Planimetria është një degë e gjeometrisë që studion vetitë e figurave të rrafshët. Këto përfshijnë jo vetëm trekëndësha, katrorë, drejtkëndësha të njohur, por edhe linja dhe kënde të drejta. Në planimetri, ekzistojnë edhe koncepte të tilla si kënde në një rreth: qendror dhe i brendashkruar. Por çfarë kuptimi kanë ato?
Cili është këndi qendror?
Për të kuptuar se çfarë është një kënd qendror, duhet të përcaktoni një rreth. Një rreth është një koleksion i të gjitha pikave të barabarta nga një pikë e caktuar (qendra e rrethit).
Është shumë e rëndësishme ta dalloni atë nga një rreth. Duhet mbajtur mend se një rreth është një vijë e mbyllur, dhe një rreth është një pjesë e një plani të kufizuar prej tij. Një shumëkëndësh ose një kënd mund të futet në një rreth.
Një kënd qendror është një kënd, kulmi i të cilit përkon me qendrën e rrethit dhe brinjët e të cilit e ndërpresin rrethin në dy pika. Harku, të cilin këndi e kufizon me pikat e kryqëzimit, quhet harku mbi të cilin mbështetet këndi i dhënë.
Mendoni shembullin 1.
Në foto, këndi AOB është qendror, sepse kulmi i këndit dhe qendra e rrethit janë një pikë O. Ai mbështetet në harkun AB, i cili nuk përmban pikën C.
Si ndryshon një kënd i brendashkruar nga ai qendror?
Megjithatë, përveç atyre qendrore, ka edhe kënde të brendashkruara. Cili është ndryshimi i tyre? Ashtu si ai qendror, këndi i gdhendur në një rreth qëndron në një hark të caktuar. Por kulmi i tij nuk përkon me qendrën e rrethit, por shtrihet mbi të.
Le të marrim shembullin e mëposhtëm.
Këndi ACB quhet një kënd i brendashkruar në një rreth me qendër në pikën O. Pika C i përket rrethit, domethënë shtrihet mbi të. Këndi mbështetet në harkun AB.
Cili është këndi qendror
Për të përballuar me sukses problemet në gjeometri, nuk mjafton të jesh në gjendje të dallosh midis këndeve të brendashkruara dhe qendrore. Si rregull, për t'i zgjidhur ato, duhet të dini saktësisht se si të gjeni këndin qendror në një rreth dhe të jeni në gjendje të llogarisni vlerën e tij në gradë.
Pra, këndi qendror është i barabartë me masën e shkallës së harkut ku mbështetet.
Në figurë, këndi AOB qëndron në harkun AB të barabartë me 66°. Pra, këndi AOB është gjithashtu i barabartë me 66°.
Kështu, këndet qendrore të bazuara në harqe të barabarta janë të barabarta.
Në figurë, harku DC është i barabartë me harkun AB. Pra, këndi AOB është i barabartë me këndin DOC.
Si të gjeni një kënd të brendashkruar
Mund të duket se këndi i gdhendur në rreth është i barabartë me këndin qendror,që mbështetet në të njëjtin hark. Megjithatë, ky është një gabim i rëndë. Në fakt, edhe vetëm duke parë vizatimin dhe duke i krahasuar këto kënde me njëri-tjetrin, mund të shihni se masat e shkallës së tyre do të kenë vlera të ndryshme. Pra, cili është këndi i brendashkruar në rreth?
Masa e shkallës së një këndi të brendashkruar është gjysma e harkut ku mbështetet, ose gjysma e këndit qendror nëse mbështeten në të njëjtin hark.
Le të shqyrtojmë një shembull. Këndi ACB bazohet në një hark të barabartë me 66°.
Pra, këndi DIA=66°: 2=33°
Le të shqyrtojmë disa pasoja të kësaj teoreme.
- Këndet e brendashkruara, nëse bazohen në të njëjtin hark, akord ose harqe të barabarta, janë të barabarta.
- Nëse këndet e brendashkruara bazohen në të njëjtën kordë, por kulmet e tyre shtrihen në anët e kundërta të saj, shuma e masave të shkallës së këtyre këndeve është 180°, pasi në këtë rast të dy këndet bazohen në harqe, masa totale e shkallës së së cilës është 360 ° (rrethi i tërë), 360 °: 2=180°
- Nëse këndi i brendashkruar bazohet në diametrin e rrethit të dhënë, masa e shkallës së tij është 90°, pasi diametri nënshtron një hark të barabartë me 180°, 180°: 2=90°
- Nëse këndet qendrore dhe të brendashkruara në një rreth bazohen në të njëjtin hark ose kordë, atëherë këndi i brendashkruar është i barabartë me gjysmën e atij qendror.
Ku mund të gjenden problemet në këtë temë? Llojet dhe zgjidhjet e tyre
Meqenëse rrethi dhe vetitë e tij janë një nga seksionet më të rëndësishme të gjeometrisë, planimetria në veçanti, këndet e brendashkruara dhe qendrore në rreth janë një temë e gjerë dhe e detajuarstudiuar në kurrikulën e shkollës. Detyrat kushtuar pronave të tyre gjenden në provimin kryesor të shtetit (OGE) dhe provimin e unifikuar të shtetit (USE). Si rregull, për të zgjidhur këto probleme, duhet të gjeni këndet në rreth në gradë.
Kënde të bazuara në të njëjtin hark
Ky lloj problemi është ndoshta një nga më të lehtat, pasi për ta zgjidhur atë duhet të dini vetëm dy veti të thjeshta: nëse të dy këndet janë të gdhendura dhe mbështeten në të njëjtën kordë, ato janë të barabarta, nëse njëri prej tyre është qendrore, atëherë këndi përkatës i brendashkruar është i barabartë me gjysmën e tij. Sidoqoftë, kur i zgjidhni ato, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm: ndonjëherë është e vështirë të vërehet kjo pronë, dhe studentët, kur zgjidhin probleme kaq të thjeshta, vijnë në një rrugë pa krye. Merrni një shembull.
Problemi 1
Jep një rreth me qendër në pikën O. Këndi AOB është 54°. Gjeni masën e shkallës së këndit DIA.
Kjo detyrë zgjidhet në një hap. E vetmja gjë që ju nevojitet për të gjetur përgjigjen për të shpejt është të vëreni se harku në të cilin mbështeten të dy qoshet është i përbashkët. Duke parë këtë, ju mund të aplikoni pronën tashmë të njohur. Këndi ACB është gjysma e këndit AOB. Pra, 1) AOB=54°: 2=27°.
Përgjigje: 54°.
Kënde të bazuara në harqe të ndryshme të të njëjtit rreth
Ndonjëherë madhësia e harkut mbi të cilin mbështetet këndi i kërkuar nuk përcaktohet drejtpërdrejt në kushtet e problemit. Për ta llogaritur atë, duhet të analizoni madhësinë e këtyre këndeve dhe t'i krahasoni ato me vetitë e njohura të rrethit.
Problemi 2
Në një rreth me qendër në O, këndi AOCështë 120°, dhe këndi AOB është 30°. Gjeni këndin JU.
Për të filluar, vlen të thuhet se është e mundur të zgjidhet ky problem duke përdorur vetitë e trekëndëshave izosceles, por kjo do të kërkojë më shumë operacione matematikore. Prandaj, këtu do të analizojmë zgjidhjen duke përdorur vetitë e këndeve qendrore dhe të brendashkruara në një rreth.
Pra, këndi AOC qëndron në harkun AC dhe është qendror, që do të thotë se harku AC është i barabartë me këndin AOC.
AC=120°
Në të njëjtën mënyrë, këndi AOB mbështetet në harkun AB.
AB=30°.
Duke ditur këtë dhe masën e shkallës së të gjithë rrethit (360°), mund ta gjeni lehtësisht madhësinë e harkut BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Kalja e këndit CAB, pika A, shtrihet në rreth. Prandaj, këndi CAB është i brendashkruar dhe i barabartë me gjysmën e harkut CB.
Këndi CAB=210°: 2=110°
Përgjigje: 110°
Probleme bazuar në raportet e harkut
Disa problema nuk përmbajnë fare të dhëna për këndet, kështu që ato duhet të kërkohen duke u bazuar vetëm në teoremat dhe vetitë e njohura të një rrethi.
Problemi 1
Gjeni këndin e brendashkruar në një rreth që mbështetet nga një kordë e barabartë me rrezen e rrethit të dhënë.
Nëse vizatoni mendërisht vija që lidhin skajet e segmentit me qendrën e rrethit, ju merrni një trekëndësh. Duke e ekzaminuar atë, mund të shihni se këto rreshta janë rrezet e rrethit, që do të thotë se të gjitha anët e trekëndëshit janë të barabarta. Ne e dimë se të gjitha këndet e një trekëndëshi barabrinjësjanë të barabarta me 60°. Pra, harku AB që përmban kulmin e trekëndëshit është i barabartë me 60°. Prej këtu gjejmë harkun AB, mbi të cilin bazohet këndi i dëshiruar.
AB=360° - 60°=300°
Këndi ABC=300°: 2=150°
Përgjigje: 150°
Problemi 2
Në një rreth me qendër në pikën O, harqet lidhen si 3:7. Gjeni këndin më të vogël të brendashkruar.
Për zgjidhjen, shënojmë një pjesë si X, atëherë një hark është i barabartë me 3X, dhe i dyti, përkatësisht, 7X. Duke ditur që masa e shkallës së një rrethi është 360°, mund të shkruajmë një ekuacion.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Sipas gjendjes, duhet të gjesh një kënd më të vogël. Natyrisht, nëse vlera e këndit është drejtpërdrejt proporcionale me harkun në të cilin ai mbështetet, atëherë këndi i kërkuar (më i vogël) korrespondon me një hark të barabartë me 3X.
Pra, këndi më i vogël është (36°3): 2=108°: 2=54°
Përgjigje: 54°
Problemi 3
Në një rreth me qendër në pikën O, këndi AOB është 60° dhe gjatësia e harkut më të vogël është 50. Llogaritni gjatësinë e harkut më të madh.
Për të llogaritur gjatësinë e një harku më të madh, duhet të bëni një proporcion - si lidhet harku më i vogël me atë më të madh. Për ta bërë këtë, ne llogarisim madhësinë e të dy harqeve në gradë. Harku më i vogël është i barabartë me këndin që qëndron mbi të. Masa e shkallës së saj është 60°. Harku më i madh është i barabartë me diferencën ndërmjet masës së shkallës së rrethit (është i barabartë me 360° pavarësisht nga të dhënat e tjera) dhe harkut më të vogël.
Harku i madh është 360° - 60°=300°.
Që nga 300°: 60°=5, harku më i madh është 5 herë më i vogël.
Harku i madh=505=250
Përgjigje: 250
Pra, sigurisht, ka edhe të tjerëqasje për zgjidhjen e problemeve të ngjashme, por të gjitha ato bazohen disi në vetitë e këndeve qendrore dhe të gdhendura, trekëndëshave dhe rrathëve. Për t'i zgjidhur ato me sukses, duhet të studioni me kujdes vizatimin dhe ta krahasoni atë me të dhënat e problemit, si dhe të jeni në gjendje të zbatoni njohuritë tuaja teorike në praktikë.
