele me një zhvendosje rreshti me 2 pozicione. Pastaj vini re numrat e pjesëtueshëm me numrin e rreshtit. Rezulton se numri i kolonës në të cilën janë theksuar të gjithë numrat është një numër i thjeshtë.
I njëjti mashtrim mund të bëhet në një mënyrë tjetër. Për ta bërë këtë, në trekëndëshin e Paskalit, numrat zëvendësohen me mbetjet e pjesëtimit të tyre me numrin e rreshtit në tabelë. Pastaj linjat janë rregulluar në trekëndëshin që rezulton në mënyrë që tjetra të fillojë 2 kolona në të djathtë nga elementi i parë i atij të mëparshëm. Më pas, kolonat me numra që janë numra të thjeshtë do të përbëhen vetëm nga zero, dhe ato me numra të përbërë do të përmbajnë të paktën një zero.
Lidhja me binomin e Njutonit
Siç e dini, ky është emri i formulës për zgjerimin në terma të një fuqie të plotë jo-negative të shumës së dy ndryshoreve, e cila duket si:
Koeficientët e pranishëm në to janë të barabartë me C m =n! / (m! (n - m)!), ku m është numri rendor në rreshtin n të trekëndëshit të Paskalit. Me fjalë të tjera, duke pasur këtë tabelë në dorë, ju lehtë mund të ngrini çdo numër në një fuqi, pasi i keni zbërthyer më parë në dy terma.
Kështu, trekëndëshi i Paskalit dhe binomi i Njutonit janë të lidhur ngushtë.
Mrekullitë e matematikës
Një ekzaminim nga afër i trekëndëshit të Paskalit zbulon se:
- shuma e të gjithë numrave në rreshtin menumri serial n (duke numëruar nga 0) është 2;
- nëse vijat lihen të rreshtuara, atëherë shumat e numrave që ndodhen përgjatë diagonaleve të trekëndëshit të Paskalit, duke shkuar nga poshtë lart dhe nga e majta në të djathtë, janë të barabarta me numrat Fibonacci;
- "diagonalja" e parë përbëhet nga numra natyrorë sipas renditjes;
- çdo element nga trekëndëshi i Paskalit, i reduktuar me një, është i barabartë me shumën e të gjithë numrave të vendosur brenda paralelogramit, i cili kufizohet nga diagonalet majtas dhe djathtas që kryqëzohen në këtë numër;
- në çdo rresht të diagramit, shuma e numrave në vendet çift është e barabartë me shumën e elementeve në vendet tek.
Trekëndëshi i Sierpinskit
Një skemë kaq interesante matematikore, mjaft premtuese për zgjidhjen e problemeve komplekse, përftohet duke ngjyrosur numrat çift të figurës së Paskalit në një ngjyrë dhe numrat tek në një tjetër.
Trekëndëshi i Sierpinskit mund të ndërtohet në një mënyrë tjetër:
- në skemën e hijezuar Pascal, trekëndëshi i mesit është rilyer me një ngjyrë tjetër, e cila formohet duke lidhur mesin e anëve të atij origjinal;
- bëni saktësisht të njëjtën gjë me tre të palyera të vendosura në qoshe;
- nëse procedura vazhdon pafundësisht, atëherë rezultati duhet të jetë një figurë me dy ngjyra.
Vetësia më interesante e trekëndëshit të Sierpinskit është vetëngjashmëria e tij, pasi përbëhet nga 3 kopje të tij, të cilat reduktohen me 2 herë. Na lejon t'ia atribuojmë këtë skemë kthesave fraktal, dhe ato, siç tregohet nga më të funditkërkimi është më i përshtatshmi për modelimin matematikor të reve, bimëve, deltat e lumenjve dhe vetë universit.
Disa detyra interesante
Ku përdoret trekëndëshi i Paskalit? Shembujt e detyrave që mund të zgjidhen me ndihmën e tij janë mjaft të larmishëm dhe i përkasin fushave të ndryshme të shkencës. Le të hedhim një vështrim në disa nga më interesantet.
Problemi 1. Një qytet i madh i rrethuar nga një mur fortesë ka vetëm një portë hyrëse. Në kryqëzimin e parë, rruga kryesore ndahet në dysh. E njëjta gjë ndodh me çdo tjetër. Në qytet hyjnë 210 persona. Në secilën nga kryqëzimet që takohen, ato ndahen në gjysmë. Sa njerëz do të gjenden në çdo kryqëzim kur nuk do të jetë më e mundur të ndahet. Përgjigja e saj është rreshti 10 i trekëndëshit të Paskalit (formula e koeficientit është paraqitur më sipër), ku numrat 210 ndodhen në të dy anët e boshtit vertikal.
Detyra 2. Janë 7 emra ngjyrash. Ju duhet të bëni një buqetë me 3 lule. Kërkohet të zbulohet se në sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kjo. Ky problem është nga fusha e kombinatorikës. Për ta zgjidhur atë, ne përsëri përdorim trekëndëshin e Paskalit dhe futemi në rreshtin e 7-të në pozicionin e tretë (duke numëruar në të dyja rastet nga 0) numrin 35.
Tani e dini se çfarë shpiku filozofi dhe shkencëtari i madh francez Blaise Pascal. Trekëndëshi i tij i famshëm, kur përdoret si duhet, mund të bëhet një shpëtimtar i vërtetë për zgjidhjen e shumë problemeve, veçanërisht nga terreni.kombinatorika. Përveç kësaj, mund të përdoret për të zgjidhur mistere të shumta që lidhen me fraktale.
