Një trekëndësh është një shumëkëndësh me tre brinjë (tre qoshe). Më shpesh, anët shënohen me shkronja të vogla, që korrespondojnë me shkronjat e mëdha që tregojnë kulme të kundërta. Në këtë artikull do të njihemi me llojet e këtyre formave gjeometrike, teorema që përcakton sa është shuma e këndeve të një trekëndëshi.
Shikime sipas këndeve
Dallohen llojet e mëposhtme të shumëkëndëshave me tre kulme:
- me kënd akute, në të cilin të gjitha qoshet janë të mprehta;
- drejtkëndëshe, që ka një kënd të drejtë, ndërsa brinjët që e formojnë quhen këmbë, dhe ana që vendoset përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë;
- i mpirë kur një cep është i trashë;
- isosceles, në të cilin dy brinjët janë të barabarta, dhe ato quhen anësore, dhe e treta është baza e trekëndëshit;
- barabrinjës, që ka të tre brinjët e barabarta.
Properties
Ato theksojnë vetitë kryesore që janë karakteristike për çdo lloj trekëndëshi:
- përballë anës më të madhe ka gjithmonë një kënd më të madh dhe anasjelltas;
- anët e kundërta me madhësi të barabartë janë kënde të barabarta, dhe anasjelltas;
- çdo trekëndësh ka dy kënde akute;
- një cep i jashtëm është më i madh se çdo kënd i brendshëm jo ngjitur me të;
- shuma e çdo dy këndi është gjithmonë më e vogël se 180 gradë;
- këndi i jashtëm është i barabartë me shumën e dy këndeve të tjerë që nuk kryqëzohen me të.
Teorema e shumës së trekëndëshit të këndeve
Teorema thotë se nëse mblidhni të gjitha këndet e një figure të caktuar gjeometrike, e cila ndodhet në rrafshin Euklidian, atëherë shuma e tyre do të jetë 180 gradë. Le të përpiqemi të vërtetojmë këtë teoremë.
Le të kemi një trekëndësh arbitrar me kulme të KMN.
Në kulmin M vizatoni një drejtëz paralele me drejtëzën KN (kjo drejtëzë quhet edhe drejtëza Euklidiane). Pikën A e shënojmë në atë mënyrë që pikat K dhe A të vendosen në anë të ndryshme të drejtëzës MN. Marrim kënde të barabarta AMN dhe KNM, të cilat, si ato të brendshme, shtrihen në mënyrë tërthore dhe formohen nga sekanti MN së bashku me drejtëzat KN dhe MA, të cilat janë paralele. Nga kjo rezulton se shuma e këndeve të trekëndëshit të vendosur në kulmet M dhe H është e barabartë me madhësinë e këndit KMA. Të tre këndet përbëjnë shumën, e cila është e barabartë me shumën e këndeve KMA dhe MKN. Meqenëse këto kënde janë të brendshme të njëanshme në lidhje medrejtëza paralele KN dhe MA me një KM sekante, shuma e tyre është 180 gradë. Teorema e provuar.
Pasoja
Përfundimi i mëposhtëm rrjedh nga teorema e provuar më sipër: çdo trekëndësh ka dy kënde akute. Për ta vërtetuar këtë, le të supozojmë se një figurë gjeometrike e dhënë ka vetëm një kënd të mprehtë. Mund të supozohet gjithashtu se asnjë nga këndet nuk është i mprehtë. Në këtë rast, duhet të ketë të paktën dy kënde që janë të barabarta ose më të mëdha se 90 gradë. Por atëherë shuma e këndeve do të jetë më e madhe se 180 gradë. Por kjo nuk mund të jetë, sepse sipas teoremës, shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180 ° - jo më shumë dhe as më pak. Kjo është ajo që duhej vërtetuar.
Prona e këndit të jashtëm
Sa është shuma e këndeve të një trekëndëshi që janë të jashtëm? Kjo pyetje mund të përgjigjet në një nga dy mënyrat. E para është se është e nevojshme të gjendet shuma e këndeve, të cilat merren një në çdo kulm, domethënë tre kënde. E dyta nënkupton që ju duhet të gjeni shumën e të gjashtë këndeve në kulmet. Së pari, le të merremi me opsionin e parë. Pra, trekëndëshi përmban gjashtë qoshe të jashtme - dy në secilën kulm.
Çdo çift ka kënde të barabarta sepse janë vertikale:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Përveç kësaj, dihet se këndi i jashtëm i një trekëndëshi është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshëm që nuk kryqëzohen me të. Prandaj, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Nga kjo rezulton se shuma e jashtmekëndet, të cilat merren një në çdo kulm, do të jenë të barabartë me:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Duke pasur parasysh se shuma e këndeve është 180 gradë, mund të argumentohet se ∟A + ∟B + ∟C=180°. Dhe kjo do të thotë se ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Nëse përdoret opsioni i dytë, atëherë shuma e gjashtë këndeve do të jetë, përkatësisht, dy herë më e madhe. Kjo do të thotë, shuma e këndeve të jashtme të trekëndëshit do të jetë:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
trekëndësh kënddrejt
Sa është shuma e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë? Përgjigja për këtë pyetje, përsëri, rrjedh nga teorema, e cila thotë se këndet në një trekëndësh mblidhen deri në 180 gradë. Dhe deklarata (vetia) jonë tingëllon kështu: në një trekëndësh kënddrejtë, këndet akute shtohen deri në 90 gradë. Le të vërtetojmë vërtetësinë e tij.
Le të na jepet një trekëndësh KMN, në të cilin ∟Н=90°. Është e nevojshme të vërtetohet se ∟K + ∟M=90°.
Pra, sipas teoremës së shumës së këndit ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Gjendja jonë thotë se ∟Н=90°. Kështu rezulton, ∟K + ∟M + 90°=180°. Kjo është, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Kjo është ajo që duhej të vërtetonim.
Përveç vetive të mësipërme të një trekëndëshi kënddrejtë, mund të shtoni sa vijon:
- këndet që shtrihen kundër këmbëve janë të mprehta;
- hipotenuza është trekëndore më shumë se çdo këmbë;
- shuma e këmbëve është më e madhe se hipotenuza;
- këmbënjë trekëndësh që shtrihet përballë një këndi prej 30 gradë është gjysma e hipotenuzës, domethënë e barabartë me gjysmën e tij.
Si një veçori tjetër e kësaj figure gjeometrike, mund të dallohet teorema e Pitagorës. Ajo pohon se në një trekëndësh me një kënd prej 90 gradë (drejtkëndor), shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës.
Shuma e këndeve të një trekëndëshi dykëndësh
Më parë thamë se izosceli është një shumëkëndësh me tre kulme, që përmban dy brinjë të barabarta. Kjo veti e një figure të caktuar gjeometrike është e njohur: këndet në bazën e saj janë të barabarta. Le ta vërtetojmë.
Merrni trekëndëshin KMN, i cili është dykëndësh, KN është baza e tij.
Na kërkohet të vërtetojmë se ∟К=∟Н. Pra, le të themi se MA është përgjysmuesja e trekëndëshit tonë KMN. Trekëndëshi MCA, duke marrë parasysh shenjën e parë të barazisë, është i barabartë me trekëndëshin MCA. Domethënë, me kusht jepet se KM=NM, MA është një anë e përbashkët, ∟1=∟2, pasi MA është një përgjysmues. Duke përdorur faktin që këta dy trekëndësha janë të barabartë, mund të themi se ∟K=∟Н. Pra, teorema vërtetohet.
Por ne jemi të interesuar se cila është shuma e këndeve të një trekëndëshi (izosceles). Duke qenë se në këtë aspekt nuk ka veçoritë e veta, do të nisemi nga teorema e shqyrtuar më parë. Domethënë, mund të themi se ∟K + ∟M + ∟H=180°, ose 2 x ∟K + ∟M=180° (pasi ∟K=∟H). Ne nuk do ta vërtetojmë këtë veti, pasi vetë teorema e shumës së trekëndëshit është vërtetuar më herët.
Me përjashtim të rasteve të diskutuaravetitë rreth këndeve të një trekëndëshi, ka edhe pohime të tilla të rëndësishme:
- në një trekëndësh dykëndësh, lartësia që u ul në bazë është edhe mediana, përgjysmuesja e këndit që është midis brinjëve të barabarta, si dhe boshti i simetrisë së bazës së tij;
- medianet (përgjysmuesit, lartësitë) që janë tërhequr në anët e një figure të tillë gjeometrike janë të barabarta.
trekëndësh barabrinjës
Që quhet edhe drejtë, është trekëndëshi me të gjitha brinjët të barabarta. Prandaj, edhe këndet janë të barabarta. Secila është 60 gradë. Le ta vërtetojmë këtë veti.
Supozojmë se kemi një trekëndësh KMN. Ne e dimë se KM=NM=KN. Dhe kjo do të thotë se sipas vetive të këndeve të vendosura në bazë në një trekëndësh dykëndësh, ∟К=∟М=∟Н. Meqenëse, sipas teoremës, shuma e këndeve të një trekëndëshi është ∟К + ∟М + ∟Н=180°, atëherë 3 x ∟К=180° ose ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Kështu, pohimi vërtetohet.
Siç mund ta shihni nga vërtetimi i mësipërm bazuar në teoremën, shuma e këndeve të një trekëndëshi barabrinjës, si shuma e këndeve të çdo trekëndëshi tjetër, është 180 gradë. Nuk ka nevojë të provohet përsëri kjo teoremë.
Ka edhe veti të tilla karakteristike për një trekëndësh barabrinjës:
- mesatarja, përgjysmuesja, lartësia në një figurë të tillë gjeometrike janë të njëjta dhe gjatësia e tyre llogaritet si (a x √3): 2;
- nëse përshkruani një rreth rreth një shumëkëndëshi të caktuar, atëherë rrezja e tij do të jetëbarazohet (a x √3): 3;
- nëse futni një rreth në një trekëndësh barabrinjës, atëherë rrezja e tij do të jetë (a x √3): 6;
- sipërfaqja e kësaj figure gjeometrike llogaritet me formulën: (a2 x √3): 4.
trekëndësh obt-kënd
Sipas përkufizimit të një trekëndëshi të mpirë, një nga këndet e tij është midis 90 dhe 180 gradë. Por duke qenë se dy këndet e tjera të kësaj figure gjeometrike janë akute, mund të konkludojmë se ato nuk i kalojnë 90 gradë. Prandaj, teorema e shumës së trekëndëshit të këndeve funksionon kur llogaritet shuma e këndeve në një trekëndësh të mpirë. Rezulton se mund të themi me siguri, bazuar në teoremën e lartpërmendur, se shuma e këndeve të një trekëndëshi të mpirë është 180 gradë. Përsëri, kjo teoremë nuk ka nevojë të riprovohet.
