Vija dhe plani janë dy elementët gjeometrikë më të rëndësishëm që mund të përdoren për të ndërtuar forma të ndryshme në hapësirën 2D dhe 3D. Mendoni se si të gjeni distancën midis drejtëzave paralele dhe planeve paralele.
Detyrë matematike vijë e drejtë
Nga kursi i gjeometrisë shkollore dihet se në një sistem koordinativ dydimensional drejtkëndor një vijë mund të specifikohet në formën e mëposhtme:
y=kx + b.
Ku k dhe b janë numra (parametra). Forma e shkruar e paraqitjes së një drejtëze në një rrafsh është një rrafsh që është paralel me boshtin z në hapësirën tredimensionale. Në funksion të kësaj, në këtë artikull, për caktimin matematikor të një vije të drejtë, ne do të përdorim një formë më të përshtatshme dhe universale - një vektoriale.
Supozojmë se drejtëza jonë është paralele me disa vektorë u¯(a, b, c) dhe kalon nëpër pikën P(x0, y0, z0). Në këtë rast, në formë vektoriale, ekuacioni i tij do të paraqitet si më poshtë:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Këtu λ është çdo numër. Nëse i përfaqësojmë në mënyrë eksplicite koordinatat duke zgjeruar shprehjen e shkruar, atëherë do të marrim një formë parametrike të shkrimit të një vije të drejtë.
Është i përshtatshëm për të punuar me një ekuacion vektori kur zgjidhen probleme të ndryshme në të cilat është e nevojshme të përcaktohet distanca midis drejtëzave paralele.
Linjat dhe distanca ndërmjet tyre
Ka kuptim të flasim për distancën midis vijave vetëm kur ato janë paralele (në rastin tredimensional, ekziston gjithashtu një distancë jo zero midis vijave të animuara). Nëse linjat kryqëzohen, atëherë është e qartë se ato janë në distancë zero nga njëra-tjetra.
Distanca ndërmjet drejtëzave paralele është gjatësia e pingulit që i lidh ato. Për të përcaktuar këtë tregues, mjafton të zgjidhni një pikë arbitrare në njërën nga vijat dhe të hidhni një pingul nga ajo në tjetrën.
Le të përshkruajmë shkurtimisht procedurën për gjetjen e distancës së dëshiruar. Supozojmë se i dimë ekuacionet vektoriale të dy drejtëzave, të cilat janë paraqitur në formën e përgjithshme vijuese:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Ndërtoni një paralelogram në këto drejtëza në mënyrë që njëra nga anët të jetë PQ, dhe tjetra, për shembull, u. Natyrisht, lartësia e kësaj figure, e tërhequr nga pika P, është gjatësia e pingules së kërkuar. Për ta gjetur atë, mund të aplikoni të thjeshtën e mëposhtmeformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Meqenëse distanca ndërmjet drejtëzave është gjatësia e segmentit pingul ndërmjet tyre, atëherë sipas shprehjes së shkruar, mjafton të gjejmë modulin e prodhimit vektorial të PQ¯ dhe u¯ dhe të ndajmë rezultatin me gjatësia e vektorit u¯.
Një shembull i një detyre për të përcaktuar distancën midis vijave të drejta
Dy drejtëza jepen nga ekuacionet vektoriale të mëposhtme:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Nga shprehjet e shkruara duket qartë se kemi dy drejtëza paralele. Në të vërtetë, nëse shumëzojmë me -1 koordinatat e vektorit të drejtimit të vijës së parë, marrim koordinatat e vektorit të drejtimit të vijës së dytë, që tregon paralelizmin e tyre.
Distanca midis vijave të drejta do të llogaritet duke përdorur formulën e shkruar në paragrafin e mëparshëm të artikullit. Ne kemi:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Atëherë marrim:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Vini re se në vend të pikave P dhe Q, absolutisht çdo pikë që i përket këtyre rreshtave mund të përdoret për të zgjidhur problemin. Në këtë rast, do të merrnim të njëjtën distancë d.
Vendosja e një plani në gjeometri
Çështja e distancës midis vijave u diskutua më lart në detaje. Tani le të tregojmë se si të gjejmë distancën midis planeve paralele.
Të gjithë përfaqësojnë atë që është një aeroplan. Sipas përkufizimit matematik, elementi gjeometrik i specifikuar është një koleksion pikash. Për më tepër, nëse kompozoni të gjithë vektorët e mundshëm duke përdorur këto pika, atëherë të gjithë ata do të jenë pingul me një vektor të vetëm. Kjo e fundit zakonisht quhet normale në aeroplan.
Për të specifikuar ekuacionin e një rrafshi në hapësirën tredimensionale, përdoret më shpesh forma e përgjithshme e ekuacionit. Duket kështu:
Ax + By + Cz + D=0.
Aty ku shkronjat e mëdha latine janë disa numra. Është i përshtatshëm për të përdorur këtë lloj ekuacioni të planit, sepse koordinatat e vektorit normal janë dhënë në mënyrë eksplicite në të. Ato janë A, B, C.
Është e lehtë të shihet se dy plane janë paralele vetëm kur normalet e tyre janë paralele.
Si të gjejmë distancën midis dy planeve paralele ?
Për të përcaktuar distancën e specifikuar, duhet të kuptoni qartë se çfarë është në rrezik. Distanca ndërmjet planeve që janë paralel me njëri-tjetrin kuptohet si gjatësia e segmentit pingul me to. Skajet e këtij segmenti i përkasin planeve.
Algoritmi për zgjidhjen e problemeve të tilla është i thjeshtë. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni koordinatat e absolutisht çdo pike që i përket njërit prej dy planeve. Më pas, duhet të përdorni këtë formulë:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Meqenëse distanca është një vlerë pozitive, shenja e modulit është në numërues. Formula e shkruar është universale, pasi ju lejon të llogaritni distancën nga avioni në absolutisht çdo element gjeometrik. Mjafton të dimë koordinatat e një pike të këtij elementi.
Për hir të plotësimit, vërejmë se nëse normalet e dy planeve nuk janë paralele me njëri-tjetrin, atëherë plane të tilla do të kryqëzohen. Distanca ndërmjet tyre atëherë do të jetë zero.
Problemi i përcaktimit të distancës ndërmjet avionëve
Dihet se dy plane jepen nga shprehjet e mëposhtme:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Është e nevojshme të vërtetohet se aeroplanët janë paralelë, si dhe të përcaktohet distanca ndërmjet tyre.
Për t'iu përgjigjur pjesës së parë të problemit, duhet të sillni ekuacionin e parë në një formë të përgjithshme. Vini re se është dhënë në të ashtuquajturën formën e një ekuacioni në segmente. Shumëzojmë pjesën e majtë dhe të djathtë të tij me 15 dhe zhvendosim të gjithë termat në njërën anë të ekuacionit, marrim:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Le të shkruajmë koordinatat e dy vektorëve normalë të planeve:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Mund të shihet se nëse n2¯ shumëzohet me 5, atëherë do të marrim saktësisht koordinatat n1¯. Kështu, aeroplanët e konsideruar janëparalel.
Për të llogaritur distancën midis planeve paralele, zgjidhni një pikë arbitrare të së parës prej tyre dhe përdorni formulën e mësipërme. Për shembull, le të marrim pikën (0, 0, 1) që i përket rrafshit të parë. Pastaj marrim:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Distanca e dëshiruar është 31 mm.
Distanca midis avionit dhe linjës
Njohuritë teorike të ofruara na lejojnë gjithashtu të zgjidhim problemin e përcaktimit të distancës midis një vije të drejtë dhe një rrafshi. Është përmendur tashmë më lart se formula që është e vlefshme për llogaritjet midis planeve është universale. Mund të përdoret gjithashtu për të zgjidhur problemin. Për ta bërë këtë, thjesht zgjidhni çdo pikë që i përket rreshtit të dhënë.
Problemi kryesor në përcaktimin e distancës ndërmjet elementeve gjeometrike të konsideruara është vërtetimi i paralelizmit të tyre (nëse jo, atëherë d=0). Paralelizmi është i lehtë për t'u vërtetuar nëse llogaritni produktin skalar të normales dhe vektorin e drejtimit për drejtëzën. Nëse elementët në shqyrtim janë paralelë, atëherë ky produkt do të jetë i barabartë me zero.
