Një nga problemet e zakonshme në stereometri janë detyrat e kryqëzimit të drejtëzave dhe planeve dhe llogaritja e këndeve ndërmjet tyre. Le të shqyrtojmë në këtë artikull në mënyrë më të detajuar të ashtuquajturën metodë koordinative dhe këndet midis vijës dhe planit.
Vija dhe plani në gjeometri
Para se të shqyrtoni metodën e koordinatave dhe këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi, duhet të njiheni me objektet gjeometrike të emërtuara.
Një drejtëz është një koleksion i tillë pikash në hapësirë ose në një rrafsh, secila prej të cilave mund të merret duke transferuar në mënyrë lineare të mëparshmen në një vektor të caktuar. Në atë që vijon, ne e shënojmë këtë vektor me simbolin u¯. Nëse ky vektor shumëzohet me ndonjë numër që nuk është i barabartë me zero, atëherë marrim një vektor paralel me u¯. Një linjë është një objekt linear i pafund.
Një plan është gjithashtu një koleksion pikash që janë të vendosura në atë mënyrë që nëse krijoni vektorë arbitrar prej tyre, atëherë të gjithë do të jenë pingul me disa vektorë n¯. Kjo e fundit quhet normale ose thjesht normale. Një plan, ndryshe nga një vijë e drejtë, është një objekt i pafundëm dydimensional.
Metodë koordinative për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë
Bazuar në emrin e vetë metodës, mund të konkludojmë se bëhet fjalë për një metodë për zgjidhjen e problemeve, e cila bazohet në performancën e llogaritjeve sekuenciale analitike. Me fjalë të tjera, metoda e koordinatave ju lejon të zgjidhni probleme gjeometrike duke përdorur mjete universale të algjebrës, kryesore prej të cilave janë ekuacionet.
Duhet të theksohet se metoda në shqyrtim u shfaq në agimin e gjeometrisë dhe algjebrës moderne. Një kontribut të madh në zhvillimin e tij dhanë Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton dhe Leibniz në shekujt 17-18.
Thelbi i metodës është llogaritja e distancave, këndeve, sipërfaqeve dhe vëllimeve të elementeve gjeometrike bazuar në koordinatat e pikave të njohura. Vini re se forma e ekuacioneve përfundimtare të marra varet nga sistemi i koordinatave. Më shpesh, sistemi kartezian drejtkëndor përdoret në probleme, pasi është më i përshtatshëm për të punuar me të.
Ekuacioni i linjës
Duke marrë parasysh metodën e koordinatave dhe këndet ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit, le të fillojmë me vendosjen e ekuacionit të drejtëzës. Ka disa mënyra për të paraqitur linjat në formë algjebrike. Këtu kemi parasysh vetëm ekuacionin e vektorit, pasi ai mund të merret lehtësisht prej tij në çdo formë tjetër dhe është i lehtë për t'u punuar me të.
Supozojmë se ka dy pika: P dhe Q. Dihet se një vijë mund të vizatohet përmes tyre, dhe ajodo të jetë i vetmi. Paraqitja përkatëse matematikore e elementit duket kështu:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Ku PQ¯ është një vektor, koordinatat e të cilit janë marrë si më poshtë:
PQ¯=Q - P.
Simboli λ tregon një parametër që mund të marrë absolutisht çdo numër.
Në shprehjen e shkruar, ju mund të ndryshoni drejtimin e vektorit, dhe gjithashtu të zëvendësoni koordinatat Q në vend të pikës P. Të gjitha këto transformime nuk do të çojnë në një ndryshim në vendndodhjen gjeometrike të vijës.
Vini re se gjatë zgjidhjes së problemeve, ndonjëherë kërkohet të përfaqësohet ekuacioni i shkruar i vektorit në një formë të qartë (parametrike).
Vendosja e një aeroplani në hapësirë
Ashtu si për një vijë të drejtë, ekzistojnë edhe disa forma të ekuacioneve matematikore për një plan. Midis tyre shënojmë vektorin, ekuacionin në segmente dhe formën e përgjithshme. Në këtë artikull do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë formës së fundit.
Një ekuacion i përgjithshëm për një plan arbitrar mund të shkruhet si më poshtë:
Ax + By + Cz + D=0.
Shkronjat e mëdha latine janë numra të caktuar që përcaktojnë një plan.
Përshtatshmëria e këtij shënimi është se ai përmban në mënyrë eksplicite një vektor normal me rrafshin. Është e barabartë me:
n¯=(A, B, C).
Njohja e këtij vektori bën të mundur, duke parë shkurtimisht ekuacionin e rrafshit, të imagjinojmë vendndodhjen e këtij të fundit në sistemin koordinativ.
Marrëveshje reciproke nëhapësira e vijës dhe e planit
Në paragrafin tjetër të artikullit do të kalojmë në shqyrtimin e metodës së koordinatave dhe këndit midis drejtëzës dhe rrafshit. Këtu do t'i përgjigjemi pyetjes se si elementët gjeometrikë të konsideruar mund të vendosen në hapësirë. Ka tre mënyra:
- Vija e drejtë e pret rrafshin. Duke përdorur metodën e koordinatave, mund të llogarisni se në cilën pikë të vetme kryqëzohen drejtëza dhe plani.
- Rrafshi i drejtëzës është paralel. Në këtë rast, sistemi i ekuacioneve të elementeve gjeometrike nuk ka zgjidhje. Për të vërtetuar paralelizmin, zakonisht përdoret vetia e produktit skalar të vektorit drejtues të drejtëzës dhe normales së rrafshit.
- Aeroplani përmban një vijë. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve në këtë rast do të arrijmë në përfundimin se për çdo vlerë të parametrit λ fitohet barazia e saktë.
Në rastin e dytë dhe të tretë, këndi ndërmjet objekteve gjeometrike të specifikuara është i barabartë me zero. Në rastin e parë, ajo qëndron ndërmjet 0 dhe 90o.
Llogaritja e këndeve ndërmjet drejtëzave dhe planeve
Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në temën e artikullit. Çdo kryqëzim i vijës dhe rrafshit ndodh në një kënd. Ky kënd formohet nga vetë vija e drejtë dhe projeksioni i saj në rrafsh. Një projeksion mund të merret nëse nga cilado pikë e vijës së drejtë një pingul ulet në rrafsh, dhe pastaj përmes pikës së marrë të kryqëzimit të planit dhe pingules dhe pikës së kryqëzimit të planit dhe vijës origjinale, vizatoni një vijë e drejtë që do të jetë një projeksion.
Llogaritja e këndeve ndërmjet vijave dhe planeve nuk është një detyrë e vështirë. Për ta zgjidhur atë, mjafton të njihen ekuacionet e objekteve gjeometrike përkatëse. Le të themi se këto ekuacione duken kështu:
(x, y, z)=(x0, y0, z0 ) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Këndi i dëshiruar gjendet lehtësisht duke përdorur vetinë e prodhimit të vektorëve skalar u¯ dhe n¯. Formula përfundimtare duket kështu:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Kjo formulë thotë se sinusi i këndit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit është i barabartë me raportin e modulit të produktit skalar të vektorëve të shënuar me produktin e gjatësive të tyre. Për të kuptuar pse sinusi u shfaq në vend të kosinusit, le t'i drejtohemi figurës më poshtë.
Mund të shihet se nëse zbatojmë funksionin kosinus, do të marrim këndin midis vektorëve u¯ dhe n¯. Këndi i dëshiruar θ (α në figurë) fitohet si më poshtë:
θ=90o- β.
Sinusi shfaqet si rezultat i aplikimit të formulave të reduktimit.
Shembull problem
Le të kalojmë në përdorimin praktik të njohurive të marra. Le të zgjidhim një problem tipik në këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi. Janë dhënë koordinatat e mëposhtme të katër pikave:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Dihet se nëpërmjet pikave PQMnjë aeroplan kalon nëpër të dhe një vijë e drejtë kalon nëpër MN. Duke përdorur metodën e koordinatave, këndi midis planit dhe vijës duhet të llogaritet.
Së pari, le të shkruajmë ekuacionet e drejtëzës dhe rrafshit. Për një vijë të drejtë, është e lehtë për ta kompozuar atë:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Për të bërë ekuacionin e rrafshit, së pari gjejmë normalen e tij. Koordinatat e tij janë të barabarta me produktin vektorial të dy vektorëve që ndodhen në rrafshin e dhënë. Ne kemi:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Tani le të zëvendësojmë koordinatat e çdo pike që ndodhet në të në ekuacionin e planit të përgjithshëm për të marrë vlerën e termit të lirë D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ekuacioni i planit është:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Mbetet të zbatohet formula për këndin e formuar në kryqëzimin e drejtëzës dhe rrafshit për të marrë përgjigjen e problemit. Ne kemi:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=harksin(28/√(16224))=26, 68o.
Duke përdorur këtë problem si shembull, ne treguam se si të përdorim metodën e koordinatave për të zgjidhur problemet gjeometrike.
