Një nga degët e matematikës me të cilën nxënësit e shkollës përballen me vështirësitë më të mëdha është trigonometria. Nuk është çudi: për të zotëruar lirshëm këtë fushë të njohurive, ju nevojitet të menduarit hapësinor, aftësia për të gjetur sinus, kosinus, tangjente, kotangjente duke përdorur formula, të thjeshtoni shprehjet dhe të jeni në gjendje të përdorni numrin pi në llogaritjet. Përveç kësaj, ju duhet të jeni në gjendje të aplikoni trigonometrinë kur provoni teorema, dhe kjo kërkon ose një memorie të zhvilluar matematikore ose aftësinë për të nxjerrë zinxhirë logjikë kompleksë.
Origjina e trigonometrisë
Hyrja në këtë shkencë duhet të fillojë me përcaktimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi, por së pari ju duhet të kuptoni se çfarë bën trigonometria në përgjithësi.
Historikisht, trekëndëshat kënddrejtë kanë qenë objekti kryesor i kërkimit në këtë seksion të shkencës matematikore. Prania e një këndi prej 90 gradë bën të mundur kryerjen e operacioneve të ndryshme që lejojnë dyanët dhe një cep ose dy qoshe dhe një anë për të përcaktuar vlerat e të gjithë parametrave të figurës në fjalë. Në të kaluarën, njerëzit e vunë re këtë model dhe filluan ta përdorin atë në mënyrë aktive në ndërtimin e ndërtesave, lundrimit, astronomisë dhe madje edhe artit.
Fillimi
Fillimisht, njerëzit folën për marrëdhëniet e këndeve dhe brinjëve ekskluzivisht në shembullin e trekëndëshave kënddrejtë. Më pas u zbuluan formula të veçanta, të cilat bënë të mundur zgjerimin e kufijve të përdorimit në jetën e përditshme të këtij seksioni të matematikës.
Studimi i trigonometrisë në shkollë sot fillon me trekëndëshat kënddrejtë, pas së cilës njohuritë e marra përdoren nga nxënësit në fizikë dhe në zgjidhjen e ekuacioneve abstrakte trigonometrike, puna me të cilën fillon në shkollën e mesme.
Trigonometri sferike
Më vonë, kur shkenca arriti nivelin tjetër të zhvillimit, formulat me sinus, kosinus, tangent, kotangjent filluan të përdoren në gjeometrinë sferike, ku zbatohen rregulla të tjera, dhe shuma e këndeve në një trekëndësh është gjithmonë më e madhe. se 180 gradë. Ky seksion nuk studiohet në shkollë, por është e nevojshme të dihet për ekzistencën e tij, të paktën sepse sipërfaqja e tokës dhe sipërfaqja e çdo planeti tjetër është konveks, që do të thotë se çdo shenjë e sipërfaqes do të jetë "në formë harku " në hapësirën tredimensionale.
Merr një glob dhe një fije. Lidheni fillin në çdo dy pika të globit në mënyrë që të jetë e tendosur. Kushtojini vëmendje - ka fituar formën e një harku. Merret me forma të tillagjeometria sferike e përdorur në gjeodezi, astronomi dhe fusha të tjera teorike dhe të aplikuara.
trekëndësh kënddrejt
Pasi mësuam pak për mënyrat e përdorimit të trigonometrisë, le t'i kthehemi trigonometrisë bazë për të kuptuar më tej se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangenta, çfarë llogaritje mund të kryhen me ndihmën e tyre dhe çfarë formulash të përdorim.
Së pari, ju duhet të kuptoni konceptet që lidhen me një trekëndësh kënddrejtë. Së pari, hipotenuza është ana përballë këndit 90 gradë. Ajo është më e gjata. Kujtojmë se sipas teoremës së Pitagorës, vlera e saj numerike është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të dy brinjëve të tjera.
Për shembull, nëse dy anët janë përkatësisht 3 dhe 4 centimetra, gjatësia e hipotenuzës do të jetë 5 centimetra. Meqë ra fjala, egjiptianët e lashtë e dinin këtë rreth katër mijë e gjysmë vjet më parë.
Dy anët e mbetura që formojnë një kënd të drejtë quhen këmbë. Përveç kësaj, duhet të kujtojmë se shuma e këndeve në një trekëndësh në një sistem koordinativ drejtkëndor është 180 gradë.
Përkufizim
Më në fund, duke pasur një kuptim të fortë të bazës gjeometrike, mund t'i drejtohemi përkufizimit të sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi.
Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (d.m.th., anës përballë këndit të dëshiruar) me hipotenuzën. Kosinusi i një këndi është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Mos harroni se as sinusi dhe as kosinusi nuk mund të jenë më të mëdhenj se një! Pse?Sepse hipotenuza është si parazgjedhje ana më e gjatë e një trekëndëshi kënddrejtë. Sado e gjatë të jetë këmba, ajo do të jetë më e shkurtër se hipotenuza, që do të thotë se raporti i tyre do të jetë gjithmonë më i vogël se një. Kështu, nëse merrni një sinus ose kosinus me një vlerë më të madhe se 1 në përgjigjen e problemit, kërkoni një gabim në llogaritjet ose arsyetimin. Kjo përgjigje është qartësisht e gabuar.
Më në fund, tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën fqinje. I njëjti rezultat do të japë pjesëtimin e sinusit me kosinusin. Shikoni: sipas formulës, gjatësinë e anës e ndajmë me hipotenuzën, pas së cilës pjesëtojmë me gjatësinë e anës së dytë dhe shumëzojmë me hipotenuzën. Kështu, marrim të njëjtin raport si në përkufizimin e tangjentes.
Kotangjent, përkatësisht, është raporti i anës ngjitur me këndin me anën e kundërt. Ne marrim të njëjtin rezultat duke e pjesëtuar njësinë me tangjenten.
Pra, ne kemi shqyrtuar përkufizimet e asaj që është sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent, dhe mund të merremi me formulat.
Formula të thjeshta
Në trigonometri nuk mund të bëhet pa formula - si të gjesh sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent pa to? Por kjo është pikërisht ajo që kërkohet kur zgjidhen problemet.
Formula e parë që duhet të dini kur filloni të studioni trigonometrinë thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është e barabartë me një. Kjo formulë është pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së Pitagorës, por kursen kohë nëse duhet të zbuloni vlerën e këndit, jo të anës.
Shumë studentë nuk e mbajnë mend formulën e dytë, gjithashtu shumëpopullor në zgjidhjen e problemeve shkollore: shuma e një dhe katrorit të tangjentes së një këndi është e barabartë me një pjesëtuar me katrorin e kosinusit të këndit. Hidhni një vështrim më të afërt: në fund të fundit, kjo është e njëjta deklaratë si në formulën e parë, vetëm të dy anët e identitetit ndaheshin me katrorin e kosinusit. Rezulton se një veprim i thjeshtë matematikor e bën formulën trigonometrike plotësisht të panjohur. Mos harroni: duke ditur se çfarë është një sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent, rregullat e konvertimit dhe disa formula bazë, ju mund të nxirrni në çdo kohë në mënyrë të pavarur formulat e kërkuara më komplekse në një copë letër.
Formulat me kënd të dyfishtë dhe shtimi i argumenteve
Dy formula të tjera për të mësuar lidhen me vlerat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe ndryshimin e këndeve. Ato janë paraqitur në figurën më poshtë. Ju lutemi vini re se në rastin e parë, sinusi dhe kosinusi shumëzohen të dyja herë, dhe në rastin e dytë, shtohet prodhimi çift i sinusit dhe kosinusit.
Ka edhe formula që lidhen me argumentet e këndit të dyfishtë. Ato rrjedhin plotësisht nga ato të mëparshmet - si praktikë, përpiquni t'i merrni vetë, duke marrë këndin e alfa të barabartë me këndin e beta.
Më në fund, vini re se formulat e këndit të dyfishtë mund të konvertohen për të zvogëluar shkallën e sinusit, kosinusit, alfa tangjente.
Teorema
Dy teoremat kryesore në trigonometrinë bazë janë teorema e sinusit dhe teorema e kosinusit. Me ndihmën e këtyre teoremave, ju mund të kuptoni lehtësisht se si të gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentën, dhe si rrjedhojë zonën e figurës dhe madhësinë.çdo anë, etj.
Teorema e sinusit thotë se si rezultat i pjesëtimit të gjatësisë së secilës brinjë të një trekëndëshi me vlerën e këndit të kundërt, marrim të njëjtin numër. Për më tepër, ky numër do të jetë i barabartë me dy rreze të rrethit të rrethuar, d.m.th. rrethi që përmban të gjitha pikat e trekëndëshit të dhënë.
Teorema e kosinusit përgjithëson teoremën e Pitagorës, duke e projektuar atë në çdo trekëndësh. Rezulton se nga shuma e katrorëve të dy anëve, zbritni produktin e tyre, shumëzuar me kosinusin e dyfishtë të këndit ngjitur me to - vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e anës së tretë. Kështu, teorema e Pitagorës rezulton të jetë një rast i veçantë i teoremës së kosinusit.
Gabimet për shkak të pavëmendjes
Edhe duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi dhe tangjentja, është e lehtë të bësh një gabim për shkak të mungesës së mendjes ose një gabimi në llogaritjet më të thjeshta. Për të shmangur gabime të tilla, le t'i hedhim një sy më të njohurve.
Së pari, mos i konvertoni thyesat e zakonshme në dhjetore përpara se të merrni rezultatin përfundimtar - mund ta lini përgjigjen si thyesë të zakonshme, përveç nëse përcaktohet ndryshe në kusht. Një transformim i tillë nuk mund të quhet gabim, por duhet mbajtur mend se në çdo fazë të detyrës mund të shfaqen rrënjë të reja, të cilat, sipas idesë së autorit, duhet të zvogëlohen. Në këtë rast, ju do të humbni kohë në operacione të panevojshme matematikore. Kjo është veçanërisht e vërtetë për vlera të tilla si rrënja e tre ose dy, sepse ato ndodhin në detyra në çdo hap. E njëjta gjë vlen edhe për rrumbullakimin. Numrat "të shëmtuar".
Më pas, vini re se teorema e kosinusit zbatohet për çdo trekëndësh, por jo për teoremën e Pitagorës! Nëse gabimisht harroni të zbrisni dy herë produktin e anëve të shumëzuar me kosinusin e këndit midis tyre, jo vetëm që do të merrni një rezultat krejtësisht të gabuar, por gjithashtu do të demonstroni një keqkuptim të plotë të temës. Kjo është më e keqe se një gabim i pakujdesshëm.
Së treti, mos i ngatërroni vlerat për këndet 30 dhe 60 gradë për sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet. Mos harroni këto vlera, sepse sinusi 30 gradë është i barabartë me kosinusin 60 dhe anasjelltas. Është e lehtë t'i përzieni ato dhe në mënyrë të pashmangshme do të merrni një rezultat të gabuar.
Aplikacion
Shumë studentë nuk po nxitojnë të fillojnë të studiojnë trigonometrinë, sepse nuk e kuptojnë kuptimin e saj të aplikuar. Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenta për një inxhinier apo astronom? Këto janë koncepte falë të cilave ju mund të llogaritni distancën me yjet e largët, të parashikoni rënien e një meteori, të dërgoni një sondë kërkimore në një planet tjetër. Pa to, është e pamundur të ndërtohet një ndërtesë, të projektohet një makinë, të llogaritet ngarkesa në sipërfaqe ose trajektorja e një objekti. Dhe këta janë vetëm shembujt më të dukshëm! Në fund të fundit, trigonometria në një formë ose në një tjetër përdoret kudo, nga muzika te mjekësia.
Në përfundim
Pra, ju e dini se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja. Ju mund t'i përdorni ato në llogaritjet dhe të zgjidhni me sukses problemet e shkollës.
E gjithë pikatrigonometria reduktohet në faktin se sipas parametrave të njohur të trekëndëshit, është e nevojshme të llogariten të panjohurat. Gjithsej janë gjashtë parametra: gjatësia e tre brinjëve dhe madhësia e tre këndeve. I gjithë ndryshimi në detyra qëndron në faktin se jepen të dhëna të ndryshme hyrëse.
Si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën bazuar në gjatësinë e njohur të këmbëve ose hipotenuzën, tani e dini. Meqenëse këto terma nuk nënkuptojnë asgjë më shumë se një raport, dhe një raport është një fraksion, qëllimi kryesor i problemit trigonometrik është të gjejë rrënjët e një ekuacioni të zakonshëm ose të një sistemi ekuacionesh. Dhe këtu matematika e zakonshme e shkollës do t'ju ndihmojë.
