Studimi i vetive të gjendjes së agregatit të gazit të materies është një nga fushat e rëndësishme të fizikës moderne. Duke marrë parasysh gazrat në një shkallë mikroskopike, mund të merren të gjithë parametrat makroskopikë të sistemit. Ky artikull do të zbulojë një çështje të rëndësishme të teorisë kinetike molekulare të gazeve: cila është shpërndarja Maxwell e molekulave për sa i përket shpejtësive.
Sfondi historik
Ideja e gazit si një sistem grimcash lëvizëse mikroskopike e ka origjinën në Greqinë e lashtë. U deshën më shumë se 1700 vjet që shkencës ta zhvillonte atë.
Themeluesi i teorisë moderne molekulare-kinetike (MKT) të gazit është i drejtë të marrë në konsideratë Daniil Bernoulli. Në 1738 ai botoi një vepër të quajtur "Hidrodinamika". Në të, Bernoulli përvijoi idetë e MKT-së që janë përdorur deri më sot. Pra, shkencëtari besonte se gazrat përbëhen nga grimca që lëvizin rastësisht në të gjitha drejtimet. Përplasje të shumtagrimcat me muret e enëve perceptohen si prani e presionit në gaze. Shpejtësitë e grimcave janë të lidhura ngushtë me temperaturën e sistemit. Komuniteti shkencor nuk i pranoi idetë e guximshme të Bernoulli, sepse ligji i ruajtjes së energjisë ende nuk ishte vendosur.
Më pas, shumë shkencëtarë u angazhuan në ndërtimin e një modeli kinetik të gazrave. Midis tyre duhet theksuar Rudolf Clausius, i cili në 1857 krijoi një model të thjeshtë gazi. Në të, shkencëtari i kushtoi vëmendje të veçantë pranisë së shkallëve përkthimore, rrotulluese dhe vibruese të lirisë në molekula.
Në 1859, duke studiuar punën e Clausius, James Maxwell formuloi të ashtuquajturën shpërndarje Maxwell mbi shpejtësitë molekulare. Në fakt, Maxwell konfirmoi idetë e MKT, duke i mbështetur ato me një aparat matematikor. Më pas, Ludwig Boltzmann (1871) përgjithësoi përfundimet e shpërndarjes së Maxwell. Ai postuloi një shpërndarje statistikore më të përgjithshme të molekulave mbi shpejtësitë dhe energjitë. Aktualisht njihet si shpërndarja Maxwell-Boltzmann.
Gaz ideal. Postulatet bazë të ILC
Për të kuptuar se çfarë është funksioni i shpërndarjes Maxwell, duhet të kuptoni qartë sistemet për të cilat zbatohet ky funksion. Po flasim për një gaz ideal. Në fizikë, ky koncept kuptohet si një substancë e lëngshme, e cila përbëhet nga grimca praktikisht pa dimensione që nuk kanë energji potenciale. Këto grimca lëvizin me shpejtësi të madhe, kështu që sjellja e tyre përcaktohet plotësisht nga energjia kinetike. Për më tepër, distancat midis grimcave janë shumë të mëdha përkrahasuar me përmasat e tyre, kështu që këto të fundit janë lënë pas dore.
Gazet ideale përshkruhen brenda MKT. Postulatet e tij kryesore janë si më poshtë:
- sistemet e gazit përbëhen nga një numër i madh grimcash të lira;
- grimcat lëvizin rastësisht me shpejtësi të ndryshme në drejtime të ndryshme përgjatë trajektoreve të drejta;
- grimcat përplasen me muret e enëve në mënyrë elastike (probabiliteti që grimcat të përplasen me njëra-tjetrën është i ulët për shkak të madhësisë së tyre të vogël);
- Temperatura e sistemit përcaktohet në mënyrë unike nga energjia mesatare kinetike e grimcave, e cila ruhet në kohë nëse vendoset ekuilibri termodinamik në sistem.
Ligji i shpërndarjes së Maxwell
Nëse një person do të kishte një instrument me të cilin ishte e mundur të matej shpejtësia e një molekule të vetme gazi, atëherë, pasi të kryente një eksperiment të duhur, ai do të habitej. Eksperimenti do të tregonte se çdo molekulë e çdo sistemi të gaztë lëviz me një shpejtësi krejtësisht arbitrare. Në këtë rast, në kuadrin e një sistemi në ekuilibër termik me mjedisin, do të zbuloheshin molekula shumë të ngad alta dhe shumë të shpejta.
Ligji i Maxwell-it për shpërndarjen e shpejtësisë së molekulave të gazit është një mjet që ju lejon të përcaktoni probabilitetin e zbulimit të grimcave me një shpejtësi të caktuar v në sistemin në studim. Funksioni përkatës duket si ky:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Në këtë shprehje, m -masa e grimcave (molekulës), k - konstanta e Boltzmann-it, T - temperatura absolute. Kështu, nëse dihet natyra kimike e grimcave (vlera m), atëherë funksioni f(v) përcaktohet në mënyrë unike nga temperatura absolute. Funksioni f(v) quhet dendësia e probabilitetit. Nëse marrim integralin prej tij për një kufi shpejtësie (v; v+dv), atëherë marrim numrin e grimcave Ni, të cilat kanë shpejtësi në intervalin e caktuar. Prandaj, nëse marrim integralin e densitetit të probabilitetit f(v) për kufijtë e shpejtësisë nga 0 në ∞, atëherë marrim numrin total të molekulave N në sistem.
Parafaqja grafike e densitetit të probabilitetit f(v)
Funksioni i densitetit të probabilitetit ka një formë matematikore disi komplekse, kështu që nuk është e lehtë të përfaqësosh sjelljen e tij në një temperaturë të caktuar. Ky problem mund të zgjidhet nëse e përshkruani atë në një grafik dydimensional. Një pamje skematike e grafikut të shpërndarjes Maxwell është paraqitur më poshtë në figurë.
Shikojmë se fillon nga zero, pasi shpejtësia v e molekulave nuk mund të ketë vlera negative. Grafiku përfundon diku në rajonin e shpejtësive të larta, duke rënë pa probleme në zero (f(∞)->0). Karakteristika e mëposhtme është gjithashtu e habitshme: kurba e lëmuar është asimetrike, ajo zvogëlohet më shumë për shpejtësi të vogla.
Një tipar i rëndësishëm i sjelljes së funksionit të densitetit të probabilitetit f(v) është prania e një maksimumi të theksuar në të. Sipas kuptimit fizik të funksionit, kjo maksimum korrespondon me vlerën më të mundshme të shpejtësive të molekulave në gaz.sistemi.
Shpejtësi të rëndësishme për funksionin f(v)
Funksioni i densitetit të probabilitetit f(v) dhe paraqitja grafike e tij na lejojnë të përcaktojmë tre lloje të rëndësishme shpejtësie.
Lloji i parë i shpejtësisë që është i dukshëm dhe që u përmend më lart është shpejtësia më e mundshme v1. Në grafik, vlera e tij korrespondon me maksimumin e funksionit f(v). Është kjo shpejtësi dhe vlera afër saj që do të ketë shumicën e grimcave të sistemit. Nuk është e vështirë për ta llogaritur, për këtë mjafton të marrim derivatin e parë në lidhje me shpejtësinë e funksionit f(v) dhe ta barazojmë me zero. Si rezultat i këtyre veprimeve matematikore, marrim rezultatin përfundimtar:
v1=√(2RT/M).
Këtu R është konstanta universale e gazit, M është masa molare e molekulave.
Lloji i dytë i shpejtësisë është vlera mesatare e tij për të gjitha N grimcat. Le ta shënojmë v2. Mund të llogaritet duke integruar funksionin vf(v) mbi të gjitha shpejtësitë. Rezultati i integrimit të shënuar do të jetë formula e mëposhtme:
v2=√(8RT/(piM)).
Për shkak se raporti është 8/pi>2, shpejtësia mesatare është gjithmonë pak më e lartë se ajo më e mundshme.
Çdo person që di pak për fizikën e kupton se shpejtësia mesatare v2 e molekulave duhet të ketë një rëndësi të madhe në një sistem gazi. Megjithatë, ky është një supozim i gabuar. Shumë më e rëndësishme është shpejtësia RMS. Le ta shënojmëv3.
Sipas përkufizimit, shpejtësia rrënjë-mesatare-katrore është shuma e katrorëve të shpejtësive individuale të të gjitha grimcave, pjesëtuar me numrin e këtyre grimcave dhe merret si rrënjë katrore. Mund të llogaritet për shpërndarjen Maxwell nëse përcaktojmë integralin mbi të gjitha shpejtësitë e funksionit v2f(v). Formula për shpejtësinë mesatare kuadratike do të marrë formën:
v3=√(3RT/M).
Barazia tregon se kjo shpejtësi është më e madhe se v2 dhe v1 për çdo sistem gazi.
Kështu, të gjitha llojet e konsideruara të shpejtësive në grafikun e shpërndarjes Maxwell shtrihen ose në ekstremin ose në të djathtë të tij.
Rëndësia e v3
U vu re më lart se shpejtësia mesatare katrore është më e rëndësishme për të kuptuar proceset fizike dhe vetitë e një sistemi gazi sesa shpejtësia mesatare e thjeshtë v2. Kjo është e vërtetë, pasi energjia kinetike e një gazi ideal varet pikërisht nga v3, dhe jo nga v2.
Nëse marrim parasysh një gaz ideal monoatomik, atëherë shprehja e mëposhtme është e vërtetë për të:
mv32/2=3/2kT.
Këtu, secila pjesë e ekuacionit përfaqëson energjinë kinetike të një grimce me masë m. Pse shprehja përmban saktësisht vlerën v3, dhe jo shpejtësinë mesatare v2? Shumë e thjeshtë: kur përcaktohet energjia kinetike e secilës grimcë, shpejtësia e saj individuale v është në katror, atëherë të gjitha shpejtësitështohen dhe pjesëtohen me numrin e grimcave N. Domethënë, vetë procedura për përcaktimin e energjisë kinetike çon në vlerën e shpejtësisë mesatare katrore.
Varësia e funksionit f(v) nga temperatura
Kemi vërtetuar më lart se densiteti i probabilitetit të shpejtësive molekulare varet në mënyrë unike nga temperatura. Si do të ndryshojë funksioni nëse T rritet ose zvogëlohet? Grafiku i mëposhtëm do të ndihmojë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje.
Shihet se ngrohja e sistemit të mbyllur çon në njollosjen e majës dhe zhvendosjen e saj drejt shpejtësive më të larta. Një rritje e temperaturës çon në një rritje të të gjitha llojeve të shpejtësive dhe në një ulje të densitetit të probabilitetit të secilës prej tyre. Vlera e pikut zvogëlohet për shkak të ruajtjes së numrit të grimcave N në një sistem të mbyllur.
Më pas, do të zgjidhim disa probleme për të konsoliduar materialin teorik të marrë.
Problem me molekulat e azotit në ajër
Është e nevojshme të llogaritni shpejtësitë v1, v2 dhe v3 për azotin e ajrit në temperaturën 300 K (rreth 27 oC).
Masa molare e azotit N2 është 28 g/mol. Duke përdorur formulat e mësipërme, marrim:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problemi i rezervuarit të oksigjenit
Oksigjeni në cilindër ishte në një temperaturë të caktuar T1. Pastaj balona u vendos në një dhomë më të ftohtë. Si do të ndryshojë grafiku i shpërndarjes së shpejtësisë së Maxwell për molekulat e oksigjenit kur sistemi të vijë në ekuilibrin termodinamik?
Duke kujtuar teorinë, ne mund t'i përgjigjemi pyetjes së problemit në këtë mënyrë: vlerat e të gjitha llojeve të shpejtësive të molekulave do të ulen, kulmi i funksionit f(v) do të zhvendoset në të majtë, bëhen gjithnjë e më të ngushta.
