Në gjeometri, pas një pike, një vijë e drejtë është ndoshta elementi më i thjeshtë. Përdoret në ndërtimin e çdo figure komplekse në aeroplan dhe në hapësirën tredimensionale. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë dhe do të zgjidhim disa probleme duke e përdorur atë. Le të fillojmë!
Vijë e drejtë në gjeometri
Të gjithë e dinë se forma të tilla si drejtkëndëshi, trekëndëshi, prizmi, kubi e kështu me radhë formohen nga kryqëzimi i vijave të drejta. Një vijë e drejtë në gjeometri është një objekt njëdimensional që mund të merret duke transferuar një pikë të caktuar në një vektor që ka drejtim të njëjtë ose të kundërt. Për të kuptuar më mirë këtë përkufizim, imagjinoni se ka një pikë P në hapësirë. Merrni një vektor arbitrar u¯ në këtë hapësirë. Atëherë çdo pikë Q e drejtëzës mund të merret si rezultat i veprimeve matematikore të mëposhtme:
Q=P + λu¯.
Këtu λ është një numër arbitrar që mund të jetë pozitiv ose negativ. Nëse baraziashkruajmë më lart në terma të koordinatave, atëherë marrim ekuacionin vijues të një drejtëze:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ky barazi quhet ekuacioni i drejtëzës në formë vektoriale. Dhe vektori u¯ quhet udhëzues.
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në një rrafsh
Çdo student mund ta shkruajë pa asnjë vështirësi. Por më shpesh ekuacioni shkruhet kështu:
y=kx + b.
Ku k dhe b janë numra arbitrar. Numri b quhet anëtar i lirë. Parametri k është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga kryqëzimi i drejtëzës me boshtin x.
Ekuacioni i mësipërm shprehet në lidhje me ndryshoren y. Nëse e paraqesim në një formë më të përgjithshme, atëherë marrim shënimin e mëposhtëm:
Ax + By + C=0.
Është e lehtë të tregohet se kjo formë e shkrimit të ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze në një rrafsh shndërrohet lehtësisht në formën e mëparshme. Për ta bërë këtë, pjesa e majtë dhe e djathtë duhet të ndahen me faktorin B dhe të shprehen y.
Figura e mësipërme tregon një vijë të drejtë që kalon nëpër dy pika.
Një linjë në hapësirën 3D
Le të vazhdojmë studimin tonë. Ne shqyrtuam pyetjen se si jepet ekuacioni i një drejtëze në një formë të përgjithshme në një plan. Nëse zbatojmë shënimin e dhënë në paragrafin e mëparshëm të artikullit për rastin hapësinor, çfarë do të marrim? Gjithçka është e thjeshtë - jo më një vijë e drejtë, por një aeroplan. Në të vërtetë, shprehja e mëposhtme përshkruan një plan që është paralel me boshtin z:
Ax + By + C=0.
Nëse C=0, atëherë një plan i tillë kalonpërmes boshtit z. Ky është një veçori e rëndësishme.
Si të jemi atëherë me ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze në hapësirë? Për të kuptuar se si ta pyesni atë, duhet të mbani mend diçka. Dy plane kryqëzohen përgjatë një vije të caktuar të drejtë. Çfarë do të thotë kjo? Vetëm se ekuacioni i përgjithshëm është rezultat i zgjidhjes së një sistemi me dy ekuacione për plane. Le të shkruajmë këtë sistem:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ky sistem është ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në hapësirë. Vini re se rrafshet nuk duhet të jenë paralel me njëri-tjetrin, domethënë, vektorët e tyre normalë duhet të jenë të prirur në një kënd në lidhje me njëri-tjetrin. Përndryshe, sistemi nuk do të ketë zgjidhje.
Më sipër dhamë formën vektoriale të ekuacionit për një drejtëz. Është i përshtatshëm për t'u përdorur gjatë zgjidhjes së këtij sistemi. Për ta bërë këtë, së pari duhet të gjeni produktin vektorial të normaleve të këtyre planeve. Rezultati i këtij operacioni do të jetë një vektor i drejtimit të një vije të drejtë. Pastaj, çdo pikë që i përket linjës duhet të llogaritet. Për ta bërë këtë, ju duhet të vendosni cilindo nga variablat të barabartë me një vlerë të caktuar, dy variablat e mbetur mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e reduktuar.
Si të përkthejmë një ekuacion vektorial në një të përgjithshëm? Nuancat
Ky është një problem aktual që mund të lindë nëse duhet të shkruani ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze duke përdorur koordinatat e njohura të dy pikave. Le të tregojmë se si zgjidhet ky problem me një shembull. Le të dihen koordinatat e dy pikave:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ekuacioni në formë vektori është mjaft i lehtë për t'u kompozuar. Koordinatat e vektorit të drejtimit janë:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Vini re se nuk ka ndryshim nëse zbresim koordinatat Q nga koordinatat e pikës P, vektori do të ndryshojë drejtimin e tij vetëm në të kundërtën. Tani duhet të merrni çdo pikë dhe të shkruani ekuacionin e vektorit:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Për të shkruar ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze, parametri λ duhet të shprehet në të dyja rastet. Dhe pastaj krahasoni rezultatet. Ne kemi:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Mbetet vetëm të hapen kllapat dhe të transferohen të gjitha termat e ekuacionit në njërën anë të ekuacionit në mënyrë që të përftohet një shprehje e përgjithshme për një drejtëz që kalon nëpër dy pika të njohura.
Në rastin e një problemi tredimensional, algoritmi i zgjidhjes ruhet, vetëm rezultati i tij do të jetë një sistem me dy ekuacione për plane.
Detyra
Është e nevojshme të bëhet një ekuacion i përgjithshëmnjë drejtëz që pret boshtin x në (-3, 0) dhe është paralel me boshtin y.
Le të fillojmë të zgjidhim problemin duke shkruar ekuacionin në formë vektoriale. Meqenëse drejtëza është paralele me boshtin y, atëherë vektori drejtues për të do të jetë si vijon:
u¯=(0, 1).
Atëherë rreshti i dëshiruar do të shkruhet si më poshtë:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Tani le ta përkthejmë këtë shprehje në një formë të përgjithshme, për këtë ne shprehim parametrin λ:
- x=-3;
- y=λ.
Kështu, çdo vlerë e ndryshores y i përket rreshtit, megjithatë, vetëm vlera e vetme e ndryshores x korrespondon me të. Prandaj, ekuacioni i përgjithshëm do të marrë formën:
x + 3=0.
Problem me një vijë të drejtë në hapësirë
Dihet se dy plane të kryqëzuara jepen nga ekuacionet e mëposhtme:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Është e nevojshme të gjendet ekuacioni vektorial i drejtëzës përgjatë së cilës kryqëzohen këto plane. Le të fillojmë.
Siç u tha, ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në hapësirën tredimensionale është dhënë tashmë në formën e një sistemi prej dysh me tre të panjohura. Para së gjithash, ne përcaktojmë vektorin e drejtimit përgjatë të cilit kryqëzohen aeroplanët. Duke shumëzuar koordinatat vektoriale të normaleve me plane, marrim:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Meqenëse shumëzimi i një vektori me një numër negativ ndryshon drejtimin e tij, ne mund të shkruajmë:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Përpër të gjetur një shprehje vektoriale për një drejtëz, përveç vektorit të drejtimit, duhet të dihet edhe një pikë e kësaj drejtëze. Gjeni meqenëse koordinatat e tij duhet të plotësojnë sistemin e ekuacioneve në gjendjen e problemit, atëherë do t'i gjejmë ato. Për shembull, le të vendosim x=0, atëherë marrim:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Kështu, pika që i përket drejtëzës së dëshiruar ka koordinatat:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Pastaj marrim përgjigjen për këtë problem, ekuacioni vektorial i vijës së dëshiruar do të duket si:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Korrektësia e zgjidhjes mund të kontrollohet lehtësisht. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një vlerë arbitrare të parametrit λ dhe të zëvendësoni koordinatat e marra të pikës së vijës së drejtë në të dy ekuacionet për aeroplanët, do të merrni një identitet në të dy rastet.
