Katërkëndësh i brendashkruar në një rreth. Katërkëndëshi ABCD është brendashkruar në një rreth

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Me ndarjen e matematikës në algjebër dhe gjeometri, materiali mësimor bëhet më i vështirë. Shfaqen figura të reja dhe raste të veçanta të tyre. Për të kuptuar mirë materialin, është e nevojshme të studiohen konceptet, vetitë e objekteve dhe teoremat që lidhen me të.

Koncepte të përgjithshme

Një katërkëndësh do të thotë një figurë gjeometrike. Ai përbëhet nga 4 pika. Për më tepër, 3 prej tyre nuk ndodhen në të njëjtën vijë të drejtë. Ka segmente që lidhin pikat e specifikuara në seri.

Të gjithë katërkëndëshat e studiuar në lëndën e gjeometrisë shkollore janë paraqitur në diagramin e mëposhtëm. Përfundim: çdo objekt nga figura e paraqitur ka vetitë e figurës së mëparshme.

Një katërkëndësh mund të jetë i llojeve të mëposhtme:

Paralelogram. Paralelizmi i anëve të kundërta të tij vërtetohet nga teoremat përkatëse.
Trapez. Një katërkëndësh me baza paralele. Dy partitë e tjera nuk janë.
Drekëndësh. Një figurë që ka të 4 qoshet=90º.
Romb. Një figurë me të gjitha anët të barabarta.
Sheshi. Kombinon vetitë e dy figurave të fundit. I ka të gjitha brinjët të barabarta dhe të gjitha këndet janë të drejta.

Përkufizimi kryesor i kësaj teme është një katërkëndësh i gdhendur në një rreth. Ai konsiston në sa vijon. Kjo është një figurë rreth së cilës përshkruhet një rreth. Duhet të kalojë nëpër të gjitha kulmet. Këndet e brendshme të një katërkëndëshi të gdhendur në një rreth mblidhen deri në 360º.

Jo çdo katërkëndësh mund të mbishkruhet. Kjo për faktin se përgjysmuesit pingul të 4 anëve mund të mos kryqëzohen në një pikë. Kjo do ta bëjë të pamundur gjetjen e qendrës së një rrethi që rrethon një 4 kënd.

Rastet speciale

Ka përjashtime nga çdo rregull. Pra, në këtë temë ka edhe raste të veçanta:

Një paralelogram, si i tillë, nuk mund të futet në një rreth. Vetëm rasti i tij i veçantë. Është një drejtkëndësh.
Nëse të gjitha kulmet e një rombi janë në vijën rrethuese, atëherë ai është një katror.
Të gjitha kulmet e trapezit janë në kufirin e rrethit. Në këtë rast, ata flasin për një figurë izosceles.

Vetitë e një katërkëndëshi të brendashkruar në një rreth

Përpara se të zgjidhni probleme të thjeshta dhe komplekse për një temë të caktuar, duhet të verifikoni njohuritë tuaja. Pa studiuar materialin edukativ, është e pamundur të zgjidhet një shembull i vetëm.

Teorema 1

Shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar në një rreth është 180º.

vetitë e një katërkëndëshi të brendashkruar në rreth

Dëshmi

Jepet: katërkëndëshi ABCD është brendashkruar në një rreth. Qendra e saj është pika O. Duhet të vërtetojmë se _<A + _<C=180º dhe _< B + _<D=180º.

Duhet të merren parasysh shifrat e paraqitura.

_{<A është brendashkruar në një rreth të përqendruar në pikën O. Ajo matet me ½ BCD (gjysmë hark).}

_{<C është brendashkruar në të njëjtin rreth. Ajo matet me ½ BAD (gjysmë hark).}
BAD dhe BCD formojnë një rreth të tërë, d.m.th., madhësia e tyre është 360º.

_<A + _{<C janë të barabarta me gjysmën e shumës së gjysmëharqeve të përfaqësuara.}

Prandaj _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

këndet e një katërkëndëshi të gdhendur në një rreth

Në mënyrë të ngjashme, prova për _<B dhe _{<D. Megjithatë, ka një zgjidhje të dytë për problemin.}

Dihet se shuma e këndeve të brendshme të një katërkëndëshi është 360º.

Sepse _<A + _<C=180º. Prandaj, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(Shpesh quhet e anasjelltë) Nëse në një katërkëndësh _<A + _<C=180º dhe _{<B +} <_{D=180º (nëse janë të kundërta), atëherë rreth një figure të tillë mund të përshkruhet një rreth.}

Dëshmi

Është dhënë shuma e këndeve të kundërta të katërkëndëshit ABCD e barabartë me 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Duhet të vërtetojmë se një rreth mund të rrethohet rreth ABCD.}

Nga kursi i gjeometrisë dihet se një rreth mund të vizatohet përmes 3 pikave të një katërkëndëshi. Për shembull, mund të përdorni pikat A, B, C. Ku do të vendoset pika D? Ka 3 supozime:

Ajo përfundon brenda rrethit. Në këtë rast, D nuk prek vijën.
Jashtë rrethit. Ajo shkon shumë përtej vijës së përshkruar.
Rezulton në një rreth.

Duhet të supozohet se D është brenda rrethit. Vendin e kulmit të treguar e zë D´. Rezulton katërkëndëshi ABCD´.

Rezultati është:_<B + _<D´=2d.

Nëse vazhdojmë AD´ në kryqëzimin me rrethin ekzistues me qendër në pikën E dhe lidhim E dhe C, marrim një katërkëndësh të brendashkruar ABCE. Nga teorema e parë rrjedh barazia:

Sipas ligjeve të gjeometrisë, shprehja nuk është e vlefshme sepse _<D' është këndi i jashtëm i trekëndëshit CD´E. Prandaj, duhet të jetë më shumë se _{<E. Nga kjo mund të konkludojmë se D duhet të jetë ose në rreth ose jashtë tij.}

Ngjashëm, supozimi i tretë mund të provohet i gabuar kur D´´ shkon përtej kufirit të figurës së përshkruar.

Nga dy hipoteza del e vetmja e saktë. Kulmi D ndodhet në vijën e rrethit. Me fjalë të tjera, D përkon me E. Nga kjo rrjedh se të gjitha pikat e katërkëndëshit janë të vendosura në vijën e përshkruar.

Nga këtody teorema, pasojat vijojnë:

Çdo drejtkëndësh mund të futet në një rreth. Ka edhe një pasojë tjetër. Një rreth mund të rrethohet rreth çdo drejtkëndëshi

Trapez me ije të barabarta mund të gdhendet në një rreth. Me fjalë të tjera, tingëllon kështu: një rreth mund të përshkruhet rreth një trapezi me skaje të barabarta

Disa shembuj

Problemi 1. Katërkëndëshi ABCD është brendashkruar në një rreth. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Duhet të gjesh _{<ABD. Përgjigjja duhet të shkruhet në shkallë.}

Vendim. Në fillim, mund të duket e vështirë për të gjetur përgjigjen.

1. Ju duhet të mbani mend vetitë nga kjo temë. Gjegjësisht: shuma e këndeve të kundërta=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Në gjeometri, është më mirë t'i përmbahemi parimit: gjeni gjithçka që mundeni. E dobishme më vonë.

2. Hapi tjetër: përdorni teoremën e shumës së trekëndëshit.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<<ADC=180º – 75º=70º}

Janë të shënuara

_<ABD dhe _{<ACD. Sipas kushteve, ata mbështeten në një hark. Prandaj, ato kanë vlera të barabarta:}

_<ABD=_<ACD=70º

Përgjigje: _<ABD=70º.

Problemi 2. BCDE është një katërkëndësh i brendashkruar në një rreth. _<B=69º, _<C=84º. Qendra e rrethit është pika E. Gjeni - _<E.

katërkëndëshi ABCD është brendashkruar në një rreth

Vendim.

Duhet të gjesh _{<E nga Teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Përgjigje: _{< E=96º.}

Detyra 3. Jepet një katërkëndësh i brendashkruar në rreth. Të dhënat janë paraqitur në figurë. Është e nevojshme të gjesh vlera të panjohura x, y, z.

Zgjidhja:

z=180º – 93º=87º (nga Teorema 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (nga Teorema 1)

Përgjigje: z=87º, x=82º, y=98º.

Problemi 4. Ka një katërkëndësh të gdhendur në një rreth. Vlerat janë paraqitur në figurë. Gjeni x, y.

Zgjidhja:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Përgjigje: x=100º, y=109º.

Probleme për zgjidhje të pavarur

Shembull 1. Jepet një rreth. Qendra e saj është pika O. AC dhe BD janë diametra. _<ACB=38º. Duhet të gjesh _{<AOD. Përgjigjja duhet të jepet në shkallë.}

Shembulli 2. Jepet një katërkëndësh ABCD dhe një rreth të rrethuar rreth tij. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Gjeni _{<CAD. Shkruani përgjigjen tuaj në shkallë.}

katërkëndësh i brendashkruar në një rreth

Shembulli 3. Jepet një rreth dhe një katërkëndësh i brendashkruar ABCD. Dy këndet e tij janë 82º dhe58º. Ju duhet të gjeni më të madhin nga këndet e mbetura dhe të shkruani përgjigjen në gradë.

Shembulli 4. Jepet katërkëndëshi ABCD. Këndet A, B, C janë dhënë në raportin 1:2:3. Është e nevojshme të gjendet këndi D nëse katërkëndëshi i specifikuar mund të futet në një rreth. Përgjigjja duhet të jepet në shkallë.

Shembulli 5. Jepet katërkëndëshi ABCD. Anët e tij formojnë harqe të rrethit të rrethuar. Vlerat e gradave AB, BC, CD dhe AD, përkatësisht janë: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Ju duhet të gjeni _{<Nga katërkëndëshi i dhënë dhe të shkruani përgjigjen në shkallë.}