Një problem tipik gjeometrik është gjetja e këndit ndërmjet vijave. Në një rrafsh, nëse dihen ekuacionet e drejtëzave, ato mund të vizatohen dhe këndi të matet me raportor. Sidoqoftë, kjo metodë është e mundimshme dhe jo gjithmonë e mundur. Për të zbuluar këndin e emërtuar, nuk është e nevojshme të vizatoni vija të drejta, ai mund të llogaritet. Ky artikull do të përgjigjet se si bëhet kjo.
Një drejtëz dhe ekuacioni vektorial i saj
Çdo drejtëz mund të paraqitet si një vektor që fillon në -∞ dhe përfundon në +∞. Në këtë rast, vektori kalon nëpër një pikë në hapësirë. Kështu, të gjithë vektorët që mund të vizatohen midis dy pikave në një vijë të drejtë do të jenë paralel me njëri-tjetrin. Ky përkufizim ju lejon të vendosni ekuacionin e një vije të drejtë në formë vektoriale:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Këtu, vektori me koordinatat (a; b; c) është udhëzuesi për këtë vijë që kalon nëpër pikën (x0; y0; z0). Parametri α ju lejon të transferoni pikën e specifikuar në ndonjë tjetër për këtë linjë. Ky ekuacion është intuitiv dhe i lehtë për t'u punuar si në hapësirën 3D ashtu edhe në aeroplan. Për një plan, ai nuk do të përmbajë koordinatat z dhe komponentin e vektorit të drejtimit të tretë.
Lehtësia e kryerjes së llogaritjeve dhe studimit të pozicionit relativ të drejtëzave për shkak të përdorimit të një ekuacioni vektorial është për faktin se vektori drejtues i tij është i njohur. Koordinatat e saj përdoren për të llogaritur këndin ndërmjet vijave dhe distancën ndërmjet tyre.
Ekuacion i përgjithshëm për një drejtëz në një plan
Le të shkruajmë në mënyrë eksplicite ekuacionin vektorial të drejtëzës për rastin dydimensional. Duket si:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Tani llogarisim parametrin α për çdo barazi dhe barazojmë pjesët e duhura të barazive të fituara:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Duke hapur kllapat dhe duke i transferuar të gjitha termat në njërën anë të barazisë, marrim:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, ku A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Shprehja që rezulton quhet ekuacion i përgjithshëm për një drejtëz të dhënë në hapësirën dydimensionale (në tredimensionale ky ekuacion korrespondon me një plan paralel me boshtin z, jo me një vijë të drejtë).
Nëse shkruajmë në mënyrë eksplicite y deri në x në këtë shprehje, atëherë marrim formën e mëposhtme, të njohursecili student:
y=kx + p, ku k=-A/B, p=-C/B
Ky ekuacion linear përcakton në mënyrë unike një vijë të drejtë në rrafsh. Është shumë e lehtë ta vizatoni sipas ekuacionit të njohur, për këtë duhet të vendosni x=0 dhe y=0 me radhë, të shënoni pikat përkatëse në sistemin koordinativ dhe të vizatoni një vijë të drejtë që lidh pikat e marra.
Formula e këndit ndërmjet vijave
Në një plan, dy drejtëza mund të kryqëzohen ose të jenë paralele me njëra-tjetrën. Në hapësirë, këtyre opsioneve u shtohet mundësia e ekzistencës së linjave të animuara. Cilido qoftë versioni i pozicionit relativ të këtyre objekteve gjeometrike njëdimensionale që zbatohet, këndi ndërmjet tyre mund të përcaktohet gjithmonë me formulën e mëposhtme:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Ku v1¯ dhe v2¯ janë vektorët udhëzues për rreshtin 1 dhe 2 respektivisht. Numëruesi është moduli i produktit me pika për të përjashtuar këndet e mpirë dhe për të marrë parasysh vetëm ato të mprehta.
Vektorët v1¯ dhe v2¯ mund të jepen me dy ose tre koordinata, ndërsa formula për këndin φ mbetet e pandryshuar.
Paralelizmi dhe pinguliteti i drejtëzave
Nëse këndi ndërmjet 2 drejtëzave i llogaritur duke përdorur formulën e mësipërme është 0o, atëherë ato thuhet se janë paralele. Për të përcaktuar nëse linjat janë paralele apo jo, nuk mund të llogarisni këndinφ, mjafton të tregohet se një vektor i drejtimit mund të përfaqësohet përmes një vektori të ngjashëm të një rreshti tjetër, që është:
v1¯=qv2¯
Këtu q është një numër real.
Nëse ekuacionet e drejtëzave jepen si:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
atëherë ato do të jenë paralele vetëm kur koeficientët e x janë të barabartë, domethënë:
k1=k2
Ky fakt mund të vërtetohet nëse kemi parasysh se si shprehet koeficienti k në terma të koordinatave të vektorit drejtues të drejtëzës.
Nëse këndi i kryqëzimit ndërmjet drejtëzave është 90o, atëherë ato quhen pingul. Për të përcaktuar pingulitetin e drejtëzave, gjithashtu nuk është e nevojshme të llogaritet këndi φ, për këtë mjafton të llogaritet vetëm prodhimi skalar i vektorëve v1¯ dhe v 2¯. Duhet të jetë zero.
Në rastin e prerjes së drejtëzave në hapësirë, mund të përdoret edhe formula për këndin φ. Në këtë rast, rezultati duhet të interpretohet saktë. Φ e llogaritur tregon këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të drejtëzave që nuk kryqëzohen dhe nuk janë paralele.
Detyra 1. Drejtëza pingule
Dihet se ekuacionet e drejtëzave kanë formën:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Është e nevojshme të përcaktohet nëse këto rreshta janëpingul.
Siç u përmend më lart, për t'iu përgjigjur pyetjes, mjafton të llogaritet prodhimi skalar i vektorëve të udhëzuesve, të cilët korrespondojnë me koordinatat (1; 2) dhe (-4; 2). Ne kemi:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Meqenëse kemi marrë 0, kjo do të thotë se drejtëzat e konsideruara kryqëzohen në një kënd të drejtë, domethënë ato janë pingule.
Detyra 2. Këndi i kryqëzimit të vijës
Dihet se dy ekuacione për drejtëza kanë formën e mëposhtme:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Është e nevojshme të gjendet këndi ndërmjet vijave.
Meqenëse koeficientët e x kanë vlera të ndryshme, këto rreshta nuk janë paralele. Për të gjetur këndin që formohet kur ato kryqëzohen, ne përkthejmë secilin prej ekuacioneve në një formë vektoriale.
Për rreshtin e parë marrim:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Në anën e djathtë të ekuacionit, morëm një vektor, koordinatat e të cilit varen nga x. Le ta paraqesim atë si një shumë të dy vektorëve, dhe koordinatat e të parit do të përmbajnë ndryshoren x, dhe koordinatat e të dytit do të përbëhen ekskluzivisht nga numrat:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Meqenëse x merr vlera arbitrare, ai mund të zëvendësohet nga parametri α. Ekuacioni vektorial për rreshtin e parë bëhet:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Bëjmë të njëjtat veprime me ekuacionin e dytë të rreshtit, marrim:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Ne rishkruam ekuacionet origjinale në formë vektoriale. Tani mund të përdorni formulën për këndin e kryqëzimit, duke zëvendësuar në të koordinatat e vektorëve drejtues të vijave:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Kështu, vijat në shqyrtim kryqëzohen në një kënd prej 71,565o, ose 1,249 radian.
Ky problem mund të ishte zgjidhur ndryshe. Për ta bërë këtë, ishte e nevojshme të merren dy pika arbitrare të secilës vijë të drejtë, të hartohen vektorë të drejtpërdrejtë prej tyre dhe më pas të përdoret formula për φ.
