Studimi i teorisë së probabilitetit fillon me zgjidhjen e problemeve të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve. Vlen të përmendet menjëherë se gjatë zotërimit të kësaj fushe njohurie, një student mund të hasë një problem: nëse proceset fizike ose kimike mund të përfaqësohen vizualisht dhe të kuptohen empirikisht, atëherë niveli i abstraksionit matematik është shumë i lartë dhe të kuptuarit këtu vjen vetëm me përvojë.
Megjithatë, loja ia vlen qiri, sepse formulat - të konsideruara në këtë artikull dhe ato më komplekse - përdoren kudo sot dhe mund të jenë të dobishme në punë.
Origjina
Mjaft e çuditshme, shtysa për zhvillimin e këtij seksioni të matematikës ishte … bixhozi. Në të vërtetë, zari, hedhja e monedhës, pokeri, ruleta janë shembuj tipikë që përdorin mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve. Në shembullin e detyrave në çdo tekst shkollor, kjo mund të shihet qartë. Njerëzit ishin të interesuar të mësonin se si të rrisnin shanset e tyre për të fituar, dhe duhet të them se disa ia dolën mbanë në këtë.
Për shembull, tashmë në shekullin e 21-të, një person, emrin e të cilit nuk do ta zbulojmë,përdori këtë njohuri të grumbulluar gjatë shekujve për të "pastruar" fjalë për fjalë kazinonë, duke fituar disa dhjetëra miliona dollarë në ruletë.
Megjithatë, pavarësisht rritjes së interesit për këtë temë, vetëm në shekullin e 20-të u zhvillua një kornizë teorike që e bëri "theorver" një komponent të plotë të matematikës. Sot, pothuajse në çdo shkencë, ju mund të gjeni llogaritjet duke përdorur metoda probabiliste.
Zbatueshmëri
Një pikë e rëndësishme kur përdorni formulat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve, probabiliteti i kushtëzuar është përmbushja e teoremës së kufirit qendror. Përndryshe, edhe pse mund të mos realizohet nga studenti, të gjitha llogaritjet, sado të besueshme të duken, do të jenë të pasakta.
Po, nxënësi shumë i motivuar tundohet të përdorë njohuri të reja në çdo rast. Por në këtë rast, duhet të ngadalësohet pak dhe të përvijohet në mënyrë rigoroze shtrirja e zbatueshmërisë.
Teoria e probabilitetit merret me ngjarje të rastësishme, të cilat në terma empirikë janë rezultate të eksperimenteve: ne mund të rrokullisim një mbulesë me gjashtë anë, të nxjerrim një kartë nga një kuvertë, të parashikojmë numrin e pjesëve me defekt në një grumbull. Sidoqoftë, në disa pyetje është kategorikisht e pamundur të përdoren formula nga kjo pjesë e matematikës. Veçoritë e marrjes në konsideratë të probabiliteteve të një ngjarjeje, teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të ngjarjeve do të diskutojmë në fund të artikullit, por tani për tani le të kthehemi te shembujt.
Konceptet themelore
Një ngjarje e rastësishme nënkupton një proces ose rezultat që mund të shfaqet ose josi rezultat i eksperimentit. Për shembull, ne hedhim një sanduiç - mund të bjerë gjalpë lart ose gjalpë poshtë. Secili prej dy rezultateve do të jetë i rastësishëm dhe nuk e dimë paraprakisht se cili prej tyre do të ndodhë.
Kur studiojmë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, na duhen edhe dy koncepte të tjera.
Ngjarjet e përbashkëta janë ato ngjarje, ndodhja e njërës prej të cilave nuk përjashton ndodhjen e tjetrës. Le të themi se dy njerëz qëllojnë në një objektiv në të njëjtën kohë. Nëse njëri prej tyre gjuan një goditje të suksesshme, kjo nuk do të ndikojë në aftësinë e tjetrit për të goditur ose humbur.
Të paqëndrueshme do të jenë ngjarje të tilla, shfaqja e të cilave është njëkohësisht e pamundur. Për shembull, duke tërhequr vetëm një top nga kutia, nuk mund të merrni njëkohësisht blu dhe të kuqe.
Përcaktimi
Koncepti i probabilitetit shënohet me shkronjën e madhe latine P. Më pas në kllapa janë argumentet që tregojnë disa ngjarje.
Në formulat e teoremës së mbledhjes, probabilitetit të kushtëzuar, teoremës së shumëzimit, do të shihni shprehje në kllapa, për shembull: A+B, AB ose A|B. Ato do të llogariten në mënyra të ndryshme, tani do t'u drejtohemi atyre.
Shtesë
Le të shqyrtojmë rastet kur përdoren formulat e mbledhjes dhe shumëzimit.
Për ngjarje të papajtueshme, formula më e thjeshtë e mbledhjes është e rëndësishme: probabiliteti i ndonjë prej rezultateve të rastësishme do të jetë i barabartë me shumën e probabiliteteve të secilit prej këtyre rezultateve.
Supozoni se ka një kuti me 2 tullumbace blu, 3 të kuqe dhe 5 të verdha. Në kuti ka gjithsej 10 artikuj. Sa është përqindja e së vërtetës së pohimit se do të vizatojmë një top blu apo të kuq? Do të jetë e barabartë me 2/10 + 3/10, pra pesëdhjetë për qind.
Në rastin e ngjarjeve të papajtueshme, formula bëhet më e ndërlikuar, pasi shtohet një term shtesë. Ne do t'i kthehemi asaj me një paragraf, pasi të shqyrtojmë një formulë tjetër.
Shumëzimi
Mbledhja dhe shumëzimi i probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura përdoren në raste të ndryshme. Nëse, sipas kushtit të eksperimentit, jemi të kënaqur me njërën nga dy rezultatet e mundshme, do të llogarisim shumën; nëse duam të marrim dy rezultate të caktuara njëri pas tjetrit, do të përdorim një formulë të ndryshme.
Të kthehemi te shembulli nga pjesa e mëparshme, duam të vizatojmë fillimisht topin blu dhe më pas atë të kuq. Numri i parë që dimë është 2/10. Çfarë ndodh më pas? Kanë mbetur edhe 9 topa, ka ende të njëjtin numër të kuq - tre copa. Sipas llogaritjeve, ju merrni 3/9 ose 1/3. Por çfarë të bëjmë me dy numra tani? Përgjigja e saktë është të shumëzoni për të marrë 2/30.
Ngjarje të përbashkëta
Tani mund të rishikojmë formulën e shumës për ngjarjet e përbashkëta. Pse po largohemi nga tema? Për të mësuar se si shumëzohen probabilitetet. Tani kjo njohuri do të jetë e dobishme.
Ne e dimë tashmë se cilët do të jenë dy termat e parë (njëlloj si në formulën e mbledhjes së konsideruar më parë), tani duhet të zbresimprodukti i probabiliteteve që sapo kemi mësuar të llogarisim. Për qartësi, ne shkruajmë formulën: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Rezulton se si mbledhja ashtu edhe shumëzimi i probabiliteteve përdoren në një shprehje.
Le të themi se duhet të zgjidhim njërën nga dy problemet për të marrë kredi. Të parën mund ta zgjidhim me probabilitet 0,3 dhe të dytën - 0,6. Zgjidhja: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Vini re se thjesht mbledhja e numrave këtu nuk do të jetë e mjaftueshme.
Probabilitet i kushtëzuar
Më në fund, ekziston koncepti i probabilitetit të kushtëzuar, argumentet e të cilit tregohen në kllapa dhe ndahen me një shirit vertikal. Hyrja P(A|B) lexohet si më poshtë: "probabiliteti i ngjarjes A ngjarje e dhënë B".
Le të shohim një shembull: një mik ju jep një pajisje, le të jetë një telefon. Mund të jetë i prishur (20%) ose i mirë (80%). Ju jeni në gjendje të riparoni çdo pajisje që ju bie në dorë me një probabilitet 0.4 ose nuk jeni në gjendje ta bëni atë (0.6). Së fundi, nëse pajisja është në gjendje pune, mund të arrini personin e duhur me një probabilitet prej 0,7.
Është e lehtë të shihet se si funksionon probabiliteti i kushtëzuar në këtë rast: nuk mund t'i drejtoheni një personi nëse telefoni është i prishur dhe nëse është i mirë, nuk keni nevojë ta rregulloni. Kështu, për të marrë ndonjë rezultat në "nivelin e dytë", duhet të dini se çfarë ngjarje është ekzekutuar në të parën.
Llogaritjet
Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemave mbi mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, duke përdorur të dhënat nga paragrafi i mëparshëm.
Së pari, le të gjejmë probabilitetin që juriparoni pajisjen që ju është dhënë. Për ta bërë këtë, së pari, duhet të jetë e gabuar, dhe së dyti, duhet të përballeni me riparimin. Ky është një problem tipik shumëzimi: marrim 0,20,4=0,08.
Cila është probabiliteti që të arrini menjëherë te personi i duhur? Më e lehtë se e thjeshtë: 0,80,7=0,56. Në këtë rast, ju zbuluat se telefoni po funksiononte dhe keni kryer një telefonatë me sukses.
Më në fund, merrni parasysh këtë skenar: ju morët një telefon të prishur, e rregulluat, më pas thirrët numrin dhe personi në anën e kundërt iu përgjigj telefonit. Këtu kërkohet tashmë shumëzimi i tre komponentëve: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Dhe çfarë nëse keni dy telefona që nuk funksionojnë njëherësh? Sa gjasa keni për të rregulluar të paktën një prej tyre? Ky është një problem i mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve, pasi përdoren ngjarje të përbashkëta. Zgjidhja: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Përdorim i kujdesshëm
Siç u përmend në fillim të artikullit, përdorimi i teorisë së probabilitetit duhet të jetë i qëllimshëm dhe i vetëdijshëm.
Sa më e madhe të jetë seria e eksperimenteve, aq më afër vlera e parashikuar teorikisht i afrohet asaj praktike. Për shembull, ne po hedhim një monedhë. Teorikisht, duke ditur ekzistencën e formulave për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, mund të parashikojmë se sa herë do të bien kokat dhe bishtat nëse e kryejmë eksperimentin 10 herë. Ne bëmë një eksperiment dheRastësisht, raporti i anëve të rënë ishte 3 me 7. Por nëse kryeni një seri prej 100, 1000 ose më shumë përpjekjesh, rezulton se grafiku i shpërndarjes po i afrohet gjithnjë e më shumë atij teorik: 44 në 56, 482 në 518 e kështu me radhë.
Tani imagjinoni që ky eksperiment të kryhet jo me një monedhë, por me prodhimin e një substance të re kimike, probabilitetin e së cilës nuk e dimë. Do të bënim 10 eksperimente dhe, nëse nuk merrnim një rezultat të suksesshëm, mund të përgjithësonim: "substanca nuk mund të merret". Por kush e di, nëse do të bënim përpjekjen e njëmbëdhjetë, a do ta kishim arritur qëllimin apo jo?
Pra, nëse po shkoni në sferën e panjohur, të paeksploruar, teoria e probabilitetit mund të mos zbatohet. Çdo përpjekje pasuese në këtë rast mund të jetë e suksesshme dhe përgjithësime si "X nuk ekziston" ose "X është e pamundur" do të jenë të parakohshme.
Fjala mbyllëse
Pra, ne kemi parë dy lloje të mbledhjes, shumëzimin dhe probabilitetet e kushtëzuara. Me studimin e mëtejshëm të kësaj fushe, është e nevojshme të mësoni të dalloni situatat kur përdoret çdo formulë specifike. Përveç kësaj, ju duhet të kuptoni nëse metodat probabiliste janë përgjithësisht të zbatueshme për zgjidhjen e problemit tuaj.
Nëse praktikoni, pas një kohe do të filloni të kryeni të gjitha operacionet e kërkuara ekskluzivisht në mendjen tuaj. Për ata që janë të dhënë pas lojërave me letra, kjo aftësi mund të konsiderohetjashtëzakonisht i vlefshëm - do të rrisni ndjeshëm shanset tuaja për të fituar, vetëm duke llogaritur probabilitetin që një kartë ose kostum i caktuar të bjerë jashtë. Megjithatë, njohuritë e fituara mund të aplikohen lehtësisht në fusha të tjera të veprimtarisë.
