Aeroplan në hapësirë. Vendndodhja e avionëve në hapësirë

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Një plan është një objekt gjeometrik, vetitë e të cilit përdoren gjatë ndërtimit të projeksioneve të pikave dhe vijave, si dhe kur llogariten distancat dhe këndet dihedrale ndërmjet elementeve të figurave tredimensionale. Le të shqyrtojmë në këtë artikull se cilat ekuacione mund të përdoren për të studiuar vendndodhjen e aeroplanëve në hapësirë.

Përkufizimi i aeroplanit

Të gjithë imagjinojnë në mënyrë intuitive se çfarë objekti do të diskutohet. Nga pikëpamja gjeometrike, një plan është një koleksion pikash, çdo vektor ndërmjet të cilit duhet të jetë pingul me një vektor të vetëm. Për shembull, nëse ka m pika të ndryshme në hapësirë, atëherë m(m-1) / 2 vektorë të ndryshëm mund të bëhen prej tyre, duke i lidhur pikat në çifte. Nëse të gjithë vektorët janë pingul me një drejtim, atëherë ky është një kusht i mjaftueshëm që të gjitha pikat m t'i përkasin të njëjtit rrafsh.

Ekuacioni i përgjithshëm

Në gjeometrinë hapësinore, një plan përshkruhet duke përdorur ekuacione që përgjithësisht përmbajnë tre koordinata të panjohura që korrespondojnë me boshtet x, y dhe z. për tëmerrni ekuacionin e përgjithshëm në koordinatat e planit në hapësirë, supozoni se ekziston një vektor n¯(A; B; C) dhe një pikë M(x₀; y₀; z_{0). Duke përdorur këto dy objekte, rrafshi mund të përcaktohet në mënyrë unike.}

Në të vërtetë, supozoni se ekziston një pikë e dytë P(x; y; z) koordinatat e së cilës janë të panjohura. Sipas përkufizimit të dhënë më sipër, vektori MP¯ duhet të jetë pingul me n¯, domethënë, produkti skalar për ta është i barabartë me zero. Atëherë mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:

(n¯MP¯)=0 ose

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Duke hapur kllapat dhe duke futur një koeficient të ri D, marrim shprehjen:

Ax + By + Cz + D=0 ku D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Kjo shprehje quhet ekuacion i përgjithshëm për rrafshin. Është e rëndësishme të mbani mend se koeficientët përballë x, y dhe z formojnë koordinatat e vektorit n¯(A; B; C) pingul me rrafshin. Përkon me normalen dhe është një udhërrëfyes për aeroplanin. Për të përcaktuar ekuacionin e përgjithshëm, nuk ka rëndësi se ku është i drejtuar ky vektor. Kjo do të thotë, planet e ndërtuara mbi vektorët n¯ dhe -n¯ do të jenë të njëjta.

Figura e mësipërme tregon një plan, një vektor normal me të dhe një drejtëz pingul me rrafshin.

Segmente të prera nga rrafshi në akset dhe ekuacioni përkatës

Ekuacioni i përgjithshëm lejon përdorimin e operacioneve të thjeshta matematikore për të përcaktuar, nënë cilat pika rrafshi do të presë boshtet e koordinatave. Është e rëndësishme të njihni këtë informacion për të pasur një ide për pozicionin në hapësirën e avionit, si dhe për paraqitjen e tij në vizatime.

Për të përcaktuar pikat e emërtuara të kryqëzimit, përdoret një ekuacion në segmente. Quhet kështu sepse përmban në mënyrë eksplicite vlerat e gjatësisë së segmenteve të prera nga rrafshi në boshtet e koordinatave, kur numërohet nga pika (0; 0; 0). Le të marrim këtë ekuacion.

Shkruani shprehjen e përgjithshme për planin si më poshtë:

Ax + By + Cz=-D

Pjesat e majta dhe të djathta mund të ndahen me -D pa shkelur barazinë. Ne kemi:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ose

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Përcaktoni emëruesit e çdo termi me një simbol të ri, ne marrim:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C pastaj

x/p + y/q + z/r=1

Ky është ekuacioni i përmendur më sipër në segmente. Prej tij rezulton se vlera e emëruesit të secilit term tregon koordinatën e kryqëzimit me boshtin përkatës të planit. Për shembull, ai pret boshtin y në pikën (0; q; 0). Kjo është e lehtë për t'u kuptuar nëse zëvendësoni koordinatat zero x dhe z në ekuacion.

Vini re se nëse nuk ka ndryshore në ekuacion në segmente, kjo do të thotë që rrafshi nuk e pret boshtin përkatës. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen:

x/p + y/q=1

Kjo do të thotë se rrafshi do të presë segmentet p dhe q në boshtet x dhe y, përkatësisht, por do të jetë paralel me boshtin z.

Përfundim për sjelljen e aeroplanit kurmungesa e disa ndryshoreve në ekuacionin e saj është gjithashtu e vërtetë për një shprehje të tipit të përgjithshëm, siç tregohet në figurën më poshtë.

Ekuacioni parametrik vektorial

Ekziston një lloj i tretë ekuacioni që lejon përshkrimin e një rrafshi në hapësirë. Quhet vektor parametrik sepse jepet nga dy vektorë të shtrirë në rrafsh dhe dy parametra që mund të marrin vlera arbitrare të pavarura. Le të tregojmë se si mund të merret ky ekuacion.

Supozoni se ka disa vektorë të njohur u ¯(a₁; b₁; c₁) dhe v¯(a₂; b₂; c₂). Nëse nuk janë paralelë, atëherë mund të përdoren për të vendosur një plan specifik duke fiksuar fillimin e njërit prej këtyre vektorëve në një pikë të njohur M(x₀; y₀; z_{0). Nëse një vektor arbitrar MP¯ mund të përfaqësohet si një kombinim i vektorëve linearë u¯ dhe v¯, atëherë kjo do të thotë se pika P(x; y; z) i përket të njëjtit plan si u¯, v¯. Kështu, mund të shkruajmë barazinë:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ose duke e shkruar këtë barazi në terma të koordinatave, marrim:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Barazia e paraqitur është një ekuacion vektorial parametrik për rrafshin. AThapësira vektoriale në rrafshin u¯ dhe v¯ quhen gjeneratorë.

Më pas, gjatë zgjidhjes së problemit, do të tregohet se si ky ekuacion mund të reduktohet në një formë të përgjithshme për një plan.

Këndi ndërmjet avionëve në hapësirë

Intuitivisht, aeroplanët në hapësirën 3D mund të kryqëzohen ose jo. Në rastin e parë është me interes gjetja e këndit ndërmjet tyre. Llogaritja e këtij këndi është më e vështirë se këndi ndërmjet vijave, pasi bëhet fjalë për një objekt gjeometrik dihedral. Megjithatë, vektori udhëzues i përmendur tashmë për aeroplanin vjen në shpëtim.

Është vërtetuar gjeometrikisht se këndi dihedral ndërmjet dy rrafsheve të kryqëzuara është saktësisht i barabartë me këndin midis vektorëve të tyre udhëzues. Le t'i shënojmë këta vektorë si n₁¯(a₁; b₁; c₁) dhe n₂¯(a₂; b₂; c_{2). Kosinusi i këndit ndërmjet tyre përcaktohet nga produkti skalar. Kjo do të thotë, vetë këndi në hapësirën midis planeve mund të llogaritet me formulën:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Këtu moduli në emërues përdoret për të hequr vlerën e këndit të mpirë (ndërmjet planeve të kryqëzuara është gjithmonë më i vogël ose i barabartë me 90o).

Në formë koordinative, kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Rafshe pingul dhe paralel

Nëse rrafshet priten dhe këndi dihedral i formuar prej tyre është 90o, atëherë ata do të jenë pingul. Një shembull i aeroplanëve të tillë është një prizëm drejtkëndor ose një kub. Këto figura formohen nga gjashtë rrafshe. Në çdo kulm të figurave të emërtuara ka tre plane pingul me njëri-tjetrin.

Për të zbuluar nëse rrafshet e konsideruara janë pingule, mjafton të llogarisim produktin skalar të vektorëve të tyre normalë. Një kusht i mjaftueshëm për pingulitetin në hapësirën e planeve është vlera zero e këtij produkti.

Paralelet quhen rrafshe joprerëse. Ndonjëherë thuhet gjithashtu se plane paralele kryqëzohen në pafundësi. Kushti i paralelizmit në hapësirën e planeve përkon me atë kusht për vektorët e drejtimit n₁¯ dhe n_{2¯. Mund ta kontrolloni në dy mënyra:}

Llogaritni kosinusin e këndit dihedral (cos(φ)) duke përdorur produktin skalar. Nëse rrafshet janë paralele, atëherë vlera do të jetë 1.

Përpiquni të përfaqësoni një vektor përmes një tjetri duke shumëzuar me një numër, p.sh. n₁¯=kn_{2¯. Nëse kjo mund të bëhet, atëherë aeroplanët përkatës janëparalel.}

Figura tregon dy plane paralele.

Tani le të japim shembuj të zgjidhjes së dy problemeve interesante duke përdorur njohuritë e marra matematikore.

Si të marrim një formë të përgjithshme nga një ekuacion vektorial?

Kjo është një shprehje vektoriale parametrike për një plan. Për ta bërë më të lehtë për të kuptuar rrjedhën e operacioneve dhe truket matematikore të përdorura, merrni parasysh një shembull specifik:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Zgjero këtë shprehje dhe shpreh parametrat e panjohur:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Pastaj:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Duke hapur kllapat në shprehjen e fundit, marrim:

z=2x-2 + 3y - 6 ose

2x + 3y - z - 8=0

Kemi marrë formën e përgjithshme të ekuacionit për planin e specifikuar në deklaratën e problemit në formën vektoriale

Si të ndërtoni një aeroplan në tre pika?

Është e mundur të vizatoni një rrafsh të vetëm nëpër tre pika nëse këto pika nuk i përkasin ndonjë drejtëze të vetme. Algoritmi për zgjidhjen e këtij problemi konsiston në sekuencën e mëposhtme të veprimeve:

gjeni koordinatat e dy vektorëve duke lidhur pikat e njohura në çift;
llogaritni produktin e tyre kryq dhe merrni një vektor normal me planin;
shkruani ekuacionin e përgjithshëm duke përdorur vektorin e gjetur dhendonjë nga tre pikat.

Le të marrim një shembull konkret. Pikët e dhëna: