Kur zgjidhen probleme gjeometrike në hapësirë, shpesh ka nga ato ku është e nevojshme të llogariten këndet midis objekteve të ndryshme hapësinore. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë çështjen e gjetjes së këndeve midis planeve dhe ndërmjet tyre dhe një vijë të drejtë.
Ranjë në hapësirë
Dihet se absolutisht çdo vijë e drejtë në rrafsh mund të përcaktohet nga barazia e mëposhtme:
y=ax + b
Këtu a dhe b janë disa numra. Nëse paraqesim një drejtëz në hapësirë me të njëjtën shprehje, atëherë marrim një rrafsh paralel me boshtin z. Për përcaktimin matematikor të vijës hapësinore, përdoret një metodë e ndryshme zgjidhjeje sesa në rastin dydimensional. Ai konsiston në përdorimin e konceptit të "vektorit të drejtimit".
Vektori drejtues i një drejtëze tregon orientimin e saj në hapësirë. Ky parametër i përket linjës. Meqenëse ekziston një grup i pafundëm vektorësh paralelë në hapësirë, atëherë për të përcaktuar në mënyrë unike objektin gjeometrik të konsideruar, është gjithashtu e nevojshme të njihen koordinatat e pikës që i përket.
Supozoni se kapika P(x0; y0; z0) dhe vektori i drejtimit v¯(a; b; c), atëherë ekuacioni i një drejtëze mund të jepet si më poshtë:
(x; y; z)=P + αv¯ ose
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Kjo shprehje quhet ekuacioni vektorial parametrik i një drejtëze. Koeficienti α është një parametër që mund të marrë absolutisht çdo vlerë reale. Koordinatat e një rreshti mund të përfaqësohen në mënyrë eksplicite duke zgjeruar këtë barazi:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Ekuacioni i planit
Ka disa forma të shkrimit të një ekuacioni për një plan në hapësirë. Këtu do të shqyrtojmë njërën prej tyre, e cila përdoret më shpesh gjatë llogaritjes së këndeve ndërmjet dy rrafsheve ose ndërmjet njërit prej tyre dhe një drejtëze.
Nëse dihet një vektor n¯(A; B; C), i cili është pingul me planin e dëshiruar, dhe pika P(x0; y 0; z0), që i përket, atëherë ekuacioni i përgjithshëm për këtë të fundit është:
Ax + By + Cz + D=0 ku D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Kemi hequr prejardhjen e kësaj shprehjeje, e cila është mjaft e thjeshtë. Këtu vërejmë vetëm se, duke ditur koeficientët e variablave në ekuacionin e rrafshit, mund të gjenden lehtësisht të gjithë vektorët që janë pingul me të. Këto të fundit quhen normale dhe përdoren në llogaritjen e këndeve midis pjerrësisë dhe planit dhe ndërmjetanaloge arbitrare.
Vendndodhja e aeroplanëve dhe formula për këndin ndërmjet tyre
Le të themi se ka dy avionë. Cilat janë opsionet për pozicionin e tyre relativ në hapësirë. Meqenëse avioni ka dy dimensione të pafundme dhe një zero, janë të mundshme vetëm dy opsione për orientimin e tyre të ndërsjellë:
- ato do të jenë paralel me njëri-tjetrin;
- ato mund të mbivendosen.
Këndi ndërmjet planeve është indeksi midis vektorëve të tyre të drejtimit, d.m.th. midis normaleve të tyre n1¯ dhe n2¯.
Natyrisht, nëse ato janë paralele me rrafshin, atëherë këndi i kryqëzimit është zero ndërmjet tyre. Nëse ato kryqëzohen, atëherë është jozero, por gjithmonë e mprehtë. Një rast i veçantë i kryqëzimit do të jetë këndi 90o, kur rrafshet janë reciprokisht pingul me njëri-tjetrin.
Këndi α ndërmjet n1¯ dhe n2¯ përcaktohet lehtësisht nga prodhimi skalar i këtyre vektorëve. Kjo do të thotë, formula zhvillohet:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Supozojmë se koordinatat e këtyre vektorëve janë: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Më pas, duke përdorur formulat për llogaritjen e produktit skalar dhe moduleve të vektorëve përmes koordinatave të tyre, shprehja e mësipërme mund të rishkruhet si:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Moduli në numërues u shfaq për të përjashtuar vlerat e këndeve të mpirë.
Shembuj të zgjidhjes së problemave për të përcaktuar këndin e kryqëzimit të planeve
Duke ditur të gjejmë këndin ndërmjet planeve, do të zgjidhim problemin e mëposhtëm. Janë dhënë dy plane, ekuacionet e të cilave janë:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Cili është këndi ndërmjet planeve?
Për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, le të kujtojmë se koeficientët e variablave në ekuacionin e përgjithshëm të planit janë koordinatat e vektorit udhëzues. Për planet e treguara kemi koordinatat e mëposhtme të normaleve të tyre:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Tani gjejmë produktin skalar të këtyre vektorëve dhe moduleve të tyre, kemi:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Tani mund t'i zëvendësoni numrat e gjetur në formulën e dhënë në paragrafin e mëparshëm. Ne marrim:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Vlera që rezulton korrespondon me një kënd të mprehtë të kryqëzimit të planeve të specifikuara në kushtdetyra.
Tani shqyrtoni një shembull tjetër. Jepen dy plane:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
A kryqëzohen? Le të shkruajmë vlerat e koordinatave të vektorëve të tyre të drejtimit, të llogarisim produktin skalar dhe modulet e tyre:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Atëherë këndi i kryqëzimit është:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Ky kënd tregon se rrafshet nuk kryqëzohen, por janë paralelë. Fakti që ato nuk përputhen me njëri-tjetrin është i lehtë për t'u kontrolluar. Le të marrim për këtë një pikë arbitrare që i përket të parës prej tyre, për shembull, P(0; 3; 2). Zëvendësojmë koordinatat e tij në ekuacionin e dytë, marrim:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Dmth, pika P i përket vetëm planit të parë.
Pra, dy plane janë paralele kur normalet e tyre janë.
Aeroplan dhe drejtëz
Në rastin e shqyrtimit të pozicionit relativ midis një rrafshi dhe një drejtëze, ka disa opsione më shumë sesa me dy plane. Ky fakt lidhet me faktin se vija e drejtë është një objekt njëdimensional. Linja dhe plani mund të jenë:
- paralelisht reciprokisht, në këtë rast rrafshi nuk e pret vijën;
- kjo e fundit mund t'i përkasë aeroplanit, ndërsa do të jetë edhe paralel me të;
- të dy objektet mundenkryqëzohen në një kënd.
Le të shqyrtojmë së pari rastin e fundit, pasi kërkon prezantimin e konceptit të këndit të kryqëzimit.
Vija dhe plani, këndi ndërmjet tyre
Nëse një drejtëz pret një rrafsh, atëherë ajo quhet e prirur në lidhje me të. Pika e kryqëzimit quhet baza e pjerrësisë. Për të përcaktuar këndin midis këtyre objekteve gjeometrike, është e nevojshme të ulni një drejtë pingul me rrafshin nga çdo pikë. Pastaj pika e prerjes së pingules me rrafshin dhe vendi i kryqëzimit të vijës së pjerrët me të formojnë një vijë të drejtë. Ky i fundit quhet projeksioni i vijës origjinale në rrafshin në shqyrtim. Këndi akut midis vijës dhe projeksionit të saj është ai i kërkuar.
Përkufizimi disi konfuz i këndit midis një rrafshi dhe një të zhdrejtë do të qartësojë figurën më poshtë.
Këtu këndi ABO është këndi ndërmjet drejtëzës AB dhe planit a.
Për të shkruar formulën për të, merrni parasysh një shembull. Le të ketë një vijë të drejtë dhe një rrafsh, të cilat përshkruhen nga ekuacionet:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Është e lehtë për të llogaritur këndin e dëshiruar për këto objekte nëse gjeni produktin skalar midis vektorëve të drejtimit të drejtëzës dhe planit. Këndi akut që rezulton duhet të zbritet nga 90o, pastaj merret midis një drejtëze dhe një rrafshi.
Figura e mësipërme tregon algoritmin e përshkruar për gjetjenkëndi i konsideruar. Këtu β është këndi midis normales dhe drejtëzës, dhe α është midis vijës dhe projeksionit të saj në rrafsh. Mund të shihet se shuma e tyre është 90o.
Më sipër, u prezantua një formulë që i përgjigjet pyetjes se si të gjendet një kënd midis planeve. Tani japim shprehjen përkatëse për rastin e drejtëzës dhe rrafshit:
α=harksin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Moduli në formulë lejon që të llogariten vetëm këndet akute. Funksioni i harksinës u shfaq në vend të arkozinës për shkak të përdorimit të formulës përkatëse të reduktimit midis funksioneve trigonometrike (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problemi: Një aeroplan kryqëzon një vijë të drejtë
Tani le të tregojmë se si të punojmë me formulën e mësipërme. Le të zgjidhim problemin: është e nevojshme të llogaritet këndi midis boshtit y dhe planit të dhënë nga ekuacioni:
y - z + 12=0
Ky aeroplan tregohet në foto.
Mund të shihni se ai pret boshtet y dhe z në pikat (0; -12; 0) dhe (0; 0; 12), përkatësisht, dhe është paralel me boshtin x.
Vektori i drejtimit të drejtëzës y ka koordinata (0; 1; 0). Një vektor pingul me një plan të caktuar karakterizohet nga koordinatat (0; 1; -1). Ne aplikojmë formulën për këndin e kryqëzimit të një drejtëze dhe një plani, marrim:
α=harksin(|1| / (√1√2))=hark (1 / √2)=45o
Problem: drejtëz paralele me rrafshin
Tani le të vendosimngjashëm me problemin e mëparshëm, pyetja e të cilit shtrohet ndryshe. Ekuacionet e rrafshit dhe drejtëzës janë të njohura:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Është e nevojshme të zbulohet nëse këto objekte gjeometrike janë paralele me njëri-tjetrin.
Kemi dy vektorë: drejtimi i drejtëzës është (0; 2; 2) dhe drejtimi i rrafshit është (1; 1; -1). Gjeni produktin e tyre me pika:
01 + 12 - 12=0
Zeroja që rezulton tregon se këndi ndërmjet këtyre vektorëve është 90o, gjë që vërteton se drejtëza dhe rrafshi janë paralele.
Tani le të kontrollojmë nëse kjo drejtëz është vetëm paralele apo shtrihet edhe në rrafsh. Për ta bërë këtë, zgjidhni një pikë arbitrare në vijë dhe kontrolloni nëse i përket aeroplanit. Për shembull, le të marrim λ=0, atëherë pika P(1; 0; 0) i përket vijës. Zëvendësoni në ekuacionin e planit P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Pika P nuk i përket rrafshit, që do të thotë se as e gjithë vija nuk shtrihet në të.
Ku është e rëndësishme të dimë këndet midis objekteve gjeometrike të konsideruara?
Formulat dhe shembujt e mësipërm të zgjidhjes së problemeve nuk janë vetëm me interes teorik. Ato përdoren shpesh për të përcaktuar sasi të rëndësishme fizike të figurave reale tredimensionale, të tilla si prizmat ose piramidat. Është e rëndësishme të jeni në gjendje të përcaktoni këndin midis planeve kur llogaritni vëllimet e figurave dhe sipërfaqet e sipërfaqeve të tyre. Për më tepër, nëse në rastin e një prizmi të drejtë është e mundur të mos përdoren këto formula për të përcaktuarvlerat e specifikuara, atëherë për çdo lloj piramide përdorimi i tyre është i pashmangshëm.
Më poshtë, merrni parasysh një shembull të përdorimit të teorisë së mësipërme për të përcaktuar këndet e një piramide me bazë katrore.
Piramida dhe qoshet e saj
Figura më poshtë tregon një piramidë, në bazën e së cilës shtrihet një katror me brinjën a. Lartësia e figurës është h. Duhet të gjesh dy qoshe:
- midis sipërfaqes anësore dhe bazës;
- ndërmjet brinjës anësore dhe bazës.
Për të zgjidhur problemin, së pari duhet të futni sistemin e koordinatave dhe të përcaktoni parametrat e kulmeve përkatëse. Figura tregon se origjina e koordinatave përkon me pikën në qendër të bazës katrore. Në këtë rast, rrafshi bazë përshkruhet nga ekuacioni:
z=0
Dmth, për çdo x dhe y, vlera e koordinatës së tretë është gjithmonë zero. Rrafshi anësor ABC pret boshtin z në pikën B(0; 0; h) dhe boshtin y në pikën me koordinatat (0; a/2; 0). Nuk e kalon boshtin x. Kjo do të thotë se ekuacioni i planit ABC mund të shkruhet si:
y / (a / 2) + z / h=1 ose
2hy + az - ah=0
Vektori AB¯ është një skaj anësor. Koordinatat e fillimit dhe të përfundimit të tij janë: A(a/2; a/2; 0) dhe B(0; 0; h). Pastaj koordinatat e vetë vektorit:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Kemi gjetur të gjitha ekuacionet dhe vektorët e nevojshëm. Tani mbetet të përdorim formulat e konsideruara.
Së pari llogarisim në piramidë këndin ndërmjet rrafsheve të bazësdhe anash. Vektorët normalë përkatës janë: n1¯(0; 0; 1) dhe n2¯(0; 2h; a). Atëherë këndi do të jetë:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Këndi ndërmjet planit dhe skajit AB do të jetë:
β=harksin(h / √(a2 / 2 + h2))
Mbetet të zëvendësohen vlerat specifike të faqes së bazës a dhe lartësisë h për të marrë këndet e kërkuara.
