Një nga aksiomat e gjeometrisë thotë se përmes çdo dy pikash është e mundur të vizatohet një vijë e vetme e drejtë. Kjo aksiomë dëshmon se ekziston një shprehje numerike unike që përshkruan në mënyrë unike objektin gjeometrik njëdimensional të specifikuar. Shqyrtoni në artikull pyetjen se si të shkruhet ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika.
Çfarë është një pikë dhe një drejtëz?
Para se të shqyrtohet çështja e ndërtimit në hapësirë dhe në rrafsh të një drejtëze të një ekuacioni që kalon nëpër një palë pika të ndryshme, duhet të përcaktohen objektet gjeometrike të specifikuara.
Një pikë përcaktohet në mënyrë unike nga një grup koordinatash në një sistem të caktuar boshtesh koordinatash. Përveç tyre, nuk ka më karakteristika për pikën. Ajo është një objekt me dimensione zero.
Kur flet për një vijë të drejtë, çdo person imagjinon një vijë të përshkruar në një fletë të bardhë letre. Në të njëjtën kohë, është e mundur të jepet një përkufizim i saktë gjeometrikkëtë objekt. Një vijë e drejtë është një koleksion pikash për të cilat lidhja e secilës prej tyre me të gjitha të tjerat do të japë një grup vektorësh paralelë.
Ky përkufizim përdoret kur vendoset ekuacioni vektorial i një drejtëze, e cila do të diskutohet më poshtë.
Meqenëse çdo rresht mund të shënohet me një segment me gjatësi arbitrare, thuhet se është një objekt gjeometrik njëdimensional.
Funksioni i vektorit të numrit
Një ekuacion përmes dy pikave të një drejtëze kalimtare mund të shkruhet në forma të ndryshme. Në hapësirat tre-dimensionale dhe dy-dimensionale, shprehja numerike kryesore dhe e kuptueshme intuitivisht është një vektor.
Supozojmë se ka një segment të drejtuar u¯(a; b; c). Në hapësirën 3D, vektori u mund të fillojë në çdo pikë, kështu që koordinatat e tij përcaktojnë një grup të pafund vektorësh paralelë. Megjithatë, nëse zgjedhim një pikë specifike P(x0; y0; z0) dhe vendosim si fillim i vektorit u¯, atëherë, duke shumëzuar këtë vektor me një numër real arbitrar λ, mund të përftohen të gjitha pikat e një drejtëze në hapësirë. Kjo do të thotë, ekuacioni vektorial do të shkruhet si:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Natyrisht, për rastin në aeroplan, funksioni numerik merr formën:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Përparësia e këtij lloj ekuacioni në krahasim me të tjerët (në segmente, kanonike,forma e përgjithshme) qëndron në faktin se ai përmban shprehimisht koordinatat e vektorit të drejtimit. Kjo e fundit përdoret shpesh për të përcaktuar nëse vijat janë paralele apo pingule.
Të përgjithshme në segmente dhe funksioni kanonik për një vijë të drejtë në hapësirën dydimensionale
Kur zgjidhni probleme, ndonjëherë ju duhet të shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika në një formë të caktuar dhe specifike. Prandaj, duhen dhënë mënyra të tjera të specifikimit të këtij objekti gjeometrik në hapësirën dydimensionale (për thjeshtësi, ne e konsiderojmë rastin në rrafsh).
Le të fillojmë me një ekuacion të përgjithshëm. Ka formën:
Ax + By + C=0
Si rregull, në rrafsh ekuacioni i një drejtëze shkruhet në këtë formë, vetëm y përcaktohet në mënyrë eksplicite përmes x.
Tani transformoni shprehjen e mësipërme si më poshtë:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Kjo shprehje quhet ekuacion në segmente, pasi emëruesi për secilën variabël tregon se sa kohë ndërpritet segmenti i linjës në boshtin koordinativ përkatës në lidhje me pikën fillestare (0; 0).
Mbetet të japim një shembull të ekuacionit kanonik. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë barazinë e vektorit në mënyrë eksplicite:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Le të shprehim parametrin λ nga këtu dhe të barazojmë barazitë që rezultojnë:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Barazia e fundit quhet ekuacion në formë kanonike ose simetrike.
Secili prej tyre mund të konvertohet në vektor dhe anasjelltas.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: një teknikë përmbledhjeje
Kthehu tek pyetja e artikullit. Supozoni se ka dy pika në hapësirë:
M(x1; y1; z1) dhe N(x 2; y2; z2)
Ndër to kalon drejtëza e vetme, ekuacioni i së cilës kompozohet shumë lehtë në formë vektoriale. Për ta bërë këtë, ne llogarisim koordinatat e segmentit të drejtuar MN¯, kemi:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nuk është e vështirë të merret me mend se ky vektor do të jetë udhëzues për drejtëzën, ekuacioni i së cilës duhet të merret. Duke ditur që kalon edhe nëpër M dhe N, ju mund të përdorni koordinatat e secilës prej tyre për një shprehje vektoriale. Atëherë ekuacioni i dëshiruar merr formën:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Për rastin në hapësirën dydimensionale, marrim një barazi të ngjashme pa pjesëmarrjen e ndryshores z.
Sapo të shkruhet barazia e vektorit për rreshtin, ajo mund të përkthehet në çdo formë tjetër që kërkon pyetja e problemit.
Detyrë:shkruani një ekuacion të përgjithshëm
Dihet se një drejtëz kalon nëpër pikat me koordinata (-1; 4) dhe (3; 2). Është e nevojshme të përpilohet ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër to, në një formë të përgjithshme, duke shprehur y në terma x.
Për të zgjidhur problemin, fillimisht shkruajmë ekuacionin në formë vektoriale. Koordinatat e vektorit (udhëzues) janë:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Atëherë forma vektoriale e ekuacionit të drejtëzës është si vijon:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Mbetet ta shkruajmë në formë të përgjithshme në formën y(x). Ne e rishkruajmë këtë barazi në mënyrë eksplicite, shprehim parametrin λ dhe e përjashtojmë atë nga ekuacioni:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-v)/2;
(x+1)/4=(4-v)/2
Nga ekuacioni kanonik që rezulton, ne shprehim y dhe vijmë në përgjigjen e pyetjes së problemit:
y=-0,5x + 3,5
Vlefshmëria e kësaj barazie mund të kontrollohet duke zëvendësuar koordinatat e pikave të specifikuara në deklaratën e problemit.
Problem: një vijë e drejtë që kalon në qendër të segmentit
Tani le të zgjidhim një problem interesant. Supozoni se janë dhënë dy pika M(2; 1) dhe N(5; 0). Dihet se një vijë e drejtë kalon në mes të segmentit që lidh pikat dhe është pingul me të. Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nga mesi i segmentit në formë vektoriale.
Shprehja numerike e dëshiruar mund të formohet duke llogaritur koordinatat e kësaj qendre dhe duke përcaktuar vektorin e drejtimit, i cilisegmenti bën një kënd 90o.
Pika e mesit e segmentit është:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Tani le të llogarisim koordinatat e vektorit MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Meqenëse vektori i drejtimit për vijën e dëshiruar është pingul me MN¯, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero. Kjo ju lejon të llogaritni koordinatat e panjohura (a; b) të vektorit drejtues:
a3 - b=0=>
b=3a
Tani shkruani ekuacionin e vektorit:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Këtu kemi zëvendësuar produktin aλ me një parametër të ri β.
Kështu, kemi bërë ekuacionin e një drejtëze që kalon nga qendra e segmentit.
