Vektori është një objekt i rëndësishëm gjeometrik, me ndihmën e vetive të tij është i përshtatshëm për të zgjidhur shumë probleme në aeroplan dhe në hapësirë. Në këtë artikull, ne do ta përcaktojmë atë, do të shqyrtojmë karakteristikat e tij kryesore dhe gjithashtu do të tregojmë se si një vektor në hapësirë mund të përdoret për të përcaktuar plane.
Çfarë është një vektor: rasti dydimensional
Së pari, është e nevojshme të kuptohet qartë se për çfarë objekti po flasim. Në gjeometri, një segment i drejtuar quhet vektor. Si çdo segment, ai karakterizohet nga dy elementë kryesorë: pika e fillimit dhe e fundit. Koordinatat e këtyre pikave përcaktojnë në mënyrë unike të gjitha karakteristikat e vektorit.
Le të shqyrtojmë një shembull të një vektori në një plan. Për ta bërë këtë, ne vizatojmë dy boshte reciprokisht pingul x dhe y. Le të shënojmë një pikë arbitrare P(x, y). Nëse e lidhim këtë pikë me origjinën (pika O), dhe më pas specifikojmë drejtimin për në P, atëherë marrim vektorin OP¯ (më vonë në artikull, shiriti mbi simbolin tregon që po shqyrtojmë një vektor). Vizatimi i vektorit në plan është paraqitur më poshtë.
Këtu tregohet gjithashtu një vektor tjetër AB¯, dhe mund të shihni se karakteristikat e tij janë saktësisht të njëjta me OP¯, por është në një pjesë të ndryshme të sistemit të koordinatave. Nga përkthimi paralel OP¯, ju mund të merrni një numër të pafund vektorësh me të njëjtat veti.
Vektor në hapësirë
Të gjitha objektet reale që na rrethojnë janë në hapësirën tredimensionale. Studimi i vetive gjeometrike të figurave tredimensionale merret me stereometrinë, e cila operon me konceptin e vektorëve tredimensionale. Ato ndryshojnë nga ato dydimensionale vetëm në atë që përshkrimi i tyre kërkon një koordinatë shtesë, e cila matet përgjatë boshtit të tretë pingul x dhe y z.
Figura më poshtë tregon një vektor në hapësirë. Koordinatat e skajit të tij përgjatë secilit bosht tregohen me segmente me ngjyra. Fillimi i vektorit ndodhet në pikën e kryqëzimit të të tre boshteve të koordinatave, domethënë ka koordinata (0; 0; 0).
Meqenëse një vektor në një plan është një rast i veçantë i një segmenti të drejtuar hapësinor, ne do të shqyrtojmë vetëm një vektor tredimensional në artikull.
Koordinatat vektoriale bazuar në koordinatat e njohura të fillimit dhe mbarimit të tij
Supozoni se ka dy pika P (x1; y1; z1) dhe Q(x2; y2; z2). Si të përcaktohen koordinatat e vektorit PQ¯. Së pari, duhet të bini dakord se cila nga pikat do të jetë fillimi dhe cila fundi i vektorit. Në matematikë, është zakon të shkruhet objekti në fjalë përgjatë drejtimit të tij, domethënë P është fillimi, Q- fund. Së dyti, koordinatat e vektorit PQ¯ llogariten si ndryshim midis koordinatave përkatëse të fundit dhe fillimit, domethënë:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Vini re se duke ndryshuar drejtimin e vektorit, koordinatat e tij do të ndryshojnë shenjën, si më poshtë:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Kjo do të thotë PQ¯=-QP¯.
Është e rëndësishme të kuptosh edhe një gjë. Më sipër u tha se në rrafsh ka një numër të pafund vektorësh të barabartë me atë të dhënë. Ky fakt vlen edhe për rastin hapësinor. Në fakt, kur kemi llogaritur koordinatat e PQ¯ në shembullin e mësipërm, kemi kryer operacionin e përkthimit paralel të këtij vektori në atë mënyrë që origjina e tij të përkonte me origjinën. Vektori PQ¯ mund të vizatohet si segment i drejtuar nga origjina në pikën M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vetitë vektoriale
Ashtu si çdo objekt gjeometrik, një vektor ka disa karakteristika të qenësishme që mund të përdoren për të zgjidhur probleme. Le t'i rendisim shkurtimisht.
Moduli vektorial është gjatësia e segmentit të drejtuar. Duke ditur koordinatat, është e lehtë për ta llogaritur atë. Për vektorin PQ¯ në shembullin e mësipërm, moduli është:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2- y1)2+ (z2 - z1 )2].
Moduli vektor aktivrrafshi llogaritet me një formulë të ngjashme, vetëm pa pjesëmarrjen e koordinatës së tretë.
Shuma dhe diferenca e vektorëve kryhet sipas rregullit të trekëndëshit. Figura më poshtë tregon se si të mblidhen dhe zbriten këto objekte.
Për të marrë vektorin e shumës, shtoni fillimin e të dytit në fund të vektorit të parë. Vektori i dëshiruar do të fillojë në fillim të vektorit të parë dhe do të përfundojë në fund të vektorit të dytë.
Diferenca kryhet duke marrë parasysh faktin se vektori i zbritur zëvendësohet me atë të kundërt dhe më pas kryhet operacioni i mbledhjes i përshkruar më sipër.
Përveç mbledhjes dhe zbritjes, është e rëndësishme të jeni në gjendje të shumëzoni një vektor me një numër. Nëse numri është i barabartë me k, atëherë fitohet një vektor moduli i të cilit është k herë i ndryshëm nga ai origjinal dhe drejtimi është ose i njëjtë (k>0) ose i kundërt me atë origjinal (k<0).
Përcaktohet edhe funksioni i shumëzimit të vektorëve ndërmjet tyre. Do të veçojmë një paragraf të veçantë për të në artikull.
Shumëzimi skalar dhe vektorial
Supozoni se ka dy vektorë u¯(x1; y1; z1) dhe v¯(x2; y2; z2). Vektor për vektor mund të shumëzohet në dy mënyra të ndryshme:
- Skalar. Në këtë rast, rezultati është një numër.
- Vektor. Rezultati është një vektor i ri.
Produkti skalar i vektorëve u¯ dhe v¯ llogaritet si më poshtë:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Ku α është këndi ndërmjet vektorëve të dhënë.
Mund të tregohet se duke ditur koordinatat u¯ dhe v¯, produkti i tyre me pika mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Produkti skalar është i përshtatshëm për t'u përdorur kur zbërthehet një vektor në dy segmente të drejtuar pingul. Përdoret gjithashtu për të llogaritur paralelizmin ose ortogonalitetin e vektorëve dhe për të llogaritur këndin ndërmjet tyre.
Prodhimi kryq i u¯ dhe v¯ jep një vektor të ri që është pingul me ato origjinale dhe ka modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Drejtimi poshtë ose lart i vektorit të ri përcaktohet nga rregulli i dorës së djathtë (katër gishtat e dorës së djathtë drejtohen nga fundi i vektorit të parë në fund të të dytit, dhe gishti i madh ngjitet lart tregon drejtimin e vektorit të ri). Figura më poshtë tregon rezultatin e prodhimit të kryqëzuar për a¯ dhe b¯ arbitrare.
Prodhimi kryq përdoret për të llogaritur sipërfaqet e figurave, si dhe për të përcaktuar koordinatat e një vektori pingul me një plan të caktuar.
Vektorët dhe vetitë e tyre janë të përshtatshme për t'u përdorur gjatë përcaktimit të ekuacionit të një plani.
Ekuacioni normal dhe i përgjithshëm i planit
Ka disa mënyra për të përcaktuar një plan. Njëri prej tyre është nxjerrja e ekuacionit të përgjithshëm të rrafshit, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga njohja e vektorit pingul me të dhe ndonjë pikë e njohur që i përket rrafshit.
Supozojmë se ka një vektor n¯ (A; B; C) dhe një pikë P (x0; y0; z 0). Cili kusht do të plotësojë të gjitha pikat Q(x; y; z) të rrafshit? Ky kusht konsiston në pingulitetin e çdo vektori PQ¯ ndaj normales n¯. Për dy vektorë pingulë, produkti me pika bëhet zero (cos(90o)=0), shkruani këtë:
(n¯PQ¯)=0 ose
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Duke hapur kllapat, marrim:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ose
Ax + By + Cz +D=0 ku D=-Ax0-By0-Cz0.
Ky ekuacion quhet i përgjithshëm për rrafshin. Shohim se koeficientët përballë x, y dhe z janë koordinatat e vektorit pingul n¯. Quhet udhërrëfyes avioni.
Ekuacioni parametrik vektorial i planit
Mënyra e dytë për të përcaktuar një plan është përdorimi i dy vektorëve të shtrirë në të.
Supozojmë se ka vektorë u¯(x1; y1; z1) dhe v¯(x2; y2; z2). Siç u tha, secila prej tyre në hapësirë mund të përfaqësohet nga një numër i pafund segmentesh të drejtuara identike, prandaj, nevojitet një pikë më shumë për të përcaktuar në mënyrë unike rrafshin. Le të jetë kjo pikë P(x0;y0; z0). Çdo pikë Q(x; y; z) do të shtrihet në rrafshin e dëshiruar nëse vektori PQ¯ mund të përfaqësohet si një kombinim i u¯ dhe v¯. Kjo do të thotë, ne kemi:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Ku α dhe β janë disa numra realë. Nga kjo barazi rrjedh shprehja:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Quhet një ekuacion vektorial parametrik i rrafshit në lidhje me 2 vektorë u¯ dhe v¯. Duke zëvendësuar parametrat arbitrarë α dhe β, mund të gjenden të gjitha pikat (x; y; z) që i përkasin këtij plani.
Nga ky ekuacion është e lehtë të merret shprehja e përgjithshme për rrafshin. Për ta bërë këtë, mjafton të gjejmë vektorin e drejtimit n¯, i cili do të jetë pingul me të dy vektorët u¯ dhe v¯, domethënë duhet të zbatohet produkti i tyre vektorial.
Problemi i përcaktimit të ekuacionit të përgjithshëm të planit
Le të tregojmë se si të përdorim formulat e mësipërme për të zgjidhur problemet gjeometrike. Supozoni se vektori i drejtimit të rrafshit është n¯(5; -3; 1). Ju duhet të gjeni ekuacionin e rrafshit, duke ditur që pika P(2; 0; 0) i përket atij.
Ekuacioni i përgjithshëm shkruhet si:
Ax + By + Cz +D=0.
Meqenëse vektori pingul me rrafshin është i njohur, ekuacioni do të marrë formën:
5x - 3y + z +D=0.
Mbetet të gjejmë termin e lirë D. E llogarisim nga njohja e koordinatave P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Kështu, ekuacioni i dëshiruar i rrafshit ka formën:
5x - 3y + z -10=0.
Figura më poshtë tregon se si duket rrafshi që rezulton.
Koordinatat e treguara të pikave korrespondojnë me kryqëzimet e rrafshit me boshtet x, y dhe z.
Problemi i përcaktimit të planit nëpërmjet dy vektorëve dhe një pike
Tani supozoni se rrafshi i mëparshëm është përcaktuar ndryshe. Njihen dy vektorë u¯(-2; 0; 10) dhe v¯(-2; -10/3; 0), si dhe pika P(2; 0; 0). Si të shkruhet ekuacioni i rrafshët në formë parametrike vektoriale? Duke përdorur formulën përkatëse të konsideruar, marrim:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Vini re se përkufizimet e këtij ekuacioni të rrafshit, vektorët u¯ dhe v¯ mund të merren absolutisht çdo, por me një kusht: ato nuk duhet të jenë paralele. Përndryshe, rrafshi nuk mund të përcaktohet në mënyrë unike, megjithatë, mund të gjendet një ekuacion për një rreze ose një grup planesh.
