Sekonda, tangjente - e gjithë kjo mund të dëgjohej qindra herë në mësimet e gjeometrisë. Por diplomimi nga shkolla ka mbaruar, vitet kalojnë dhe të gjitha këto njohuri harrohen. Çfarë duhet mbajtur mend?
Thelbi
Termi "tangjente ndaj një rrethi" është ndoshta i njohur për të gjithë. Por nuk ka gjasa që të gjithë të jenë në gjendje të formulojnë shpejt përkufizimin e tij. Ndërkohë, një tangjente është një drejtëz e tillë e shtrirë në të njëjtin rrafsh me një rreth që e pret atë vetëm në një pikë. Mund të ketë një larmi të madhe të tyre, por të gjithë kanë të njëjtat veti, të cilat do të diskutohen më poshtë. Siç mund ta merrni me mend, pika e kontaktit është vendi ku kryqëzohen rrethi dhe vija. Në secilin rast, është një, por nëse ka më shumë, atëherë do të jetë një sekant.
Historia e zbulimit dhe studimit
Koncepti i një tangjente u shfaq në antikitet. Ndërtimi i këtyre vijave të drejta, së pari në një rreth, dhe më pas në elipsa, parabola dhe hiperbola me ndihmën e një vizore dhe një busull, u krye edhe në fazat fillestare të zhvillimit të gjeometrisë. Natyrisht, historia nuk e ka ruajtur emrin e zbuluesit, porështë e qartë se edhe në atë kohë, njerëzit ishin mjaft të vetëdijshëm për vetitë e tangjentes me rrethin.
Në kohët moderne, interesi për këtë fenomen u ndez përsëri - filloi një raund i ri studimi i këtij koncepti, i kombinuar me zbulimin e kthesave të reja. Pra, Galileo prezantoi konceptin e një cikloid, dhe Fermat dhe Descartes ndërtuan një tangjente me të. Sa i përket rrathëve, duket se nuk ka mbetur sekret për të lashtët në këtë zonë.
Properties
Rrezja e tërhequr në pikën e kryqëzimit do të jetë pingul me vijën. Kjo është
vetia kryesore, por jo e vetmja që ka një tangjente me një rreth. Një veçori tjetër e rëndësishme përfshin tashmë dy linja të drejta. Pra, përmes një pike që shtrihet jashtë rrethit, mund të vizatohen dy tangjente, ndërsa segmentet e tyre do të jenë të barabarta. Ekziston një teoremë tjetër për këtë temë, por ajo rrallë mbulohet në kuadrin e një kursi standard shkollor, megjithëse është jashtëzakonisht i përshtatshëm për zgjidhjen e disa problemeve. Kjo tingëllon si kjo. Nga një pikë e vendosur jashtë rrethit, një tangjente dhe një sekant tërhiqen në të. Formohen segmentet AB, AC dhe AD. A është kryqëzimi i vijave, B është pika e kontaktit, C dhe D janë kryqëzimet. Në këtë rast, barazia e mëposhtme do të jetë e vlefshme: gjatësia e tangjentes me rrethin, në katror, do të jetë e barabartë me prodhimin e segmenteve AC dhe AD.
Nga sa më sipër ka një pasojë të rëndësishme. Për secilën pikë të rrethit, mund të ndërtoni një tangjente, por vetëm një. Vërtetimi për këtë është mjaft i thjeshtë: duke hedhur teorikisht një pingul nga rrezja mbi të, zbulojmë setrekëndëshi nuk mund të ekzistojë. Dhe kjo do të thotë se tangjentja është e vetmja.
Ndërtesa
Ndër problemet e tjera në gjeometri, ekziston një kategori e veçantë, si rregull, jo
e dashur nga nxënësit dhe studentët. Për të zgjidhur detyrat nga kjo kategori, ju duhet vetëm një busull dhe një vizore. Këto janë detyra ndërtimi. Ka edhe metoda për ndërtimin e një tangjente.
Pra, jepet një rreth dhe një pikë që shtrihet jashtë kufijve të tij. Dhe është e nevojshme të vizatoni një tangjente përmes tyre. Si ta bëjmë atë? Para së gjithash, duhet të vizatoni një segment midis qendrës së rrethit O dhe një pike të caktuar. Pastaj, duke përdorur një busull, ndajeni atë në gjysmë. Për ta bërë këtë, duhet të vendosni rrezen - pak më shumë se gjysma e distancës midis qendrës së rrethit origjinal dhe pikës së caktuar. Pas kësaj, ju duhet të ndërtoni dy harqe kryqëzuese. Për më tepër, rrezja e busullës nuk ka nevojë të ndryshohet, dhe qendra e secilës pjesë të rrethit do të jetë përkatësisht pika fillestare dhe O. Duhet të lidhen kryqëzimet e harqeve, të cilat do ta ndajnë segmentin në gjysmë. Vendosni një rreze në busull të barabartë me këtë distancë. Më pas, me qendër në pikën e kryqëzimit, vizatoni një rreth tjetër. Mbi të do të shtrihen edhe pika fillestare edhe O. Në këtë rast do të ketë edhe dy kryqëzime të tjera me rrethin e dhënë në problem. Ato do të jenë pikat e prekjes për pikën e dhënë fillimisht.
Interesante
Ishte ndërtimi i tangjentëve me rrethin që çoi në lindjen e
llogaritje diferenciale. Puna e parë mbi këtë temë ishtebotuar nga matematikani i famshëm gjerman Leibniz. Ai parashikoi mundësinë e gjetjes së maksimave, minimaleve dhe tangjenteve, pavarësisht nga vlerat thyesore dhe irracionale. Epo, tani përdoret edhe për shumë llogaritje të tjera.
Përveç kësaj, tangjentja me rrethin lidhet me kuptimin gjeometrik të tangjentes. Nga vjen emri i saj. Përkthyer nga latinishtja, tangens do të thotë "tangjente". Kështu, ky koncept është i lidhur jo vetëm me gjeometrinë dhe llogaritjen diferenciale, por edhe me trigonometrinë.
Dy rrathë
Jo gjithmonë një tangjente prek vetëm një formë. Nëse një numër i madh vijash të drejta mund të vizatohen në një rreth, atëherë pse jo anasjelltas? Mund. Por detyra në këtë rast është seriozisht e ndërlikuar, sepse tangjentja e dy rrathëve mund të mos kalojë nëpër asnjë pikë, dhe pozicioni relativ i të gjitha këtyre figurave mund të jetë shumë
ndryshe.
Llojet dhe varietetet
Kur bëhet fjalë për dy rrathë dhe një ose më shumë rreshta, edhe nëse dihet se këto janë tangjente, nuk bëhet menjëherë e qartë se si janë vendosur të gjitha këto figura në raport me njëra-tjetrën. Bazuar në këtë, ekzistojnë disa lloje. Pra, rrathët mund të kenë një ose dy pika të përbashkëta ose të mos i kenë fare. Në rastin e parë, ata do të kryqëzohen, dhe në të dytën, ata do të prekin. Dhe këtu ka dy lloje. Nëse një rreth është, si të thuash, i ngulitur në të dytin, atëherë prekja quhet e brendshme, nëse jo, atëherë e jashtme. kuptojnë të ndërsjellëvendndodhja e figurave është e mundur jo vetëm në bazë të vizatimit, por edhe duke pasur informacion për shumën e rrezeve të tyre dhe distancën midis qendrave të tyre. Nëse këto dy sasi janë të barabarta, atëherë rrathët preken. Nëse i pari është më i madh, ato kryqëzohen, dhe nëse është më i vogël, atëherë nuk kanë pika të përbashkëta.
E njëjta gjë me vijat e drejta. Për çdo dy rrathë që nuk kanë pika të përbashkëta, mund të
ndërtoni katër tangjente. Dy prej tyre do të kryqëzohen midis figurave, ato quhen të brendshme. Disa të tjerë janë të jashtëm.
Nëse po flasim për rrathë që kanë një pikë të përbashkët, atëherë detyra thjeshtohet shumë. Fakti është se për çdo rregullim të ndërsjellë në këtë rast, ata do të kenë vetëm një tangjente. Dhe do të kalojë përmes pikës së kryqëzimit të tyre. Pra, ndërtimi i vështirësisë nuk do të shkaktojë.
Nëse figurat kanë dy pika kryqëzimi, atëherë për to mund të ndërtohet një vijë e drejtë, tangjente me rrethin, si njërën ashtu edhe të dytën, por vetëm me atë të jashtmen. Zgjidhja e këtij problemi është e ngjashme me atë që do të diskutohet më poshtë.
Zgjidhja e problemit
Tangjentet e brendshme dhe të jashtme me dy rrathë nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar, megjithëse ky problem mund të zgjidhet. Fakti është se një figurë ndihmëse përdoret për këtë, kështu që mendoni për këtë metodë vetë
mjaft problematike. Pra, jepen dy rrathë me rreze dhe qendra të ndryshme O1 dhe O2. Për ta, ju duhet të ndërtoni dy palë tangjente.
Së pari, pranë qendrës së më të madhesrrathët duhet të ndërtohen ndihmës. Në këtë rast, ndryshimi midis rrezeve të dy figurave fillestare duhet të përcaktohet në busull. Tangjentet në rrethin ndihmës ndërtohen nga qendra e rrethit më të vogël. Pas kësaj, nga O1 dhe O2, pingulet janë tërhequr në këto vija derisa ato të kryqëzohen me figurat origjinale. Siç vijon nga vetia kryesore e tangjentes, gjenden pikat e dëshiruara në të dy rrathët. Problemi u zgjidh, të paktën pjesa e parë e tij.
Për të ndërtuar tangjente të brendshme, do t'ju duhet të zgjidhni praktikisht
një detyrë e ngjashme. Përsëri, nevojitet një figurë ndihmëse, por këtë herë rrezja e saj do të jetë e barabartë me shumën e atyre origjinale. Tangjentet i ndërtohen asaj nga qendra e njërit prej rrathëve të dhënë. Ecuria e mëtejshme e zgjidhjes mund të kuptohet nga shembulli i mëparshëm.
Tangjentja me një rreth apo edhe dy ose më shumë nuk është një detyrë aq e vështirë. Sigurisht, matematikanët kanë pushuar prej kohësh së zgjidhuri me dorë probleme të tilla dhe i besojnë llogaritjet programeve speciale. Por mos mendoni se tani nuk është e nevojshme të jeni në gjendje ta bëni vetë, sepse për të formuluar saktë një detyrë për një kompjuter, duhet të bëni dhe të kuptoni shumë. Fatkeqësisht, ekziston frika se pas kalimit përfundimtar në formën e testit të kontrollit të njohurive, detyrat e ndërtimit do të shkaktojnë gjithnjë e më shumë vështirësi për studentët.
Për sa i përket gjetjes së tangjentave të përbashkëta për më shumë rrathë, nuk është gjithmonë e mundur, edhe nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh. Por në disa raste mund të gjesh një vijë kaq të drejtë.
Shembuj të jetës
Një tangjente e përbashkët me dy rrathë haset shpesh në praktikë, edhe pse jo gjithmonë vërehet. Transportuesit, sistemet e bllokut, rripat e transmetimit të rrotullave, tensioni i fillit në një makinë qepëse dhe madje vetëm një zinxhir biçikletash - të gjitha këto janë shembuj nga jeta. Pra, mos mendoni se problemet gjeometrike mbeten vetëm në teori: në inxhinieri, fizikë, ndërtim dhe shumë fusha të tjera, ato gjejnë zbatime praktike.
